Номер 645, страница 152, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Преобразование плоскости. Равные фигуры. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 645, страница 152.

Условие 2023.

645. Начерти на бумаге без клеток произвольный треугольник $ABC$. Построй треугольник, симметричный треугольнику $ABC$:

а) относительно точки $O$, лежащей вне треугольника $ABC$;

б) относительно середины $M$ стороны $BC$;

в) относительно вершины $A$.

Решение 2 (2023).

Для решения задачи сначала начертим на бумаге произвольный треугольник $ABC$. Построения будем выполнять с помощью циркуля и линейки.

а) относительно точки O, лежащей вне треугольника ABC

Чтобы построить треугольник $A_1B_1C_1$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно точки $O$, необходимо для каждой вершины исходного треугольника найти симметричную ей точку.

1. Соединим вершину $A$ с точкой $O$ отрезком. На продолжении этого отрезка за точку $O$ отложим отрезок $OA_1$, равный отрезку $AO$. Точка $A_1$ будет симметрична точке $A$ относительно $O$.
2. Аналогично построим точку $B_1$, симметричную вершине $B$. Проведем луч $BO$ и отложим на нем от точки $O$ отрезок $OB_1$, равный $BO$.
3. Таким же образом построим точку $C_1$, симметричную вершине $C$. Проведем луч $CO$ и отложим на нем от точки $O$ отрезок $OC_1$, равный $CO$.
4. Соединим полученные точки $A_1, B_1, C_1$.

Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ является искомым. При центральной симметрии фигура переходит в равную ей фигуру, поэтому $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Ответ: Треугольник $A_1B_1C_1$, вершины которого $A_1, B_1, C_1$ симметричны соответственно вершинам $A, B, C$ треугольника $ABC$ относительно точки $O$.

б) относительно середины M стороны BC

Центром симметрии в данном случае является точка $M$ — середина стороны $BC$.

1. Сначала найдем середину $M$ стороны $BC$. Это можно сделать, измерив отрезок линейкой и разделив его пополам, либо с помощью построения серединного перпендикуляра циркулем и линейкой.
2. Найдем точки, симметричные вершинам $A, B, C$ относительно точки $M$.
   • Для вершины $A$: проведем луч $AM$ и на его продолжении отложим отрезок $MA_2$, равный отрезку $AM$. Точка $A_2$ будет симметрична $A$ относительно $M$.
   • Для вершины $B$: точка, симметричная точке $B$ относительно середины отрезка $BC$ (точки $M$), — это точка $C$.
   • Для вершины $C$: аналогично, точка, симметричная точке $C$ относительно $M$, — это точка $B$.
3. Вершинами нового треугольника будут точки $A_2$, $C$ и $B$. Соединив их, получим треугольник $A_2BC$.

Четырехугольник $ABA_2C$ является параллелограммом, так как его диагонали $AA_2$ и $BC$ пересекаются в точке $M$ и делятся ею пополам.

Ответ: Треугольник $A_2BC$, где точка $A_2$ симметрична вершине $A$ относительно середины $M$ стороны $BC$.

в) относительно вершины A

Центром симметрии в этом случае является сама вершина $A$ треугольника $ABC$.

1. Найдем точки, симметричные вершинам $A, B, C$ относительно точки $A$.
   • Для вершины $A$: точка, симметричная точке $A$ относительно самой себя, — это и есть точка $A$.
   • Для вершины $B$: проведем луч $BA$ и на его продолжении за точку $A$ отложим отрезок $AB_3$, равный отрезку $BA$.
   • Для вершины $C$: проведем луч $CA$ и на его продолжении за точку $A$ отложим отрезок $AC_3$, равный отрезку $CA$.
2. Вершинами нового треугольника будут точки $A, B_3$ и $C_3$. Соединив их, получим треугольник $AB_3C_3$.

Треугольник $ABC$ и треугольник $AB_3C_3$ равны и симметричны относительно точки $A$.

Ответ: Треугольник $AB_3C_3$, где точка $B_3$ симметрична вершине $B$ относительно вершины $A$, а точка $C_3$ симметрична вершине $C$ относительно вершины $A$.

Условие 2010-2022.

645. Начерти на бумаге без клеток произвольный треугольник $ABC$. Построй треугольник, симметричный треугольнику $ABC$:

а) относительно точки $O$, лежащей вне треугольника $ABC$;

б) относительно середины $M$ стороны $BC$;

в) относительно вершины $A$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).