Номер 641, страница 152, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 2. Преобразование плоскости. Равные фигуры - номер 641, страница 152.

Условие 2023.

641 На бумаге без клеток начерти тупоугольный треугольник и построй симметричный ему треугольник относительно прямой $l$, содержащей:

а) большую сторону;

б) меньшую сторону;

в) медиану, проведённую к его меньшей стороне.

Решение 2 (2023).

Сначала начертим произвольный тупоугольный треугольник $ABC$, в котором один из углов, например угол $B$, больше $90°$. В таком треугольнике сторона, лежащая напротив тупого угла, является наибольшей. Следовательно, сторона $AC$ — самая длинная. Пусть для определённости сторона $AB$ будет наименьшей.

а) большую сторону

В этом случае осью симметрии $l$ является прямая, содержащая большую сторону треугольника, то есть прямая $AC$.

Порядок построения:

1. Начертим тупоугольный треугольник $ABC$ с тупым углом $B$. Сторона $AC$ будет наибольшей.
2. Прямая $AC$ является осью симметрии $l$.
3. Поскольку вершины $A$ и $C$ лежат на оси симметрии, они отображаются сами в себя. То есть, точка $A'$, симметричная точке $A$, совпадает с $A$, а точка $C'$, симметричная точке $C$, совпадает с $C$.
4. Для построения точки $B'$, симметричной вершине $B$, проведем через точку $B$ прямую, перпендикулярную прямой $AC$. Обозначим точку их пересечения как $H$.
5. На продолжении отрезка $BH$ за точку $H$ отложим отрезок $HB'$, равный отрезку $BH$. Точка $B'$ будет симметрична точке $B$ относительно прямой $AC$.
6. Соединим вершины $A$, $B'$, $C$. Полученный треугольник $AB'C$ и будет симметричным исходному треугольнику $ABC$ относительно прямой $AC$.

В результате исходный и построенный треугольники вместе образуют симметричную фигуру (дельтоид) $ABCB'$, где $AC$ — ось симметрии.

Ответ: Треугольник, симметричный данному, строится путем отражения вершины, противолежащей большей стороне, относительно этой стороны. Две другие вершины остаются на месте.

б) меньшую сторону

В этом случае осью симметрии $l$ является прямая, содержащая меньшую сторону треугольника. Мы договорились, что это сторона $AB$.

Порядок построения:

1. Начертим тот же тупоугольный треугольник $ABC$. Сторона $AB$ — наименьшая.
2. Прямая $AB$ является осью симметрии $l$.
3. Вершины $A$ и $B$ лежат на оси симметрии, поэтому они отображаются сами в себя: $A' = A$, $B' = B$.
4. Для построения точки $C'$, симметричной вершине $C$, проведем через точку $C$ прямую, перпендикулярную прямой $AB$. Обозначим точку их пересечения как $K$.
5. На продолжении отрезка $CK$ за точку $K$ отложим отрезок $KC'$, равный отрезку $CK$. Точка $C'$ будет симметрична точке $C$ относительно прямой $AB$.
6. Соединим вершины $A$, $B$, $C'$. Полученный треугольник $ABC'$ и будет симметричным исходному треугольнику $ABC$ относительно прямой $AB$.

В результате исходный и построенный треугольники вместе образуют равнобедренный треугольник $ACC'$ с основанием $CC'$.

Ответ: Треугольник, симметричный данному, строится путем отражения вершины, противолежащей меньшей стороне, относительно этой стороны. Две другие вершины остаются на месте.

в) медиану, проведённую к его меньшей стороне

Осью симметрии $l$ является прямая, содержащая медиану, проведенную к меньшей стороне $AB$. Обозначим эту медиану как $CM$, где $M$ — середина стороны $AB$.

Порядок построения:

1. Начертим тупоугольный треугольник $ABC$ с наименьшей стороной $AB$.
2. Найдем середину стороны $AB$. Обозначим ее точкой $M$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, построив серединный перпендикуляр к отрезку $AB$.
3. Проведем отрезок $CM$. Прямая, содержащая этот отрезок (медиану $CM$), является осью симметрии $l$.
4. Вершина $C$ лежит на оси симметрии, поэтому она отображается сама в себя: $C' = C$.
5. Теперь нужно построить точки $A'$ и $B'$, симметричные вершинам $A$ и $B$ относительно прямой $CM$.
6. Из точки $A$ опустим перпендикуляр на прямую $CM$. Назовем точку пересечения $P_A$. На продолжении отрезка $AP_A$ за точку $P_A$ отложим отрезок $P_A A'$, равный $AP_A$. Точка $A'$ — искомая.
7. Аналогично, из точки $B$ опустим перпендикуляр на прямую $CM$. Назовем точку пересечения $P_B$. На продолжении отрезка $BP_B$ за точку $P_B$ отложим отрезок $P_B B'$, равный $BP_B$. Точка $B'$ — искомая.
8. Соединим вершины $A'$, $B'$, $C$. Полученный треугольник $A'B'C$ и будет симметричным исходному треугольнику $ABC$ относительно прямой $CM$.

Поскольку $M$ — середина $AB$ и лежит на оси симметрии (т.к. $M$ принадлежит прямой $CM$), то $M$ также будет серединой отрезка $A'B'$.

Ответ: Симметричный треугольник строится путем отражения двух вершин (концов меньшей стороны) относительно прямой, содержащей медиану, проведенную к этой стороне. Третья вершина (из которой проведена медиана) остается на месте.

Условие 2010-2022.

641 На бумаге без клеток начерти тупоугольный треугольник и построй симметричный ему треугольник относительно прямой $l$, содержащей:

а) большую сторону;

б) меньшую сторону;

в) медиану, проведенную к его меньшей стороне.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).