Номер 643, страница 152, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Преобразование плоскости. Равные фигуры. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 643, страница 152.

Условие 2023.

643 Воспроизведи чертёж и поверни вокруг точки O:

а) точку A на угол $\alpha = -80^\circ$;

б) отрезок AB на угол $\alpha = 100^\circ$;

в) треугольник ABC сначала на угол $\alpha = 90^\circ$, а потом на угол $\alpha = -90^\circ$.

Что можно сказать о полученных треугольниках?

Решение 2 (2023).

а) Чтобы повернуть точку $A$ вокруг точки $O$ на угол $\alpha = -80^\circ$, необходимо выполнить следующие действия:
1. Соединить точки $O$ и $A$ отрезком $OA$.
2. С помощью транспортира отложить от луча $OA$ угол, равный $80^\circ$, по часовой стрелке (так как знак угла отрицательный). Получим новый луч $OA'$.
3. С помощью циркуля измерить расстояние $OA$ и отложить его на луче $OA'$ от точки $O$. Полученная точка $A'$ будет результатом поворота точки $A$ вокруг точки $O$ на угол $-80^\circ$.
В результате точка $A'$ будет расположена на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $OA$, а угол $\angle AOA'$ будет равен $80^\circ$ (при измерении по часовой стрелке).
Ответ: Точка $A$ перейдет в точку $A'$ такую, что $OA' = OA$ и угол $\angle AOA'$, отсчитываемый по часовой стрелке, равен $80^\circ$.

б) Чтобы повернуть отрезок $AB$ вокруг точки $O$ на угол $\alpha = 100^\circ$, необходимо повернуть его концы — точки $A$ и $B$ — на этот угол, а затем соединить полученные точки.
Поворот точки A:
1. Соединяем точки $O$ и $A$ отрезком $OA$.
2. От луча $OA$ откладываем угол $100^\circ$ против часовой стрелки (так как знак угла положительный), получая луч $OA'$.
3. На луче $OA'$ откладываем отрезок $OA'$, равный по длине отрезку $OA$. Точка $A'$ — это образ точки $A$.
Поворот точки B:
1. Соединяем точки $O$ и $B$ отрезком $OB$.
2. От луча $OB$ откладываем угол $100^\circ$ против часовой стрелки, получая луч $OB'$.
3. На луче $OB'$ откладываем отрезок $OB'$, равный по длине отрезку $OB$. Точка $B'$ — это образ точки $B$.
Наконец, соединяем точки $A'$ и $B'$ отрезком. Отрезок $A'B'$ является результатом поворота отрезка $AB$ вокруг точки $O$ на угол $100^\circ$.
Ответ: Отрезок $AB$ перейдет в отрезок $A'B'$, где точки $A'$ и $B'$ получены поворотом точек $A$ и $B$ соответственно вокруг точки $O$ на угол $100^\circ$ против часовой стрелки.

в) Для решения этой задачи нужно выполнить два поворота исходного треугольника $ABC$ вокруг точки $O$ и сравнить результаты.

Первый поворот: на угол $\alpha = 90^\circ$ (против часовой стрелки).
Выполняем поворот каждой вершины треугольника ($A, B, C$) вокруг точки $O$ на угол $90^\circ$ против часовой стрелки. Для этого для каждой вершины $V$ (где $V$ это $A, B$ или $C$) проводим отрезок $OV$, откладываем от него угол $90^\circ$ против часовой стрелки, получая луч $OV'$, и на этом луче откладываем отрезок $OV'$ равный $OV$. Получаем новые вершины $A'$, $B'$, $C'$. Соединив их, получаем треугольник $A'B'C'$.

Второй поворот: на угол $\alpha = -90^\circ$ (по часовой стрелке).
Выполняем поворот каждой вершины исходного треугольника ($A, B, C$) вокруг точки $O$ на угол $90^\circ$ по часовой стрелке. Алгоритм аналогичен, только угол откладывается в другую сторону. Получаем новые вершины $A''$, $B''$, $C''$. Соединив их, получаем треугольник $A''B''C''$.

Сравнение полученных треугольников $A'B'C'$ и $A''B''C''$.
Пусть $R_{O, \alpha}$ — поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$.
Треугольник $A'B'C'$ получен преобразованием $R_{O, 90^\circ}$ из треугольника $ABC$.
Треугольник $A''B''C''$ получен преобразованием $R_{O, -90^\circ}$ из треугольника $ABC$.
Чтобы перейти от треугольника $A'B'C'$ к треугольнику $ABC$, нужно выполнить обратное преобразование, то есть поворот $R_{O, -90^\circ}$. Чтобы затем из $ABC$ получить $A''B''C''$, нужно выполнить поворот $R_{O, -90^\circ}$.
Таким образом, чтобы перейти от $A'B'C'$ к $A''B''C''$, нужно выполнить композицию (последовательное применение) двух поворотов: $R_{O, -90^\circ}$ и еще раз $R_{O, -90^\circ}$.
Композиция двух поворотов вокруг одной и той же точки есть поворот на угол, равный сумме углов. Следовательно, преобразование, переводящее $A'B'C'$ в $A''B''C''$, является поворотом на угол $(-90^\circ) + (-90^\circ) = -180^\circ$.
Поворот на $-180^\circ$ (или $180^\circ$) является центральной симметрией относительно центра поворота, в данном случае — точки $O$. Это означает, что каждая вершина треугольника $A''B''C''$ симметрична соответствующей вершине треугольника $A'B'C'$ относительно точки $O$. Например, точка $O$ является серединой отрезка $A'A''$.
Ответ: Два полученных треугольника ($A'B'C'$ и $A''B''C''$) симметричны друг другу относительно центра вращения — точки $O$.

Условие 2010-2022.

643 Воспроизведи чертеж и поверни:
а) точку A на угол $\alpha = -80^{\circ}$;
б) отрезок AB на угол $\alpha = 100^{\circ}$;
в) треугольник ABC сначала на угол $\alpha = 90^{\circ}$, а потом на угол $\alpha = -90^{\circ}$. Что можно сказать о полученных треугольниках?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).