Номер 639, страница 152, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 2. Преобразование плоскости. Равные фигуры - номер 639, страница 152.

Условие 2023.

639 Построй окружность, симметричную данной относительно прямой $l$, если:

а) прямая $l$ не имеет с окружностью общих точек;

б) прямая $l$ касается окружности;

в) прямая $l$ пересекает окружность в двух точках.

Решение 2 (2023).

Для построения окружности, симметричной данной относительно прямой, необходимо построить точку, симметричную центру данной окружности, и из этой точки как из центра провести новую окружность тем же радиусом. Осевая симметрия является движением, поэтому радиус окружности при таком преобразовании сохраняется.

а) прямая l не имеет с окружностью общих точек
Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$.
1. Из центра $O$ опустим перпендикуляр на прямую $l$. Обозначим точку их пересечения $H$.
2. На продолжении отрезка $OH$ за точку $H$ отложим отрезок $HO'$, равный отрезку $OH$ ($OH = HO'$). Точка $O'$ является симметричной точке $O$ относительно прямой $l$.
3. Построим окружность с центром в точке $O'$ и радиусом $R$.
Полученная окружность будет симметрична данной относительно прямой $l$. Она также не будет иметь общих точек с прямой $l$.
Ответ: Построена окружность с центром $O'$, симметричным центру $O$ исходной окружности относительно прямой $l$, и тем же радиусом $R$.

б) прямая l касается окружности
Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, которая касается прямой $l$ в точке $K$.
1. Для нахождения симметричного центра $O'$ нужно построить точку, симметричную $O$ относительно прямой $l$. В этом случае перпендикуляром из точки $O$ к прямой $l$ является радиус $OK$, проведенный в точку касания.
2. На продолжении радиуса $OK$ за точку $K$ отложим отрезок $KO'$, равный отрезку $OK$ ($OK = KO'$). Точка $O'$ — центр искомой окружности.
3. Построим окружность с центром в точке $O'$ и радиусом $R$.
Так как расстояние от нового центра $O'$ до прямой $l$ равно длине отрезка $O'K$, и $O'K = OK = R$, то новая окружность также будет касаться прямой $l$ в той же самой точке $K$.
Ответ: Построена окружность, которая также касается прямой $l$ в той же точке, что и исходная.

в) прямая l пересекает окружность в двух точках
Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, которая пересекает прямую $l$ в двух точках, $A$ и $B$.
1. Построим точку $O'$, симметричную центру $O$ исходной окружности относительно прямой $l$, по алгоритму из пункта а).
2. Построим окружность с центром в $O'$ и радиусом $R$.
Точки $A$ и $B$ лежат на оси симметрии $l$, поэтому при симметрии они отображаются сами в себя. Это означает, что точки $A$ и $B$ должны принадлежать как исходной, так и симметричной ей окружности. Следовательно, построенная окружность пройдет через те же точки $A$ и $B$, в которых исходная окружность пересекала прямую $l$.
Ответ: Построена окружность, которая пересекает исходную окружность в тех же двух точках, в которых исходную окружность пересекает прямая $l$.

Условие 2010-2022.

639 Построй окружность, симметричную данной относительно прямой $l$, если:

а) прямая $l$ не имеет с окружностью общих точек;

б) прямая $l$ касается окружности;

в) прямая $l$ пересекает окружность в двух точках.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).