Страница 167, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

718 Пароход за 10 ч прошёл вниз по реке 224 км, а вверх – на 62,5 % меньше.

Чему равна средняя скорость парохода?

Для нахождения средней скорости парохода необходимо вычислить общее пройденное расстояние и разделить его на общее затраченное время. Решим задачу по шагам.

1. Вычисление расстояния, пройденного вверх по реке

По условию, вниз по реке пароход прошел $S_{вниз} = 224$ км. Расстояние, пройденное вверх по реке ($S_{вверх}$), на 62,5% меньше. Это значит, что оно составляет $100\% - 62,5\% = 37,5\%$ от расстояния, пройденного вниз по реке.

Вычислим это расстояние, переведя проценты в десятичную дробь ($37,5\% = 0,375$):

$S_{вверх} = 224 \cdot 0,375 = 84$ км.

2. Вычисление общего расстояния и общего времени

Общее расстояние ($S_{общ}$) — это сумма расстояний, пройденных в обоих направлениях:

$S_{общ} = S_{вниз} + S_{вверх} = 224 \text{ км} + 84 \text{ км} = 308$ км.

Время в пути вниз по реке ($t_{вниз}$) равно 10 часам. Из формулировки задачи можно сделать наиболее вероятное предположение, что на путь вверх по реке ($t_{вверх}$) было затрачено столько же времени. Тогда общее время в пути ($t_{общ}$) составляет:

$t_{общ} = t_{вниз} + t_{вверх} = 10 \text{ ч} + 10 \text{ ч} = 20$ ч.

3. Вычисление средней скорости

Средняя скорость ($v_{сред}$) вычисляется по формуле как отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени:

$v_{сред} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Подставим найденные значения в формулу:

$v_{сред} = \frac{308}{20} = 15,4$ км/ч.

Ответ: 15,4 км/ч.

718 Пароход за 10 ч прошел вниз по реке 224 км, а вверх – на 62,5% меньше.

Чему равна средняя скорость парохода?

719 Склей из бумаги модель правильного октаэдра, гранями которого являются равносторонние треугольники со стороной 8 см.

Чтобы склеить из бумаги модель правильного октаэдра, необходимо сначала начертить на бумаге его плоскую развертку. Правильный октаэдр — это один из пяти платоновых тел, многогранник, состоящий из восьми граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. В данном задании сторона каждого треугольника должна быть 8 см.

Необходимые материалы:

• Лист плотной бумаги или картона (формата А4 будет достаточно)
• Простой карандаш
• Линейка
• Циркуль
• Ножницы
• Клей для бумаги (ПВА или клей-карандаш)

Инструкция по созданию модели:

Шаг 1: Построение развертки

Развертка октаэдра состоит из 8 соединенных между собой равносторонних треугольников. Существует несколько видов разверток, но мы рассмотрим одну из самых простых для построения.

1. Начертите центральную полосу. С помощью линейки и циркуля начертите первый равносторонний треугольник со стороной 8 см. Обозначим его $T_1$. К одной из его сторон пристройте второй равносторонний треугольник $T_2$ так, чтобы он был "зеркальным" отражением первого относительно их общей стороны. Продолжая таким же образом, пристройте третий треугольник $T_3$ к новой стороне второго, и четвертый $T_4$ к новой стороне третьего. У вас получится зигзагообразная полоса из четырех треугольников.
2. Добавьте боковые треугольники. У получившейся полосы есть две свободные стороны на "верхней" части зигзага и две на "нижней". К каждой из этих четырех свободных сторон пристройте по одному равностороннему треугольнику (обозначим их $T_5, T_6, T_7, T_8$) так, чтобы они были направлены наружу от центральной полосы. В результате у вас должна получиться фигура, состоящая из 8 треугольников.
3. Нарисуйте клапаны для склеивания. К свободным внешним сторонам развертки пририсуйте небольшие "язычки" (клапаны) шириной около 1 см. Они необходимы для склеивания модели. Достаточно добавить клапаны примерно к половине внешних сторон (например, к 5-6 сторонам), так как каждая сторона будет склеиваться с другой.

Шаг 2: Вырезание и сгибание

1. Аккуратно вырежьте всю развертку по внешнему контуру, включая нарисованные клапаны для склеивания.
2. Для того чтобы сгибы получились ровными и четкими, продавите все внутренние линии (общие стороны треугольников) с помощью линейки и неострого предмета, например, непишущей шариковой ручкой или обратной стороной лезвия ножниц.
3. Согните заготовку по всем продавоенным линиям. Клапаны также следует согнуть внутрь.

Шаг 3: Сборка октаэдра

1. Начните процесс склеивания. Наносите клей на клапаны и соединяйте соответствующие стороны. Удобно начать с формирования двух "половинок" октаэдра. Каждая половинка представляет собой пирамиду с квадратным основанием, состоящую из четырех треугольников, сходящихся в одной вершине.
2. Склейте сначала одну пирамиду, затем вторую.
3. Соедините обе пирамиды их основаниями, склеив оставшиеся стороны. Последние клапаны может быть неудобно прижимать; для этого можно использовать пинцет или кончик линейки.
4. После завершения сборки убедитесь, что все стороны надежно склеены, и дайте модели полностью высохнуть.

В результате у вас получится объемная модель правильного октаэдра.

Ответ:

Для создания модели правильного октаэдра необходимо следовать представленной выше пошаговой инструкции, которая включает построение на бумаге развертки из 8 равносторонних треугольников со стороной 8 см, ее вырезание и последующую аккуратную склейку.

719 Склей из бумаги модель правильного октаэдра, гранями которого являются равносторонние треугольники со стороной 8 см.

720 Катер прошёл некоторое расстояние против течения реки за 4 ч, а то же самое расстояние по течению реки – на 30 мин быстрее. Найди собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч.

Для решения задачи введём переменную. Пусть собственная скорость катера равна $x$ км/ч.

Скорость катера при движении против течения реки меньше его собственной скорости на скорость течения:

$v_{против} = (x - 2,4)$ км/ч.

Скорость катера при движении по течению реки больше его собственной скорости на скорость течения:

$v_{по} = (x + 2,4)$ км/ч.

Известно, что против течения катер шёл 4 часа. Расстояние, которое он прошёл, можно вычислить по формуле $S = v \cdot t$:

$S = (x - 2,4) \cdot 4$ км.

По течению катер прошёл то же расстояние, но на 30 минут быстрее. Переведём 30 минут в часы:

$30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = 0,5$ ч.

Значит, время движения по течению составило:

$t_{по} = 4 - 0,5 = 3,5$ ч.

Расстояние, пройденное по течению, равно:

$S = (x + 2,4) \cdot 3,5$ км.

Так как расстояние, пройденное по течению и против течения, одинаково, мы можем приравнять два полученных выражения и составить уравнение:

$4(x - 2,4) = 3,5(x + 2,4)$

Решим это уравнение. Сначала раскроем скобки:

$4x - 4 \cdot 2,4 = 3,5x + 3,5 \cdot 2,4$

$4x - 9,6 = 3,5x + 8,4$

Теперь перенесём все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$4x - 3,5x = 8,4 + 9,6$

$0,5x = 18$

Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 0,5:

$x = \frac{18}{0,5}$

$x = 36$

Таким образом, собственная скорость катера равна 36 км/ч.

Ответ: 36 км/ч.

720 Катер прошел некоторое расстояние против течения реки за 4 ч, а то же самое расстояние по течению реки – на 30 мин быстрее. Найди собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2,4 км/ч.

721 Найди неизвестный член пропорции

$ \frac{\frac{9}{55} - \frac{9}{44} \div 1.5 + \frac{4}{11}}{1.2 \div 0.75 - 2\frac{6}{25} \div 5.6} = \frac{1.8 \cdot 0.25 - 3.36 \div 3.2}{x} $

Для решения данной пропорции необходимо поочередно вычислить значения левой и правой частей уравнения, а затем найти неизвестный член $x$.

Запишем исходную пропорцию, расставив скобки в соответствии с порядком действий, который подразумевается форматированием выражения:

$$ \frac{(\frac{9}{55} - \frac{9}{44}) : (1,5 + \frac{4}{11})}{1,2:0,75 - 2\frac{6}{25}:5,6} = \frac{1,8 \cdot 0,25 - 3,36 : 3,2}{x} $$

1. Вычисление числителя левой части.

Сначала выполним действия в каждой из скобок.

1) Найдем разность дробей: $ \frac{9}{55} - \frac{9}{44} $. Общий знаменатель для 55 и 44 равен 220.

$ \frac{9}{55} - \frac{9}{44} = \frac{9 \cdot 4}{220} - \frac{9 \cdot 5}{220} = \frac{36 - 45}{220} = -\frac{9}{220} $

2) Найдем сумму во второй скобке, представив 1,5 в виде дроби $ \frac{3}{2} $:

$ 1,5 + \frac{4}{11} = \frac{3}{2} + \frac{4}{11} $. Общий знаменатель равен 22.

$ \frac{3 \cdot 11}{22} + \frac{4 \cdot 2}{22} = \frac{33 + 8}{22} = \frac{41}{22} $

3) Теперь разделим результат первого действия на результат второго:

$ -\frac{9}{220} : \frac{41}{22} = -\frac{9}{220} \cdot \frac{22}{41} = -\frac{9 \cdot 22}{220 \cdot 41} = -\frac{9}{10 \cdot 41} = -\frac{9}{410} $

2. Вычисление знаменателя левой части.

Согласно порядку действий, сначала выполняем деление, затем вычитание.

1) Выполним первое деление, представив десятичные дроби в виде обыкновенных:

$ 1,2 : 0,75 = \frac{12}{10} : \frac{75}{100} = \frac{6}{5} : \frac{3}{4} = \frac{6}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{2 \cdot 4}{5} = \frac{8}{5} = 1,6 $

2) Выполним второе деление, представив смешанное число и десятичную дробь в виде обыкновенных дробей:

$ 2\frac{6}{25} : 5,6 = \frac{56}{25} : \frac{56}{10} = \frac{56}{25} \cdot \frac{10}{56} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} = 0,4 $

3) Вычтем из результата первого деления результат второго:

$ 1,6 - 0,4 = 1,2 $

3. Определение значения левой части пропорции.

Разделим значение числителя (из шага 1) на значение знаменателя (из шага 2):

$ \frac{-9/410}{1,2} = \frac{-9/410}{12/10} = \frac{-9/410}{6/5} = -\frac{9}{410} \cdot \frac{5}{6} = -\frac{3 \cdot 1}{82 \cdot 2} = -\frac{3}{164} $

4. Вычисление числителя правой части.

Выполним умножение и деление, а затем вычитание.

1) $ 1,8 \cdot 0,25 = 1,8 \cdot \frac{1}{4} = 0,45 $

2) $ 3,36 : 3,2 = 33,6 : 32 = 1,05 $

3) $ 0,45 - 1,05 = -0,6 $

5. Решение пропорции.

Теперь мы имеем упрощенную пропорцию:

$ -\frac{3}{164} = \frac{-0,6}{x} $

Воспользуемся основным свойством пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних.

$ -\frac{3}{164} \cdot x = -0,6 $

Для удобства представим десятичную дробь $ -0,6 $ в виде обыкновенной: $ -0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5} $.

$ -\frac{3}{164} \cdot x = -\frac{3}{5} $

Домножим обе части уравнения на $ -1 $:

$ \frac{3}{164} \cdot x = \frac{3}{5} $

Разделим обе части на 3:

$ \frac{1}{164} \cdot x = \frac{1}{5} $

Отсюда находим $ x $:

$ x = \frac{164}{5} = \frac{328}{10} = 32,8 $

Ответ: $32,8$

721 Найди неизвестный член пропорции:

$\frac{\frac{9}{55} - \frac{9}{44} : 1,5 + \frac{4}{11}}{1,2 : 0,75 - 2\frac{6}{25} : 5,6} = \frac{1,8 \cdot 0,25 - 3,36 : 3,2}{x}$

C 722* Раскрась грани развёрток всех правильных многогранников так, чтобы было минимальное число цветов, а соседние грани склеенной модели не были одного цвета.

Тетраэдр

Тетраэдр имеет 4 грани, каждая из которых является треугольником. В тетраэдре каждая грань граничит с тремя другими гранями. То есть, любая пара граней является соседней.

Если представить грани в виде вершин графа, а общие рёбра — в виде связей между вершинами, то для тетраэдра мы получим полный граф $K_4$ (граф, в котором каждая вершина соединена с каждой другой вершиной). Для раскраски полного графа $K_n$ требуется $n$ цветов, так как никакие две вершины не могут быть одного цвета. Следовательно, для раскраски граней тетраэдра требуется 4 различных цвета. Если мы покрасим первую грань в цвет 1, вторую — в цвет 2, третью — в цвет 3, то четвёртая грань, будучи соседней с первыми тремя, потребует четвёртого цвета.

Таким образом, минимальное число цветов для раскраски тетраэдра равно 4. На развёртке нужно просто покрасить каждую из четырёх граней в свой уникальный цвет.

Ответ: 4.

Куб (гексаэдр)

Куб имеет 6 квадратных граней. Каждая грань соседствует с четырьмя другими гранями. У каждой грани есть одна противоположная грань, с которой она не имеет общих рёбер.

Для определения минимального числа цветов, попробуем использовать два цвета. Возьмём одну грань (например, верхнюю) и покрасим её в цвет 1. Тогда все четыре боковые грани, соседние с ней, должны быть покрашены в цвет 2. Однако любые две смежные боковые грани (например, передняя и правая) также являются соседними, и поэтому не могут быть одного цвета. Это противоречие означает, что двух цветов недостаточно.

Попробуем использовать три цвета. Противоположные грани куба не являются соседними, поэтому их можно покрасить в один и тот же цвет. В кубе три пары противоположных граней (верхняя-нижняя, передняя-задняя, левая-правая). Покрасим верхнюю и нижнюю грани в цвет 1. Переднюю и заднюю — в цвет 2. Левую и правую — в цвет 3. При такой раскраске любая грань (например, верхняя, цвет 1) будет соседствовать только с гранями других цветов (четыре боковые грани, цвета 2 и 3). Эта схема удовлетворяет условию задачи. На развёртке это будет соответствовать тому, что грани, которые после склейки станут противоположными, красятся в один цвет.

Минимальное число цветов для раскраски куба равно 3.

Ответ: 3.

Октаэдр

Октаэдр имеет 8 треугольных граней. В каждой вершине октаэдра сходятся 4 грани. Октаэдр является двойственным многогранником к кубу (это означает, что вершины октаэдра соответствуют граням куба, а грани октаэдра — вершинам куба).

Задача раскраски граней многогранника эквивалентна задаче раскраски вершин его двойственного многогранника. Следовательно, нам нужно определить, в какое минимальное число цветов можно раскрасить вершины куба. Вершины куба можно раскрасить в 2 цвета: если взять одну вершину и покрасить её в цвет 1, то три её соседа должны быть цвета 2. Соседи этих трёх вершин (кроме уже покрашенной первой) должны быть цвета 1. Продолжая этот процесс, мы можем раскрасить все 8 вершин куба в два цвета так, что никакие две соседние вершины не будут одного цвета (граф вершин куба является двудольным).

Из этого следует, что грани октаэдра можно раскрасить в 2 цвета. Можно взять любую грань, покрасить её в цвет 1. Три её соседние грани покрасить в цвет 2. Следующий слой граней (соседи граней цвета 2) покрасить в цвет 1, и так далее. В итоге 4 грани будут одного цвета, а 4 — другого, и никакие две соседние грани не будут окрашены одинаково.

Минимальное число цветов для раскраски октаэдра равно 2.

Ответ: 2.

Додекаэдр

Додекаэдр состоит из 12 граней, каждая из которых — правильный пятиугольник. Каждая грань соседствует с пятью другими гранями.

Рассмотрим одну грань и её пять соседей. Пусть центральная грань $F_0$ окрашена в цвет 1. Её пять соседних граней $F_1, F_2, F_3, F_4, F_5$ не могут быть цвета 1. Эти пять граней образуют цикл, то есть $F_1$ соседствует с $F_2$ и $F_5$, $F_2$ — с $F_1$ и $F_3$, и так далее. Для раскраски цикла из 5 элементов (нечётного цикла) требуется как минимум 3 цвета. Попробуем обойтись тремя цветами для всего многогранника (цветами 1, 2, 3). Попытаемся раскрасить соседей $F_1, ..., F_5$ только в цвета 2 и 3. Например: $F_1$ — цвет 2, $F_2$ — цвет 3, $F_3$ — цвет 2, $F_4$ — цвет 3. Тогда грань $F_5$, соседняя с $F_1$ (цвет 2) и $F_4$ (цвет 3), должна иметь цвет, отличный от 2 и 3. Этим цветом мог бы быть цвет 1. Однако грань $F_5$ также является соседней для центральной грани $F_0$, которая уже покрашена в цвет 1. Следовательно, $F_5$ не может быть цвета 1. Ей нужен новый, четвёртый цвет.

Таким образом, для раскраски одной грани и её пяти соседей уже необходимо 4 цвета. Известно, что 4 цветов достаточно для раскраски всего додекаэдра.

Минимальное число цветов для раскраски додекаэдра равно 4.

Ответ: 4.

Икосаэдр

Икосаэдр имеет 20 треугольных граней. В каждой вершине икосаэдра сходятся 5 граней. Икосаэдр является двойственным к додекаэдру.

Рассмотрим любую вершину икосаэдра. В ней сходятся 5 граней, которые образуют цикл (каждая грань соседствует с двумя другими из этой пятёрки). Для раскраски цикла из 5 элементов (нечётного цикла) необходимо как минимум 3 цвета. Следовательно, для раскраски икосаэдра нужно не менее 3 цветов.

Задача раскраски граней икосаэдра эквивалентна задаче раскраски вершин додекаэдра. Граф вершин додекаэдра имеет 20 вершин, степень каждой из которых равна 3. Согласно теореме Брукса, хроматическое число графа не превышает его максимальной степени $\Delta$, за исключением полных графов и нечётных циклов. Граф додекаэдра не является ни полным, ни циклом, его $\Delta=3$. Следовательно, его можно раскрасить в 3 цвета. Это означает, что и грани икосаэдра можно раскрасить в 3 цвета.

Так как мы показали, что необходимо не менее 3 цветов и что 3 цветов достаточно, то минимальное число цветов для раскраски икосаэдра равно 3.

Ответ: 3.

C 722 Раскрась грани разверток всех правильных многогранников так, чтобы было минимальное число цветов, а соседние грани склеенной модели не были одного цвета.

723 Прочитай определения, назови определяемые понятия и понятия, на которые они опираются. Сделай рисунки и установи логическую последовательность введения этих определений.

a) Диаметром окружности называется хорда, проходящая через её центр.

б) Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две её точки.

в) Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром окружности.

Для решения задачи проанализируем каждое определение, выделим определяемое понятие и понятия, на которые оно опирается, а затем установим логическую последовательность.

Определяемое понятие: окружность, центр окружности.
Понятия, на которые оно опирается: множество, точка, плоскость, расстояние.
Это определение является базовым, так как вводит основной объект — окружность, и опирается на фундаментальные геометрические понятия.

Рисунок:

Ответ: Определяемое понятие — окружность. Опирается на понятия: множество, точка, плоскость, расстояние, центр.

Определяемое понятие: хорда.
Понятия, на которые оно опирается: отрезок, точка, окружность.
Это определение может быть введено только после определения окружности, так как оно описывает элемент, принадлежащий окружности.

Рисунок:

Ответ: Определяемое понятие — хорда. Опирается на понятия: отрезок, точка, окружность.

Определяемое понятие: диаметр.
Понятия, на которые оно опирается: хорда, центр окружности, окружность.
Это определение является частным случаем хорды. Следовательно, оно должно вводиться после определения и хорды, и окружности (с её центром). Длина диаметра $D$ связана с радиусом $R$ соотношением $D = 2R$.

Рисунок:

Ответ: Определяемое понятие — диаметр. Опирается на понятия: хорда, центр окружности, окружность.

Логическая последовательность введения определений

Чтобы определить понятия, связанные с окружностью, необходимо сначала определить саму окружность. Таким образом, определение (в) должно быть первым.

После того как введено понятие окружности, можно определить её элементы. Понятие хорды (б) является более общим, чем понятие диаметра.

Наконец, понятие диаметра (а) определяется как частный случай хорды (хорда, проходящая через центр). Следовательно, определение (а) должно идти после определения (б).

Таким образом, правильная логическая последовательность введения этих определений: в) → б) → а).

Ответ: Логическая последовательность введения определений: в), б), а).

723 Прочитай определения, назови определяемые понятия и понятия, на которые они опираются. Сделай рисунки и установи логическую последовательность введения этих определений.

а) Диаметром окружности называется хорда, проходящая через ее центр.

б) Хордой окружности называется отрезок, соединяющий две ее точки.

в) Окружностью называется множество всех точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от заданной точки, называемой центром окружности.

724 Углы A и C на рисунке являются вписанными в окружность, а углы B и D – нет. Придумай определение угла, вписанного в окружность.

Чтобы сформулировать определение угла, вписанного в окружность, необходимо проанализировать общие свойства углов A и C (которые являются вписанными) и выявить, чем от них отличаются углы B и D (которые вписанными не являются).

Анализ вписанных углов A и C:

• Вершина угла: У обоих углов, A и C, вершина находится на линии окружности.
• Стороны угла: Обе стороны каждого из этих углов пересекают окружность в двух точках (одна из которых — вершина). Таким образом, стороны углов содержат хорды окружности.

Анализ углов B и D, не являющихся вписанными:

• Угол B: Его ключевое отличие — вершина находится внутри окружности, а не на ней.
• Угол D: Его вершина лежит на окружности, как и у вписанных углов. Однако одна из его сторон не является хордой, а является касательной к окружности в точке вершины. У вписанного угла обе стороны должны быть хордами.

Обобщая эти наблюдения, можно заключить, что вписанный угол должен удовлетворять двум обязательным условиям: его вершина должна лежать на окружности, и обе его стороны должны быть хордами этой окружности.

Ответ: Вписанным углом (или углом, вписанным в окружность) называется угол, вершина которого лежит на окружности, а его стороны являются хордами этой окружности.

724 Углы A и C на рисунке являются вписанными в окружность, а углы B и D – нет. Придумай определение угла, вписанного в окружность.

725. Построй с помощью циркуля и линейки треугольник $ABC$:

а) по двум сторонам $a$ и $b$;

б) по трём сторонам $a$, $b$ и $c$;

в) по двум сторонам $a$ и $b$ и углу между ними $C$;

г) по стороне $a$ и двум прилежащим к ней углам $B$ и $C$ (стороны и углы задай произвольно).

Сколько решений имеет задача? Всегда ли решение возможно?

а) по двум сторонам $a$ и $b$

Задача в данной формулировке не имеет однозначного решения, так как для построения единственного (с точностью до конгруэнтности) треугольника необходимо задать три независимых элемента. Двух сторон недостаточно, чтобы однозначно определить форму и размеры треугольника. Можно построить бесконечное множество различных треугольников, у которых две стороны будут равны заданным отрезкам $a$ и $b$.

Алгоритм построения одного из возможных треугольников:

1. Начертить произвольную прямую и отметить на ней точку B.
2. С помощью циркуля отложить от точки B отрезок, равный стороне $a$. Получим точку C. Таким образом, сторона $BC = a$.
3. С помощью циркуля начертить окружность (или дугу) с центром в точке C и радиусом, равным стороне $b$.
4. Выбрать любую точку A на этой окружности, не лежащую на прямой BC.
5. Соединить точки A, B и C отрезками. Построенный треугольник ABC будет одним из искомых, так как у него стороны $BC = a$ и $AC = b$.

Сколько решений имеет задача?

Задача имеет бесконечное множество решений, так как вершину A можно выбрать в любом месте на построенной окружности (за исключением двух точек пересечения с прямой BC, которые приводят к вырожденному треугольнику).

Всегда ли решение возможно?

Да, построение возможно всегда, при условии, что длины сторон $a$ и $b$ являются положительными числами ($a > 0, b > 0$).

Ответ: Задача не определена однозначно и имеет бесконечное множество решений. Построение возможно всегда при $a > 0$ и $b > 0$.

б) по трём сторонам $a, b$ и $c$

Это задача на построение треугольника по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).

Алгоритм построения:

1. Начертить прямую и отметить на ней точку B.
2. С помощью циркуля отмерить отрезок длиной $a$ и отложить его от точки B на прямой, получив точку C. Таким образом, $BC = a$.
3. Измерить циркулем длину стороны $c$ и провести дугу окружности с центром в точке B и радиусом $c$.
4. Измерить циркулем длину стороны $b$ и провести дугу окружности с центром в точке C и радиусом $b$.
5. Точка пересечения этих двух дуг будет третьей вершиной треугольника — точкой A. (Дуги пересекутся в двух точках, симметричных относительно прямой BC. Выбор любой из них приведет к построению одного и того же треугольника с точностью до конгруэнтности).
6. Соединить точки A, B и C отрезками. Треугольник ABC — искомый.

Сколько решений имеет задача?

Задача имеет одно единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Всегда ли решение возможно?

Нет, решение возможно не всегда. Для того чтобы треугольник существовал, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. То есть, должны одновременно выполняться три условия: $a + b > c$, $a + c > b$ и $b + c > a$. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, дуги не пересекутся (или пересекутся на прямой BC, образуя вырожденный треугольник), и построение будет невозможно.

Ответ: Задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности) при условии выполнения неравенства треугольника ($a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$). В противном случае решений нет.

в) по двум сторонам $a$ и $b$ и углу между ними $C$

Это задача на построение треугольника по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Алгоритм построения:

1. Начертить произвольную прямую и отметить на ней точку C.
2. Построить угол, равный данному углу $C$, с вершиной в точке C.
3. На одном луче угла от точки C отложить с помощью циркуля отрезок $CB$, равный стороне $a$.
4. На втором луче угла от точки C отложить с помощью циркуля отрезок $CA$, равный стороне $b$.
5. Соединить точки A и B. Треугольник ABC — искомый.

Сколько решений имеет задача?

Задача имеет одно единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Всегда ли решение возможно?

Построение возможно всегда при условии, что длины сторон $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0, b > 0$), а угол $C$ больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$ ($0^\circ < C < 180^\circ$). Если угол равен $0^\circ$ или $180^\circ$, треугольник будет вырожденным (его вершины будут лежать на одной прямой).

Ответ: Задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности) при условии, что $a>0$, $b>0$ и $0^\circ < C < 180^\circ$.

г) по стороне $a$ и двум прилежащим к ней углам $B$ и $C$

Это задача на построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Алгоритм построения:

1. Начертить прямую и отложить на ней с помощью циркуля отрезок BC, равный по длине стороне $a$.
2. В точке B построить угол, равный данному углу $B$, так, чтобы одна его сторона лежала на отрезке BC.
3. В точке C построить угол, равный данному углу $C$, так, чтобы одна его сторона лежала на отрезке BC и он был расположен в той же полуплоскости относительно прямой BC, что и угол B.
4. Лучи, построенные на шагах 2 и 3, пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку A.
5. Треугольник ABC — искомый.

Сколько решений имеет задача?

Задача имеет одно единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Всегда ли решение возможно?

Нет, решение возможно не всегда. Для того чтобы лучи, выходящие из точек B и C, пересеклись и образовали треугольник, сумма углов $B$ и $C$ должна быть меньше $180^\circ$. То есть, должно выполняться условие: $B + C < 180^\circ$. Также необходимо, чтобы углы были положительными ($B > 0, C > 0$). Если $B + C \ge 180^\circ$, лучи не пересекутся (будут параллельны или расходящимися), и треугольник построить будет невозможно.

Ответ: Задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности) при условии, что сумма данных углов меньше $180^\circ$ ($B + C < 180^\circ$), а сами углы положительны.

725. Построй с помощью циркуля и линейки треугольник $ABC$:

а) по двум сторонам $a$ и $b$;

б) по трем сторонам $a$, $b$ и $c$;

в) по двум сторонам $a$ и $b$ и углу между ними $C$;

г) по стороне $a$ и двум прилежащим к ней углам $B$ и $C$ (стороны и углы задай произвольно).

Сколько решений имеет задача? Всегда ли решение возможно?