Номер 725, страница 167, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Правильные многогранники. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 725, страница 167.

Условие 2023.

725. Построй с помощью циркуля и линейки треугольник $ABC$:

а) по двум сторонам $a$ и $b$;

б) по трём сторонам $a$, $b$ и $c$;

в) по двум сторонам $a$ и $b$ и углу между ними $C$;

г) по стороне $a$ и двум прилежащим к ней углам $B$ и $C$ (стороны и углы задай произвольно).

Сколько решений имеет задача? Всегда ли решение возможно?

Решение 2 (2023).

а) по двум сторонам $a$ и $b$

Задача в данной формулировке не имеет однозначного решения, так как для построения единственного (с точностью до конгруэнтности) треугольника необходимо задать три независимых элемента. Двух сторон недостаточно, чтобы однозначно определить форму и размеры треугольника. Можно построить бесконечное множество различных треугольников, у которых две стороны будут равны заданным отрезкам $a$ и $b$.

Алгоритм построения одного из возможных треугольников:

1. Начертить произвольную прямую и отметить на ней точку B.
2. С помощью циркуля отложить от точки B отрезок, равный стороне $a$. Получим точку C. Таким образом, сторона $BC = a$.
3. С помощью циркуля начертить окружность (или дугу) с центром в точке C и радиусом, равным стороне $b$.
4. Выбрать любую точку A на этой окружности, не лежащую на прямой BC.
5. Соединить точки A, B и C отрезками. Построенный треугольник ABC будет одним из искомых, так как у него стороны $BC = a$ и $AC = b$.

Сколько решений имеет задача?

Задача имеет бесконечное множество решений, так как вершину A можно выбрать в любом месте на построенной окружности (за исключением двух точек пересечения с прямой BC, которые приводят к вырожденному треугольнику).

Всегда ли решение возможно?

Да, построение возможно всегда, при условии, что длины сторон $a$ и $b$ являются положительными числами ($a > 0, b > 0$).

Ответ: Задача не определена однозначно и имеет бесконечное множество решений. Построение возможно всегда при $a > 0$ и $b > 0$.

б) по трём сторонам $a, b$ и $c$

Это задача на построение треугольника по трём сторонам (третий признак равенства треугольников).

Алгоритм построения:

1. Начертить прямую и отметить на ней точку B.
2. С помощью циркуля отмерить отрезок длиной $a$ и отложить его от точки B на прямой, получив точку C. Таким образом, $BC = a$.
3. Измерить циркулем длину стороны $c$ и провести дугу окружности с центром в точке B и радиусом $c$.
4. Измерить циркулем длину стороны $b$ и провести дугу окружности с центром в точке C и радиусом $b$.
5. Точка пересечения этих двух дуг будет третьей вершиной треугольника — точкой A. (Дуги пересекутся в двух точках, симметричных относительно прямой BC. Выбор любой из них приведет к построению одного и того же треугольника с точностью до конгруэнтности).
6. Соединить точки A, B и C отрезками. Треугольник ABC — искомый.

Сколько решений имеет задача?

Задача имеет одно единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Всегда ли решение возможно?

Нет, решение возможно не всегда. Для того чтобы треугольник существовал, должно выполняться неравенство треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. То есть, должны одновременно выполняться три условия: $a + b > c$, $a + c > b$ и $b + c > a$. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, дуги не пересекутся (или пересекутся на прямой BC, образуя вырожденный треугольник), и построение будет невозможно.

Ответ: Задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности) при условии выполнения неравенства треугольника ($a+b>c$, $a+c>b$, $b+c>a$). В противном случае решений нет.

в) по двум сторонам $a$ и $b$ и углу между ними $C$

Это задача на построение треугольника по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

Алгоритм построения:

1. Начертить произвольную прямую и отметить на ней точку C.
2. Построить угол, равный данному углу $C$, с вершиной в точке C.
3. На одном луче угла от точки C отложить с помощью циркуля отрезок $CB$, равный стороне $a$.
4. На втором луче угла от точки C отложить с помощью циркуля отрезок $CA$, равный стороне $b$.
5. Соединить точки A и B. Треугольник ABC — искомый.

Сколько решений имеет задача?

Задача имеет одно единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Всегда ли решение возможно?

Построение возможно всегда при условии, что длины сторон $a$ и $b$ — положительные числа ($a > 0, b > 0$), а угол $C$ больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$ ($0^\circ < C < 180^\circ$). Если угол равен $0^\circ$ или $180^\circ$, треугольник будет вырожденным (его вершины будут лежать на одной прямой).

Ответ: Задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности) при условии, что $a>0$, $b>0$ и $0^\circ < C < 180^\circ$.

г) по стороне $a$ и двум прилежащим к ней углам $B$ и $C$

Это задача на построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Алгоритм построения:

1. Начертить прямую и отложить на ней с помощью циркуля отрезок BC, равный по длине стороне $a$.
2. В точке B построить угол, равный данному углу $B$, так, чтобы одна его сторона лежала на отрезке BC.
3. В точке C построить угол, равный данному углу $C$, так, чтобы одна его сторона лежала на отрезке BC и он был расположен в той же полуплоскости относительно прямой BC, что и угол B.
4. Лучи, построенные на шагах 2 и 3, пересекутся в некоторой точке. Обозначим эту точку A.
5. Треугольник ABC — искомый.

Сколько решений имеет задача?

Задача имеет одно единственное решение (с точностью до конгруэнтности).

Всегда ли решение возможно?

Нет, решение возможно не всегда. Для того чтобы лучи, выходящие из точек B и C, пересеклись и образовали треугольник, сумма углов $B$ и $C$ должна быть меньше $180^\circ$. То есть, должно выполняться условие: $B + C < 180^\circ$. Также необходимо, чтобы углы были положительными ($B > 0, C > 0$). Если $B + C \ge 180^\circ$, лучи не пересекутся (будут параллельны или расходящимися), и треугольник построить будет невозможно.

Ответ: Задача имеет единственное решение (с точностью до конгруэнтности) при условии, что сумма данных углов меньше $180^\circ$ ($B + C < 180^\circ$), а сами углы положительны.

Условие 2010-2022.

725. Построй с помощью циркуля и линейки треугольник $ABC$:

а) по двум сторонам $a$ и $b$;

б) по трем сторонам $a$, $b$ и $c$;

в) по двум сторонам $a$ и $b$ и углу между ними $C$;

г) по стороне $a$ и двум прилежащим к ней углам $B$ и $C$ (стороны и углы задай произвольно).

Сколько решений имеет задача? Всегда ли решение возможно?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).