Номер 732, страница 168, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 4. Правильные многогранники - номер 732, страница 168.

Условие 2023.

732 Начерти в масштабе 1 : 4 три проекции тела, изображённого на рис. 143, и вычисли его объ- ём, если $AB = AA_1 = AF = 20 \text{ см}$, $BC = 12 \text{ см}$, $CD = 8 \text{ см}$.

Рис. 143

Решение 2 (2023).

Для решения задачи разобьем ее на два пункта: построение проекций и вычисление объема.

а) Построение трех проекций тела в масштабе 1:4.

Сначала определим все размеры тела. Согласно условию, тело вписано в куб с ребром 20 см, так как его ширина $AB = 20$ см, высота $AA_1 = 20$ см и глубина $AF = 20$ см.Из этого куба в правом верхнем переднем углу вырезан прямоугольный параллелепипед.

Определим размеры вырезанного параллелепипеда:

• Ширина выреза: общая ширина 20 см, ширина оставшейся левой части $BC = 12$ см. Значит, ширина выреза равна $20 - 12 = 8$ см.
• Глубина выреза: по условию, длина уступа в направлении глубины $CD = 8$ см. Это и есть глубина выреза.
• Высота выреза: в условии высота уступа не указана. Часто в таких задачах предполагается, что недостающий размер равен одному из известных. Предположим, что высота нижней, более низкой части тела, равна 8 см (по аналогии с размером $CD$). Тогда высота вырезанного параллелепипеда равна разности общей высоты и высоты нижней части: $20 - 8 = 12$ см.

Теперь выполним чертежи проекций в масштабе 1:4. Все размеры нужно разделить на 4.

Размеры для чертежа:

• Габаритные размеры: $20 \text{ см} / 4 = 5$ см.
• Размер $BC$: $12 \text{ см} / 4 = 3$ см.
• Размеры выреза (ширина, глубина, высота): $8 \text{ см} / 4 = 2$ см; $8 \text{ см} / 4 = 2$ см; $12 \text{ см} / 4 = 3$ см.

Описание проекций:

1. Проекция спереди (вид спереди): Мы видим фигуру, вписанную в квадрат $5 \times 5$ см. Из правого верхнего угла этого квадрата вырезан прямоугольник размером $2 \times 3$ см (ширина $\times$ высота). Получается фигура в виде перевернутой буквы "Г".
2. Проекция сверху (вид сверху): Мы видим квадрат $5 \times 5$ см. Внутри него линиями показан уступ. Уступ образует в правом переднем углу (на чертеже, например, правом верхнем) квадрат размером $2 \times 2$ см, который отделен сплошными линиями от остальной части проекции.
3. Проекция слева (вид слева): Мы видим сплошной квадрат $5 \times 5$ см, так как левая грань тела цельная. За этой гранью находится уступ, который показывается штриховыми линиями. На расстоянии 2 см от передней кромки (например, правой стороны чертежа) проходит вертикальная штриховая линия от высоты 2 см до 5 см. От нижней точки этой линии (на высоте 2 см) к передней кромке идет горизонтальная штриховая линия.

Ответ: Проекции тела представляют собой (в масштабе 1:4): вид спереди — квадрат $5 \times 5$ см с вырезанным из правого верхнего угла прямоугольником $2 \times 3$ см; вид сверху — квадрат $5 \times 5$ см, в котором линиями выделен правый передний квадрат $2 \times 2$ см; вид слева — квадрат $5 \times 5$ см со штриховыми линиями, показывающими скрытый уступ.

б) Вычисление объёма тела.

Объём тела можно вычислить как разность объёма исходного большого куба и объёма вырезанного из него прямоугольного параллелепипеда.

1. Объём исходного куба ($V_{куба}$) с ребром $a = 20$ см:$V_{куба} = a^3 = 20^3 = 8000 \text{ см}^3$.

2. Размеры вырезанного параллелепипеда ($V_{выреза}$):

• Ширина ($w_{выреза}$): $20 - BC = 20 - 12 = 8$ см.
• Глубина ($d_{выреза}$): $CD = 8$ см.
• Высота ($h_{выреза}$): Как было обосновано в пункте а), принимаем высоту нижней части равной 8 см. Тогда высота выреза равна $20 - 8 = 12$ см.

3. Объём вырезанного параллелепипеда:$V_{выреза} = w_{выреза} \cdot d_{выреза} \cdot h_{выреза} = 8 \cdot 8 \cdot 12 = 64 \cdot 12 = 768 \text{ см}^3$.

4. Объём тела ($V_{тела}$):$V_{тела} = V_{куба} - V_{выреза} = 8000 - 768 = 7232 \text{ см}^3$.

Ответ: $7232 \text{ см}^3$.

Условие 2010-2022.

732 Начерти в масштабе 1 : 4 три проекции тела, изображенного на рис. 143, и вычисли его объем, если $AB = AA_1 = AF = 20$ см, $BC = 12$ см, $CD = 8$ см.

Рис. 143

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).