Номер 722, страница 167, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

4. Правильные многогранники. Параграф 4. Симметрия фигур. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 722, страница 167.

Условие 2023.

C 722* Раскрась грани развёрток всех правильных многогранников так, чтобы было минимальное число цветов, а соседние грани склеенной модели не были одного цвета.

Решение 2 (2023).

Тетраэдр

Тетраэдр имеет 4 грани, каждая из которых является треугольником. В тетраэдре каждая грань граничит с тремя другими гранями. То есть, любая пара граней является соседней.

Если представить грани в виде вершин графа, а общие рёбра — в виде связей между вершинами, то для тетраэдра мы получим полный граф $K_4$ (граф, в котором каждая вершина соединена с каждой другой вершиной). Для раскраски полного графа $K_n$ требуется $n$ цветов, так как никакие две вершины не могут быть одного цвета. Следовательно, для раскраски граней тетраэдра требуется 4 различных цвета. Если мы покрасим первую грань в цвет 1, вторую — в цвет 2, третью — в цвет 3, то четвёртая грань, будучи соседней с первыми тремя, потребует четвёртого цвета.

Таким образом, минимальное число цветов для раскраски тетраэдра равно 4. На развёртке нужно просто покрасить каждую из четырёх граней в свой уникальный цвет.

Ответ: 4.

Куб (гексаэдр)

Куб имеет 6 квадратных граней. Каждая грань соседствует с четырьмя другими гранями. У каждой грани есть одна противоположная грань, с которой она не имеет общих рёбер.

Для определения минимального числа цветов, попробуем использовать два цвета. Возьмём одну грань (например, верхнюю) и покрасим её в цвет 1. Тогда все четыре боковые грани, соседние с ней, должны быть покрашены в цвет 2. Однако любые две смежные боковые грани (например, передняя и правая) также являются соседними, и поэтому не могут быть одного цвета. Это противоречие означает, что двух цветов недостаточно.

Попробуем использовать три цвета. Противоположные грани куба не являются соседними, поэтому их можно покрасить в один и тот же цвет. В кубе три пары противоположных граней (верхняя-нижняя, передняя-задняя, левая-правая). Покрасим верхнюю и нижнюю грани в цвет 1. Переднюю и заднюю — в цвет 2. Левую и правую — в цвет 3. При такой раскраске любая грань (например, верхняя, цвет 1) будет соседствовать только с гранями других цветов (четыре боковые грани, цвета 2 и 3). Эта схема удовлетворяет условию задачи. На развёртке это будет соответствовать тому, что грани, которые после склейки станут противоположными, красятся в один цвет.

Минимальное число цветов для раскраски куба равно 3.

Ответ: 3.

Октаэдр

Октаэдр имеет 8 треугольных граней. В каждой вершине октаэдра сходятся 4 грани. Октаэдр является двойственным многогранником к кубу (это означает, что вершины октаэдра соответствуют граням куба, а грани октаэдра — вершинам куба).

Задача раскраски граней многогранника эквивалентна задаче раскраски вершин его двойственного многогранника. Следовательно, нам нужно определить, в какое минимальное число цветов можно раскрасить вершины куба. Вершины куба можно раскрасить в 2 цвета: если взять одну вершину и покрасить её в цвет 1, то три её соседа должны быть цвета 2. Соседи этих трёх вершин (кроме уже покрашенной первой) должны быть цвета 1. Продолжая этот процесс, мы можем раскрасить все 8 вершин куба в два цвета так, что никакие две соседние вершины не будут одного цвета (граф вершин куба является двудольным).

Из этого следует, что грани октаэдра можно раскрасить в 2 цвета. Можно взять любую грань, покрасить её в цвет 1. Три её соседние грани покрасить в цвет 2. Следующий слой граней (соседи граней цвета 2) покрасить в цвет 1, и так далее. В итоге 4 грани будут одного цвета, а 4 — другого, и никакие две соседние грани не будут окрашены одинаково.

Минимальное число цветов для раскраски октаэдра равно 2.

Ответ: 2.

Додекаэдр

Додекаэдр состоит из 12 граней, каждая из которых — правильный пятиугольник. Каждая грань соседствует с пятью другими гранями.

Рассмотрим одну грань и её пять соседей. Пусть центральная грань $F_0$ окрашена в цвет 1. Её пять соседних граней $F_1, F_2, F_3, F_4, F_5$ не могут быть цвета 1. Эти пять граней образуют цикл, то есть $F_1$ соседствует с $F_2$ и $F_5$, $F_2$ — с $F_1$ и $F_3$, и так далее. Для раскраски цикла из 5 элементов (нечётного цикла) требуется как минимум 3 цвета. Попробуем обойтись тремя цветами для всего многогранника (цветами 1, 2, 3). Попытаемся раскрасить соседей $F_1, ..., F_5$ только в цвета 2 и 3. Например: $F_1$ — цвет 2, $F_2$ — цвет 3, $F_3$ — цвет 2, $F_4$ — цвет 3. Тогда грань $F_5$, соседняя с $F_1$ (цвет 2) и $F_4$ (цвет 3), должна иметь цвет, отличный от 2 и 3. Этим цветом мог бы быть цвет 1. Однако грань $F_5$ также является соседней для центральной грани $F_0$, которая уже покрашена в цвет 1. Следовательно, $F_5$ не может быть цвета 1. Ей нужен новый, четвёртый цвет.

Таким образом, для раскраски одной грани и её пяти соседей уже необходимо 4 цвета. Известно, что 4 цветов достаточно для раскраски всего додекаэдра.

Минимальное число цветов для раскраски додекаэдра равно 4.

Ответ: 4.

Икосаэдр

Икосаэдр имеет 20 треугольных граней. В каждой вершине икосаэдра сходятся 5 граней. Икосаэдр является двойственным к додекаэдру.

Рассмотрим любую вершину икосаэдра. В ней сходятся 5 граней, которые образуют цикл (каждая грань соседствует с двумя другими из этой пятёрки). Для раскраски цикла из 5 элементов (нечётного цикла) необходимо как минимум 3 цвета. Следовательно, для раскраски икосаэдра нужно не менее 3 цветов.

Задача раскраски граней икосаэдра эквивалентна задаче раскраски вершин додекаэдра. Граф вершин додекаэдра имеет 20 вершин, степень каждой из которых равна 3. Согласно теореме Брукса, хроматическое число графа не превышает его максимальной степени $\Delta$, за исключением полных графов и нечётных циклов. Граф додекаэдра не является ни полным, ни циклом, его $\Delta=3$. Следовательно, его можно раскрасить в 3 цвета. Это означает, что и грани икосаэдра можно раскрасить в 3 цвета.

Так как мы показали, что необходимо не менее 3 цветов и что 3 цветов достаточно, то минимальное число цветов для раскраски икосаэдра равно 3.

Ответ: 3.

Условие 2010-2022.

C 722 Раскрась грани разверток всех правильных многогранников так, чтобы было минимальное число цветов, а соседние грани склеенной модели не были одного цвета.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).