Страница 172, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

760 Периметр треугольника $ABC$ равен $16,8$ см. Найди длины его сторон, если $AB$ относится к $BC$ как $7 : 5$, а $BC$ относится к $AC$ как $3 : 4$.

Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин его сторон: $P = AB + BC + AC = 16.8$ см.

Из условия задачи известны отношения длин сторон:
$AB : BC = 7 : 5$
$BC : AC = 3 : 4$

Для того чтобы найти отношение всех трех сторон $AB : BC : AC$, необходимо привести оба отношения к общему значению для стороны $BC$. Найдем наименьшее общее кратное для чисел, соответствующих $BC$ в данных отношениях, то есть для 5 и 3. Наименьшее общее кратное для 5 и 3 равно 15.

Преобразуем первое отношение, умножив обе его части на 3:
$AB : BC = (7 \cdot 3) : (5 \cdot 3) = 21 : 15$.

Преобразуем второе отношение, умножив обе его части на 5:
$BC : AC = (3 \cdot 5) : (4 \cdot 5) = 15 : 20$.

Теперь мы можем объединить эти отношения в одно:
$AB : BC : AC = 21 : 15 : 20$.

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности. Тогда длины сторон можно выразить как:
$AB = 21x$, $BC = 15x$, $AC = 20x$.

Зная периметр, составим и решим уравнение:
$21x + 15x + 20x = 16.8$
$56x = 16.8$
$x = \frac{16.8}{56}$
$x = 0.3$

Теперь вычислим длины сторон треугольника, подставив найденное значение $x$:
$AB = 21 \cdot 0.3 = 6.3$ см.
$BC = 15 \cdot 0.3 = 4.5$ см.
$AC = 20 \cdot 0.3 = 6.0$ см.

Ответ: длины сторон треугольника равны 6,3 см, 4,5 см и 6,0 см.

760 Периметр треугольника ABC равен 16,8 см. Найди длины его сторон, если

$AB$ относится к $BC$ как $7 : 5$, а $BC$ относится к $AC$ как $3 : 4$.

761 Сформулируй определение и основное свойство пропорции. Приведи примеры. Какие преобразования пропорций возможны?

Определение и основное свойство пропорции

Пропорцией называется равенство двух отношений. Если два отношения, например, отношение $a$ к $b$ и отношение $c$ к $d$, равны, то их равенство $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ или $a : b = c : d$ является пропорцией.

Члены пропорции имеют свои названия: $a$ и $d$ называются крайними членами, а $b$ и $c$ — средними членами.

Основное свойство пропорции гласит: произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.

Для пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ основное свойство записывается в виде формулы: $a \cdot d = b \cdot c$.

Ответ: Пропорция — это равенство двух отношений (например, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$). Основное свойство пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних членов ($a \cdot d = b \cdot c$).

Примеры

Рассмотрим числовую пропорцию $12 : 3 = 8 : 2$. Это верная пропорция, так как значения отношений равны: $12 : 3 = 4$ и $8 : 2 = 4$. Крайние члены здесь — 12 и 2, а средние — 3 и 8. Проверим основное свойство: произведение крайних членов $12 \cdot 2 = 24$, произведение средних членов $3 \cdot 8 = 24$. Равенство $24 = 24$ выполняется.

Еще один пример: $\frac{5}{15} = \frac{3}{9}$. Здесь $5 \cdot 9 = 45$ и $15 \cdot 3 = 45$. Равенство $45 = 45$ также выполняется.

Ответ: Примеры верных пропорций: $12 : 3 = 8 : 2$ и $\frac{5}{15} = \frac{3}{9}$.

Какие преобразования пропорций возможны?

Из исходной верной пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ можно получить другие верные пропорции путем следующих преобразований:

• Перестановка средних членов: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.
• Перестановка крайних членов: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$.
• Обращение пропорции (перестановка числителей и знаменателей в каждом отношении): $\frac{b}{a} = \frac{d}{c}$.
• Создание так называемых производных пропорций, например:
  • Сложение числителя и знаменателя в каждом отношении: $\frac{a+b}{b} = \frac{c+d}{d}$.
  • Вычитание числителя и знаменателя в каждом отношении: $\frac{a-b}{b} = \frac{c-d}{d}$.
  • Комбинированное преобразование: $\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}$.

Например, из пропорции $\frac{12}{3} = \frac{8}{2}$ можно получить верную пропорцию $\frac{12+3}{3} = \frac{8+2}{2}$, то есть $\frac{15}{3} = \frac{10}{2}$, что верно ($5=5$).

Ответ: Возможны следующие преобразования пропорций: перестановка средних членов, перестановка крайних членов, обращение пропорции, а также создание производных пропорций путем сложения или вычитания числителей и знаменателей.

761 Сформулируй определение и основное свойство пропорции. Приведи при-меры. Какие преобразования пропорций возможны?

762 а) Приведи примеры прямо и обратно пропорциональных величин. Сформулируй их определение и запиши формулы прямой и обратной пропорциональностей.

б) Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей величин $y = 2x$ и $y = -2x$. Что ты замечаешь?

в) Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей величин $y = \frac{12}{x}$ и $y = -\frac{12}{x}$. Что ты замечаешь?

а)

Прямая пропорциональность
Определение: Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз. Отношение соответствующих значений этих величин есть постоянное число.
Примеры:
1. Путь, пройденный телом при постоянной скорости, и время движения. Чем больше время, тем больший путь будет пройден.
2. Стоимость товара, купленного по одной цене, и его количество. Чем больше количество, тем выше стоимость.
Формула: $y = kx$, где $y$ и $x$ – пропорциональные величины, а $k$ – постоянный коэффициент пропорциональности ($k \neq 0$).

Обратная пропорциональность
Определение: Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз, другая уменьшается (или увеличивается) во столько же раз. Произведение соответствующих значений этих величин есть постоянное число.
Примеры:
1. Скорость движения на определённом участке пути и время, затраченное на этот путь. Чем выше скорость, тем меньше времени потребуется.
2. Количество рабочих, выполняющих определенную работу, и время выполнения этой работы. Чем больше рабочих, тем меньше времени им понадобится.
Формула: $y = \frac{k}{x}$, где $y$ и $x$ – пропорциональные величины, а $k$ – постоянный коэффициент пропорциональности ($k \neq 0$).

Ответ: Примеры, определения и формулы прямой и обратной пропорциональностей приведены выше.

б)

Построим графики зависимостей $y = 2x$ и $y = -2x$. Обе функции являются прямыми пропорциональностями, поэтому их графики — это прямые линии, проходящие через начало координат (0; 0). Для построения каждой прямой достаточно найти еще по одной точке.
Для $y = 2x$: возьмем точку, где $x = 1$, тогда $y = 2 \cdot 1 = 2$. График проходит через точки (0; 0) и (1; 2). Эта прямая расположена в I и III координатных четвертях.
Для $y = -2x$: возьмем точку, где $x = 1$, тогда $y = -2 \cdot 1 = -2$. График проходит через точки (0; 0) и (1; -2). Эта прямая расположена во II и IV координатных четвертях.

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что оба графика — это прямые, проходящие через начало координат. Графики симметричны друг другу относительно оси абсцисс (OX) и оси ординат (OY).

Ответ: Графики являются прямыми, проходящими через начало координат, и они симметричны относительно осей OX и OY.

в)

Построим графики зависимостей $y = \frac{12}{x}$ и $y = -\frac{12}{x}$. Обе функции являются обратными пропорциональностями, их графики – гиперболы. Для построения каждой гиперболы найдем несколько точек.
Для $y = \frac{12}{x}$ возьмем точки: (2; 6), (3; 4), (4; 3), (6; 2), а также (-2; -6), (-3; -4), (-4; -3), (-6; -2). Ветви этой гиперболы расположены в I и III координатных четвертях.
Для $y = -\frac{12}{x}$ возьмем точки: (2; -6), (3; -4), (4; -3), (6; -2), а также (-2; 6), (-3; 4), (-4; 3), (-6; 2). Ветви этой гиперболы расположены во II и IV координатных четвертях.

Что ты замечаешь?
Можно заметить, что оба графика — это гиперболы. Графики симметричны друг другу относительно оси абсцисс (OX) и оси ординат (OY).

Ответ: Графики являются гиперболами, их ветви расположены в разных координатных четвертях. Графики симметричны относительно осей OX и OY.

762. а) Приведи примеры прямо и обратно пропорциональных величин. Сформулируй их определение и запиши формулы прямой и обратной пропорциональностей.

б) Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей величин $y = 2x$ и $y = -2x$. Что ты замечаешь?

в) Построй на одной координатной плоскости графики зависимостей величин $y = \frac{12}{x}$ и $y = -\frac{12}{x}$. Что ты замечаешь?

763 a) На ипподроме лошадь, пробежав по кругу 8 раз, преодолевает 12,8 км. Сколько километров она преодолеет, пробежав по кругу 16 раз, 20 раз?

б) Две одинаковые трубы наполняют бассейн за 12 ч. За сколько времени наполнят бассейн 4 такие же трубы, 5 таких же труб?

в) Автомобиль может проехать расстояние между двумя городами, двигаясь со скоростью 80 км/ч, за 6 ч. На сколько он должен увеличить скорость, чтобы преодолеть это расстояние за 4 ч?

а) Сначала найдем, какое расстояние лошадь пробегает за один круг, разделив общее расстояние на количество кругов:
$12,8 \text{ км} \div 8 = 1,6 \text{ км}$.

Теперь, зная длину одного круга, вычислим расстояние для 16 кругов:
$1,6 \text{ км} \times 16 = 25,6 \text{ км}$.

Аналогично вычислим расстояние для 20 кругов:
$1,6 \text{ км} \times 20 = 32 \text{ км}$.

Ответ: 25,6 км; 32 км.

б) Это задача на обратную пропорциональность. Сначала определим, сколько времени потребуется одной трубе, чтобы наполнить бассейн. Если две трубы справляются за 12 часов, то одна будет работать в два раза дольше:
$12 \text{ ч} \times 2 = 24 \text{ часа}$.

Теперь найдем время для 4 таких же труб. Они будут работать в 4 раза быстрее, чем одна труба:
$24 \text{ часа} \div 4 = 6 \text{ часов}$.

А 5 таких же труб справятся в 5 раз быстрее, чем одна:
$24 \text{ часа} \div 5 = 4,8 \text{ часа}$.

Ответ: за 6 часов; за 4,8 часа.

в) Сначала найдем расстояние между городами, умножив скорость автомобиля на время в пути по формуле $S = v \times t$ :
$S = 80 \text{ км/ч} \times 6 \text{ ч} = 480 \text{ км}$.

Далее определим, с какой скоростью нужно двигаться, чтобы преодолеть это расстояние за 4 часа:
$v_{новая} = S \div t_{новая} = 480 \text{ км} \div 4 \text{ ч} = 120 \text{ км/ч}$.

Чтобы найти, на сколько нужно увеличить скорость, вычтем из новой скорости первоначальную:
$120 \text{ км/ч} - 80 \text{ км/ч} = 40 \text{ км/ч}$.

Ответ: на 40 км/ч.

763 а) На ипподроме лошадь, пробежав по кругу 8 раз, преодолевает 12,8 км. Сколько километров она преодолеет, пробежав по кругу 16 раз, 20 раз?
б) Две одинаковые трубы наполняют бассейн за 12 ч. За сколько времени наполнят бассейн 4 такие же трубы, 5 таких же труб?
в) Автомобиль может проехать расстояние между двумя городами, двигаясь со скоростью 80 км/ч, за 6 ч. На сколько он должен увеличить скорость, чтобы преодолеть это расстояние за 4 ч?

764 На карте, выполненной в масштабе $1 : 1\,000\,000$, расстояние от Москвы до Орехово-Зуево равно 9 см. Чему оно равно в действительности? Каким отрезком изобразится это расстояние на карте масштабом $1 : 300\,000$?

Чему оно равно в действительности?

Масштаб карты 1:1 000 000 показывает, что 1 см на карте соответствует 1 000 000 см в реальности. Расстояние на карте между Москвой и Орехово-Зуево равно 9 см. Чтобы найти действительное расстояние, нужно умножить расстояние на карте на знаменатель масштаба.

$9 \text{ см} \times 1 000 000 = 9 000 000 \text{ см}$

Для удобства переведем сантиметры в километры. В одном метре 100 сантиметров, а в одном километре 1000 метров. Значит, в одном километре:

$1 \text{ км} = 1000 \text{ м} = 1000 \times 100 \text{ см} = 100 000 \text{ см}$

Теперь разделим полученное расстояние в сантиметрах на 100 000, чтобы найти расстояние в километрах:

$9 000 000 \text{ см} \div 100 000 \frac{\text{см}}{\text{км}} = 90 \text{ км}$

Ответ: 90 км.

Каким отрезком изобразится это расстояние на карте масштабом 1 : 300 000?

Мы уже вычислили, что реальное расстояние составляет 90 км, или 9 000 000 см. Новый масштаб карты — 1:300 000. Это означает, что 1 см на этой карте соответствует 300 000 см в действительности. Чтобы найти длину отрезка на новой карте, нужно реальное расстояние (в сантиметрах) разделить на знаменатель нового масштаба.

$9 000 000 \text{ см} \div 300 000 = 30 \text{ см}$

Ответ: 30 см.

764 На карте, выполненной в масштабе $1 : 1\;000\;000$, расстояние от Москвы до Орехово-Зуево равно 9 см. Чему оно равно в действительности? Каким отрезком изобразится это расстояние на карте масштабом $1 : 300\;000$?

765 Реши уравнение:

a) $\frac{5x + 1,6}{2x - 0,8} = \frac{3,9}{2,6};$

б) $\frac{2y - 3}{4 \frac{1}{6}} = \frac{0,8y + 1 \frac{1}{2}}{3,75};$

в) $2\frac{2}{3} : (3x + \frac{5}{7}) = 1\frac{1}{6} : (x - 1\frac{1}{4}).$

а) Дано уравнение в виде пропорции:
$\frac{5x + 1,6}{2x - 0,8} = \frac{3,9}{2,6}$
В первую очередь, упростим правую часть уравнения. Разделим числитель и знаменатель на их общий делитель 1,3:
$\frac{3,9}{2,6} = \frac{3,9 : 1,3}{2,6 : 1,3} = \frac{3}{2} = 1,5$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{5x + 1,6}{2x - 0,8} = 1,5$
Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2x - 0,8)$, при условии, что $2x - 0,8 \neq 0$, то есть $x \neq 0,4$:
$5x + 1,6 = 1,5 \cdot (2x - 0,8)$
Раскроем скобки в правой части:
$5x + 1,6 = 3x - 1,2$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$5x - 3x = -1,2 - 1,6$
Приведем подобные слагаемые:
$2x = -2,8$
Найдем $x$:
$x = \frac{-2,8}{2}$
$x = -1,4$
Найденный корень не равен 0,4, следовательно, он является решением уравнения.
Ответ: $x = -1,4$.

б) Дано уравнение в виде пропорции:
$\frac{2y - 3}{4\frac{1}{6}} = \frac{0,8y + 1\frac{1}{2}}{3,75}$
Для удобства вычислений преобразуем все десятичные дроби и смешанные числа в неправильные дроби:
$4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{25}{6}$
$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$
$3,75 = 3\frac{75}{100} = 3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$
Подставим полученные дроби в исходное уравнение:
$\frac{2y - 3}{\frac{25}{6}} = \frac{\frac{4}{5}y + \frac{3}{2}}{\frac{15}{4}}$
Воспользуемся основным свойством пропорции (крест-накрест):
$(2y - 3) \cdot \frac{15}{4} = (\frac{4}{5}y + \frac{3}{2}) \cdot \frac{25}{6}$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$2y \cdot \frac{15}{4} - 3 \cdot \frac{15}{4} = \frac{4}{5}y \cdot \frac{25}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{25}{6}$
$\frac{30y}{4} - \frac{45}{4} = \frac{100y}{30} + \frac{75}{12}$
Упростим дроби:
$\frac{15y}{2} - \frac{45}{4} = \frac{10y}{3} + \frac{25}{4}$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:
$\frac{15y}{2} - \frac{10y}{3} = \frac{25}{4} + \frac{45}{4}$
Приведем к общему знаменателю и выполним действия:
$\frac{3 \cdot 15y - 2 \cdot 10y}{6} = \frac{70}{4}$
$\frac{45y - 20y}{6} = \frac{35}{2}$
$\frac{25y}{6} = \frac{35}{2}$
Найдем $y$:
$y = \frac{35}{2} \cdot \frac{6}{25} = \frac{35 \cdot 6}{2 \cdot 25} = \frac{7 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{21}{5} = 4,2$
Ответ: $y = 4,2$.

в) Дано уравнение:
$2\frac{2}{3} : (3x + \frac{5}{7}) = 1\frac{1}{6} : (x - 1\frac{1}{4})$
Запишем данное отношение в виде пропорции:
$\frac{2\frac{2}{3}}{3x + \frac{5}{7}} = \frac{1\frac{1}{6}}{x - 1\frac{1}{4}}$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{2}{3} = \frac{8}{3}$; $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$; $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$
Подставим полученные дроби в уравнение:
$\frac{\frac{8}{3}}{3x + \frac{5}{7}} = \frac{\frac{7}{6}}{x - \frac{5}{4}}$
Применим основное свойство пропорции. Область допустимых значений: $3x + \frac{5}{7} \neq 0 \implies x \neq -\frac{5}{21}$ и $x - \frac{5}{4} \neq 0 \implies x \neq \frac{5}{4}$.
$\frac{8}{3} \cdot (x - \frac{5}{4}) = \frac{7}{6} \cdot (3x + \frac{5}{7})$
Раскроем скобки:
$\frac{8}{3}x - \frac{8}{3} \cdot \frac{5}{4} = \frac{7}{6} \cdot 3x + \frac{7}{6} \cdot \frac{5}{7}$
$\frac{8}{3}x - \frac{10}{3} = \frac{7}{2}x + \frac{5}{6}$
Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а свободные члены в левую:
$-\frac{10}{3} - \frac{5}{6} = \frac{7}{2}x - \frac{8}{3}x$
Приведем к общему знаменателю слагаемые в обеих частях уравнения:
$\frac{-20 - 5}{6} = \frac{21x - 16x}{6}$
$\frac{-25}{6} = \frac{5x}{6}$
Умножим обе части на 6:
$-25 = 5x$
$x = \frac{-25}{5}$
$x = -5$
Найденный корень $x=-5$ удовлетворяет области допустимых значений.
Ответ: $x = -5$.

765 Реши уравнения:

a) $ \frac{5x+1.6}{2x-0.8} = \frac{3.9}{2.6} $

б) $ \frac{2y-3}{4\frac{1}{6}} = \frac{0.8y+1\frac{1}{2}}{3.75} $

в) $ 2\frac{2}{3} : (3x + \frac{5}{7}) = 1\frac{1}{6} : (x - 1\frac{1}{4}) $

766 Как найти:

а) процент от числа;

б) число по его проценту;

в) процентное отношение двух чисел?

Придумай и реши задачи на эти правила. Затем эти же задачи реши методом пропорций. Какой способ решения ты считаешь более удобным? Почему?

а) процент от числа

Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби (разделить на 100) и умножить эту дробь на данное число.

Пример задачи: В магазине было 500 кг яблок. За день продали 30% всех яблок. Сколько килограммов яблок продали?

Решение по правилу:

1. Переведем проценты в десятичную дробь: $30\% = \frac{30}{100} = 0,3$.

2. Умножим число на полученную дробь: $500 \cdot 0,3 = 150$ кг.

Ответ: 150 кг.

Решение методом пропорции:

Примем общее количество яблок (500 кг) за 100%, а количество проданных яблок (x кг) за 30%.

Составим пропорцию:

$500$ кг — $100\%$

$x$ кг — $30\%$

$\frac{500}{x} = \frac{100}{30}$

Чтобы найти $x$, воспользуемся основным свойством пропорции: $x = \frac{500 \cdot 30}{100} = \frac{15000}{100} = 150$ кг.

Ответ: 150 кг.

б) число по его проценту

Чтобы найти число по его проценту, нужно известную часть числа разделить на соответствующее ей количество процентов, выраженное в виде десятичной дроби.

Пример задачи: Турист прошел 12 км, что составляет 40% всего маршрута. Какова длина всего маршрута?

Решение по правилу:

1. Переведем проценты в десятичную дробь: $40\% = \frac{40}{100} = 0,4$.

2. Разделим известную часть на полученную дробь: $12 \div 0,4 = 120 \div 4 = 30$ км.

Ответ: 30 км.

Решение методом пропорции:

Примем длину всего маршрута ($x$ км) за 100%, а пройденную часть (12 км) за 40%.

Составим пропорцию:

$x$ км — $100\%$

$12$ км — $40\%$

$\frac{x}{12} = \frac{100}{40}$

Найдем $x$: $x = \frac{12 \cdot 100}{40} = \frac{1200}{40} = 30$ км.

Ответ: 30 км.

в) процентное отношение двух чисел

Чтобы найти процентное отношение двух чисел, нужно одно число разделить на другое и результат умножить на 100%.

Пример задачи: В классе 25 учеников, из них 5 получили пятерки за контрольную. Какой процент учеников получил пятерки?

Решение по правилу:

1. Найдем отношение числа учеников, получивших пятерки, к общему числу учеников: $\frac{5}{25} = 0,2$.

2. Умножим результат на 100%: $0,2 \cdot 100\% = 20\%$.

Ответ: 20%.

Решение методом пропорции:

Примем общее число учеников в классе (25) за 100%, а количество учеников, получивших пятерки (5), за $x\%$.

Составим пропорцию:

$25$ учеников — $100\%$

$5$ учеников — $x\%$

$\frac{25}{5} = \frac{100}{x}$

Найдем $x$: $x = \frac{5 \cdot 100}{25} = \frac{500}{25} = 20\%$.

Ответ: 20%.

Какой способ решения ты считаешь более удобным? Почему?

Оба способа приводят к правильному ответу, и выбор зависит от личных предпочтений. Однако можно выделить следующие моменты:

• Метод пропорций часто считается более универсальным и наглядным. Он не требует запоминания трех разных правил (умножать или делить?). Достаточно правильно составить одну пропорцию, и дальнейшие действия всегда одинаковы. Это снижает вероятность ошибки, особенно когда ученик только начинает осваивать тему процентов.
• Решение по правилу (через десятичные дроби) может быть быстрее, если хорошо знать правила и уверенно выполнять действия с дробями. Этот способ требует меньше записей и может быть удобнее для простых устных вычислений.

В целом, метод пропорций является более надежным для начинающих, так как он основан на одном общем принципе. Решение по правилам становится удобнее с опытом, когда действия доводятся до автоматизма.

766. Как найти: а) процент от числа; б) число по его проценту; в) процентное отношение двух чисел? Придумай и реши задачи на эти правила. Затем эти же задачи реши методом пропорций. Какой способ решения ты считаешь более удобным? Почему?

767 а) Сплав состоит из меди, цинка и свинца. Медь составляет 54 % сплава, а цинк – 26 % сплава. Сколько меди и цинка входит в сплав, содержащий 0,8 кг свинца?

б) Из 0,2 т винограда получается 64 кг изюма. Какой процент своей массы теряет виноград при сушке?

в) Морская вода содержит 5 % соли. Сколько килограммов простой воды нужно добавить к 24 кг морской воды, чтобы процентное содержание соли в ней стало равно 2 %?

а)

Сначала найдем, какой процент от всего сплава составляет свинец. Сумма процентов всех компонентов сплава равна 100%.

Процент свинца = $100\% - (\text{процент меди} + \text{процент цинка}) = 100\% - (54\% + 26\%) = 100\% - 80\% = 20\%$.

Теперь мы знаем, что 0,8 кг свинца составляют 20% от общей массы сплава. Пусть $M$ – общая масса сплава. Тогда можно составить пропорцию или уравнение:

$0.20 \cdot M = 0.8$ кг

Отсюда находим общую массу сплава:

$M = \frac{0.8}{0.20} = 4$ кг.

Зная общую массу сплава, можем рассчитать массу меди и цинка:

Масса меди = $54\%$ от $4$ кг = $0.54 \cdot 4 = 2.16$ кг.

Масса цинка = $26\%$ от $4$ кг = $0.26 \cdot 4 = 1.04$ кг.

Ответ: в сплав входит 2,16 кг меди и 1,04 кг цинка.

б)

Сначала переведем массу винограда в килограммы, чтобы единицы измерения были одинаковыми. В одной тонне 1000 кг.

Масса винограда = $0.2$ т = $0.2 \cdot 1000 = 200$ кг.

Масса изюма, полученного из этого винограда, составляет 64 кг.

Найдем массу, которую виноград потерял при сушке (массу испарившейся воды):

Потеря массы = (начальная масса) – (конечная масса) = $200$ кг - $64$ кг = $136$ кг.

Теперь найдем, какой процент от начальной массы составляет эта потеря. За 100% принимаем исходную массу винограда.

Процент потери массы = $\frac{\text{потеря массы}}{\text{начальная масса}} \cdot 100\% = \frac{136}{200} \cdot 100\% = 0.68 \cdot 100\% = 68\%$.

Ответ: виноград при сушке теряет 68% своей массы.

в)

Сначала определим, сколько соли (в килограммах) содержится в 24 кг морской воды. Содержание соли составляет 5%.

Масса соли = $5\%$ от $24$ кг = $0.05 \cdot 24 = 1.2$ кг.

При добавлении простой (пресной) воды масса соли в растворе не изменяется, она так и остается равной 1,2 кг. Изменяется только общая масса раствора, что приводит к уменьшению процентного содержания соли.

Пусть $x$ – это масса простой воды, которую нужно добавить (в кг). Новая общая масса раствора станет $(24 + x)$ кг.

По условию, в новом растворе содержание соли должно быть равно 2%. Составим уравнение, исходя из определения процентной концентрации:

$\frac{\text{масса соли}}{\text{новая общая масса}} = 0.02$

$\frac{1.2}{24 + x} = 0.02$

Решим это уравнение относительно $x$:

$1.2 = 0.02 \cdot (24 + x)$

$1.2 = 0.02 \cdot 24 + 0.02x$

$1.2 = 0.48 + 0.02x$

$0.02x = 1.2 - 0.48$

$0.02x = 0.72$

$x = \frac{0.72}{0.02} = 36$ кг.

Ответ: нужно добавить 36 кг простой воды.

767 a) Сплав состоит из меди, цинка и свинца. Медь составляет $54\%$ сплава, а цинк – $26\%$ сплава. Сколько меди и цинка входит в сплав, содержащий 0,8 кг свинца?

б) Из 0,2 т винограда получается 64 кг изюма. Какой процент своей массы теряет виноград при сушке?

в) Морская вода содержит $5\%$ соли. Сколько килограммов простой воды нужно добавить к 24 кг морской воды, чтобы процентное содержание соли в ней стало равно $2\%$?

768 Поезд прошёл $25 \%$ всего пути, а потом $40 \%$ оставшегося расстояния.
Сколько процентов всего пути ему ещё осталось пройти?

Для решения задачи примем весь путь за 100%.

1. Сначала поезд прошёл 25% всего пути. Найдём, какая часть пути осталась после этого. Для этого вычтем из 100% пройденные 25%:

$100\% - 25\% = 75\%$

Таким образом, поезду осталось пройти 75% всего пути.

2. Затем поезд прошёл 40% от оставшегося расстояния. Оставшееся расстояние составляет 75% от всего пути. Чтобы найти, какую долю от всего пути составляет этот второй отрезок, нужно вычислить 40% от 75%:

$0.40 \times 75\% = 30\%$

Это означает, что на втором этапе поезд прошёл ещё 30% от всего пути.

3. Теперь найдём общую пройденную часть пути, сложив проценты за оба этапа:

$25\% + 30\% = 55\%$

Всего поезд прошёл 55% пути.

4. Наконец, вычислим, сколько процентов всего пути ему ещё осталось пройти. Для этого вычтем из 100% общую пройденную часть:

$100\% - 55\% = 45\%$

Ответ: 45%

768 Поезд прошел $25\%$ всего пути, а потом $40\%$ оставшегося расстояния. Сколько процентов всего пути ему еще осталось пройти?