Страница 170, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

743 Начерти диаграмму Эйлера – Венна множеств: $N$ – натуральных чисел; $Z$ – целых чисел; $Q$ – рациональных чисел; $M$ – отрицательных чисел. Отметь на этой диаграмме числа: $\frac{1}{3}$; $-2$; $1\frac{5}{16}$; $0$; 4,5; $7$; $-8\frac{2}{9}$.

Для построения диаграммы Эйлера — Венна необходимо проанализировать взаимоотношения между заданными множествами чисел. Определим каждое множество:

• N — множество натуральных чисел: $\{1, 2, 3, ...\}$. Это числа, используемые при счете.
• Z — множество целых чисел: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$. Включает натуральные числа, им противоположные и ноль.
• Q — множество рациональных чисел. Это числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число ($m \in Z$), а $n$ — натуральное число ($n \in N$).
• M — множество отрицательных чисел. В контексте данных множеств, это будут все отрицательные рациональные числа.

Теперь установим связи между этими множествами для правильного изображения на диаграмме:

• Каждое натуральное число является целым числом, поэтому множество $N$ является подмножеством множества $Z$. Это записывается как $N \subset Z$.
• Каждое целое число является рациональным (например, число 5 можно записать как $\frac{5}{1}$), поэтому множество $Z$ является подмножеством множества $Q$. Это записывается как $Z \subset Q$.
• Из этого следует, что мы имеем иерархию вложенных множеств: $N \subset Z \subset Q$. На диаграмме это будет изображено как три области, вложенные одна в другую.
• Множество отрицательных чисел $M$ является подмножеством рациональных чисел $Q$. Оно пересекается с множеством целых чисел $Z$ (их пересечение — это отрицательные целые числа), но не имеет общих элементов с множеством натуральных чисел $N$, так как натуральные числа положительны.

Далее классифицируем каждое из заданных чисел, чтобы определить его место на диаграмме:

• $1$ и $7$: Это натуральные числа. Они принадлежат множеству $N$ (и, следовательно, также $Z$ и $Q$). На диаграмме они будут находиться в самой внутренней области.
• $0$: Это целое число, но не натуральное и не отрицательное. Оно принадлежит множеству $Z$, но не принадлежит $N$ и не принадлежит $M$.
• $-2$: Это целое и одновременно отрицательное число. Оно принадлежит пересечению множеств $Z$ и $M$.
• $\frac{1}{3}$, $\frac{5}{16}$, $4,5$: Это положительные рациональные числа, которые не являются целыми. Они принадлежат множеству $Q$, но не принадлежат ни $Z$, ни $M$.
• $-8\frac{2}{9}$: Это отрицательное рациональное число, которое не является целым. Оно принадлежит множеству $M$, но не принадлежит множеству $Z$.

Ответ:

Ниже представлена диаграмма Эйлера — Венна, на которой показаны взаимоотношения множеств $N$, $Z$, $Q$, $M$ и отмечено расположение заданных чисел.

743 Начерти диаграмму Эйлера-Венна множеств: $N$ – натуральных чисел; $Z$ – целых чисел; $Q$ – рациональных чисел; $M$ – отрицательных чисел. Отметь на этой диаграмме числа: $\frac{1}{3}$; $-2$; $1\frac{5}{16}$; $0$; $4,5$; $7$; $-8\frac{2}{9}$.

744 Найди наименьшее натуральное число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу.

Искомое число должно быть наименьшим натуральным числом, кратным 36, в записи которого встречаются все 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) по одному разу.

Условие кратности 36 означает, что число должно делиться одновременно на 4 и на 9, так как $36 = 4 \times 9$ и эти числа взаимно просты.

Проверим признак делимости на 9. Сумма всех десяти цифр равна $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45$. Поскольку 45 делится на 9, любое число, составленное из этих цифр, будет делиться на 9. Это условие выполняется всегда.

Следовательно, задача сводится к поиску наименьшего десятизначного числа, составленного из всех цифр, которое делится на 4. По признаку делимости на 4, число, образованное двумя последними цифрами искомого числа, должно делиться на 4.

Чтобы найти наименьшее число, будем конструировать его слева направо, ставя в каждый разряд наименьшую из доступных цифр. Первая цифра не может быть 0, поэтому наименьшая возможная первая цифра — 1.Наименьшее возможное начало числа: $102345...$.На данный момент использованы цифры $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. Остались неиспользованными цифры $\{6, 7, 8, 9\}$.Нам нужно расставить их на последних четырех позициях ($d_7, d_8, d_9, d_{10}$), чтобы итоговое число было минимальным. Для этого цифра $d_7$ должна быть наименьшей из оставшихся.

Рассмотрим варианты для $d_7$:

• Пусть $d_7=6$. Префикс числа — $1023456$. Оставшиеся цифры $\{7, 8, 9\}$. Из них нужно составить последние две цифры, чтобы образованное ими число делилось на 4. Возможные числа: 78, 87, 79, 97, 89, 98. Ни одно из них не делится на 4. Этот вариант невозможен.
• Пусть $d_7=7$. Префикс — $1023457$. Оставшиеся цифры $\{6, 8, 9\}$. Из них можно составить два числа, кратных 4: $68$ и $96$.
  • Если последние две цифры — $68$, то для восьмой позиции ($d_8$) остается цифра $9$. Получаем число $1023457968$.
  • Если последние две цифры — $96$, то для восьмой позиции ($d_8$) остается цифра $8$. Получаем число $1023457896$.
  Из этих двух чисел наименьшее — $1023457896$.

Любой другой выбор для седьмой цифры (например, $d_7=8$) привел бы к большему числу, так как уже префикс $1023458...$ больше, чем найденное нами число $1023457896$.

Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее всем условиям, — это $1023457896$.

Ответ: $1023457896$

744 Найди наименьшее натуральное число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу.

745 Сформулируй алгоритм сравнения рациональных чисел. Сравни дроби $(-\frac{3}{7})$ и $(-\frac{5}{9})$ пятью различными способами.

Алгоритм сравнения рациональных чисел

Для сравнения двух рациональных чисел можно использовать следующий алгоритм:

1. Сравнить знаки чисел. Любое положительное число больше любого отрицательного. Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное — меньше нуля.
2. Если оба числа положительные (например, дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$), их нужно привести к общему знаменателю. Большей будет та дробь, у которой числитель окажется больше.
3. Если оба числа отрицательные (например, $-\frac{a}{b}$ и $-\frac{c}{d}$), нужно сравнить их модули (положительные дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$). Большим будет то отрицательное число, модуль которого меньше. То есть, если $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$, то $-\frac{a}{b} > -\frac{c}{d}$.

Сравнение дробей $(-\frac{3}{7})$ и $(-\frac{5}{9})$ пятью различными способами

1. Способ приведения к общему знаменателю

Поскольку обе дроби отрицательные, сначала сравним их модули: $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{9}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 9 это их произведение, равное $7 \times 9 = 63$.

$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 9}{7 \times 9} = \frac{27}{63}$

$\frac{5}{9} = \frac{5 \times 7}{9 \times 7} = \frac{35}{63}$

Сравниваем полученные дроби с одинаковым знаменателем: так как $27 < 35$, то $\frac{27}{63} < \frac{35}{63}$, следовательно, $\frac{3}{7} < \frac{5}{9}$.

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: из $\frac{3}{7} < \frac{5}{9}$ следует, что $-\frac{3}{7} > -\frac{5}{9}$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}) > (-\frac{5}{9})$

2. Способ преобразования в десятичные дроби

Переведем обе дроби в десятичный формат.

$-\frac{3}{7} = -(3 \div 7) = -0,428571... = -0,(428571)$

$-\frac{5}{9} = -(5 \div 9) = -0,555... = -0,(5)$

Сравниваем десятичные дроби $-0,428571...$ и $-0,(5)$. На числовой прямой число $-0,428571...$ находится правее (ближе к нулю), чем число $-0,(5)$, следовательно, оно больше.

$-0,428571... > -0,555...$

Таким образом, $-\frac{3}{7} > -\frac{5}{9}$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}) > (-\frac{5}{9})$

3. Способ перекрестного умножения

Этот способ является быстрым вариантом сравнения модулей дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{9}$ без явного нахождения общего знаменателя.

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй и числитель второй дроби на знаменатель первой:

$3 \times 9 = 27$

$5 \times 7 = 35$

Сравниваем полученные произведения: $27 < 35$.

Так как первое произведение ($27$) меньше второго ($35$), то и первая дробь ($\frac{3}{7}$) меньше второй ($\frac{5}{9}$): $\frac{3}{7} < \frac{5}{9}$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, то знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{3}{7} > -\frac{5}{9}$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}) > (-\frac{5}{9})$

4. Способ приведения к общему числителю

Сравним модули дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{9}$. Приведем их к общему числителю.

Наименьшее общее кратное для числителей 3 и 5 равно 15.

$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 5}{7 \times 5} = \frac{15}{35}$

$\frac{5}{9} = \frac{5 \times 3}{9 \times 3} = \frac{15}{27}$

Теперь сравним дроби $\frac{15}{35}$ и $\frac{15}{27}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как $35 > 27$, то $\frac{15}{35} < \frac{15}{27}$, а значит $\frac{3}{7} < \frac{5}{9}$.

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{3}{7} > -\frac{5}{9}$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}) > (-\frac{5}{9})$

5. Способ нахождения разности

Вычтем одну дробь из другой и определим знак результата. Найдем разность $(-\frac{3}{7}) - (-\frac{5}{9})$.

$(-\frac{3}{7}) - (-\frac{5}{9}) = -\frac{3}{7} + \frac{5}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю 63:

$-\frac{3 \times 9}{7 \times 9} + \frac{5 \times 7}{9 \times 7} = -\frac{27}{63} + \frac{35}{63} = \frac{-27 + 35}{63} = \frac{8}{63}$

Разность равна $\frac{8}{63}$, что является положительным числом.

Если разность $a - b > 0$, то $a > b$. В нашем случае это означает, что $(-\frac{3}{7}) > (-\frac{5}{9})$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}) > (-\frac{5}{9})$

745 Сформулируй алгоритм сравнения рациональных чисел. Сравни дроби $(-\frac{3}{7})$ и $(-\frac{5}{9})$ пятью различными способами.

746 Среди обыкновенных дробей найди те, которые можно представить в виде конечных десятичных. Расположи их в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам. Что означает полученное слово?

$ \frac{25}{14} $ (М) $ \frac{3}{60} $ (И) $ -\frac{1}{5} $ (Г) $ \frac{5}{12} $ (Р) $ -\frac{29}{58} $ (О) $ -\frac{18}{24} $ (Л) $ \frac{9}{25} $ (К) $ -\frac{10}{45} $ (Е) $ \frac{4}{300} $ (Т) $ \frac{21}{56} $ (А)

Для того чтобы определить, можно ли обыкновенную дробь представить в виде конечной десятичной, нужно привести ее к несократимому виду и разложить знаменатель на простые множители. Если в разложении знаменателя присутствуют только множители 2 и 5, то дробь можно представить в виде конечной десятичной.

1. Найти дроби, которые можно представить в виде конечных десятичных.

Проанализируем каждую дробь:

• $М: -\frac{25}{14}$. Дробь несократимая. Знаменатель $14 = 2 \times 7$. Содержит множитель 7. Не подходит.
• $И: \frac{3}{60}$. Сокращаем дробь: $\frac{3}{60} = \frac{1}{20}$. Знаменатель $20 = 2^2 \times 5$. Подходит.
• $Г: -\frac{1}{5}$. Дробь несократимая. Знаменатель $5$. Подходит.
• $Р: \frac{5}{12}$. Дробь несократимая. Знаменатель $12 = 2^2 \times 3$. Содержит множитель 3. Не подходит.
• $О: -\frac{29}{58}$. Сокращаем дробь: $-\frac{29}{58} = -\frac{1}{2}$. Знаменатель $2$. Подходит.
• $Л: -\frac{18}{24}$. Сокращаем дробь: $-\frac{18}{24} = -\frac{3}{4}$. Знаменатель $4 = 2^2$. Подходит.
• $К: \frac{9}{25}$. Дробь несократимая. Знаменатель $25 = 5^2$. Подходит.
• $Е: -\frac{10}{45}$. Сокращаем дробь: $-\frac{10}{45} = -\frac{2}{9}$. Знаменатель $9 = 3^2$. Содержит множитель 3. Не подходит.
• $Т: \frac{4}{300}$. Сокращаем дробь: $\frac{4}{300} = \frac{1}{75}$. Знаменатель $75 = 3 \times 5^2$. Содержит множитель 3. Не подходит.
• $А: \frac{21}{56}$. Сокращаем дробь: $\frac{21}{56} = \frac{3}{8}$. Знаменатель $8 = 2^3$. Подходит.

Таким образом, дроби, которые можно представить в виде конечных десятичных, это: $\frac{3}{60}$ (И), $-\frac{1}{5}$ (Г), $-\frac{29}{58}$ (О), $-\frac{18}{24}$ (Л), $\frac{9}{25}$ (К), $\frac{21}{56}$ (А).

2. Расположить их в порядке возрастания и сопоставить соответствующим буквам.

Теперь представим выбранные дроби в виде десятичных чисел и расположим их в порядке возрастания:

• Л: $-\frac{18}{24} = -\frac{3}{4} = -0.75$
• О: $-\frac{29}{58} = -\frac{1}{2} = -0.5$
• Г: $-\frac{1}{5} = -0.2$
• И: $\frac{3}{60} = \frac{1}{20} = 0.05$
• К: $\frac{9}{25} = 0.36$
• А: $\frac{21}{56} = \frac{3}{8} = 0.375$

Расположим десятичные дроби в порядке возрастания: $-0.75; -0.5; -0.2; 0.05; 0.36; 0.375$.

Сопоставим им соответствующие буквы:

1. $-0.75 \rightarrow Л$
2. $-0.5 \rightarrow О$
3. $-0.2 \rightarrow Г$
4. $0.05 \rightarrow И$
5. $0.36 \rightarrow К$
6. $0.375 \rightarrow А$

Полученное слово: ЛОГИКА.

3. Что означает полученное слово?

Логика — это наука о правильном мышлении, изучающая формы, методы и законы интеллектуальной познавательной деятельности. Она помогает выстраивать доказательства, находить ошибки в рассуждениях и приходить к верным выводам.

Ответ: Полученное слово — ЛОГИКА. Это наука о правильном мышлении и рассуждении.

746. Среди обыкновенных дробей найди те, которые можно представить в виде конечных десятичных. Расположи их в порядке возрастания и сопоставь соответствующим буквам. Что означает полученное слово?

$- \frac{25}{14}$ (М) $\frac{3}{60}$ (И) $- \frac{1}{5}$ (Г) $\frac{5}{12}$ (Р) $- \frac{29}{58}$ (О) $- \frac{18}{24}$ (Л) $\frac{9}{25}$ (К) $- \frac{10}{45}$ (Е) $\frac{4}{300}$ (Т) $\frac{21}{56}$ (А)

Можно ли сравнить на множестве рациональных чисел:

1) $a$ и $-a$;

2) $a$ и $\frac{1}{a}$;

3) $a$ и $a+2$;

4) $a$ и $2a$;

5) $a$ и $a-2$;

6) $a$ и $a:2$;

7) $a$ и $a^2$;

8) $(-a)^2$ и $-a^2$?

1) $a$ и $-a$

Чтобы сравнить два выражения, можно рассмотреть их разность: $a - (-a) = 2a$. Результат сравнения зависит от знака переменной $a$:

• Если $a$ — положительное число (например, $a=5$), то $2a > 0$, следовательно, $a > -a$ (т.к. $5 > -5$).
• Если $a$ — отрицательное число (например, $a=-3$), то $2a < 0$, следовательно, $a < -a$ (т.к. $-3 < 3$).
• Если $a = 0$, то $a = -a$.

Поскольку знак неравенства меняется в зависимости от значения $a$, однозначно сравнить эти выражения на всем множестве рациональных чисел нельзя.

Ответ: нельзя.

2) $a$ и $\frac{1}{a}$

Данные выражения определены для всех рациональных $a$, кроме $a=0$. Результат сравнения зависит от значения $a$:

• Если $a > 1$ (например, $a=2$), то $a > \frac{1}{a}$ (т.к. $2 > \frac{1}{2}$).
• Если $0 < a < 1$ (например, $a=\frac{1}{2}$), то $a < \frac{1}{a}$ (т.к. $\frac{1}{2} < 2$).
• Если $a < -1$ (например, $a=-2$), то $a < \frac{1}{a}$ (т.к. $-2 < -\frac{1}{2}$).

Так как результат сравнения зависит от значения $a$, однозначно сравнить эти выражения нельзя.

Ответ: нельзя.

3) $a$ и $a+2$

Найдем разность выражений: $a - (a+2) = a - a - 2 = -2$.

Разность всегда равна $-2$. Так как $-2 < 0$, то и разность $a - (a+2)$ всегда отрицательна.

Следовательно, для любого рационального числа $a$ выполняется неравенство $a < a+2$.

Ответ: можно, $a < a+2$.

4) $a$ и $2a$

Рассмотрим разность выражений: $a - 2a = -a$. Результат сравнения зависит от знака $a$:

• Если $a > 0$ (например, $a=4$), то $-a < 0$, значит, $a < 2a$ (т.к. $4 < 8$).
• Если $a < 0$ (например, $a=-4$), то $-a > 0$, значит, $a > 2a$ (т.к. $-4 > -8$).
• Если $a = 0$, то $a = 2a$.

Поскольку результат сравнения зависит от $a$, однозначно сравнить выражения нельзя.

Ответ: нельзя.

5) $a$ и $a-2$

Найдем разность выражений: $a - (a-2) = a - a + 2 = 2$.

Разность всегда равна $2$. Так как $2 > 0$, то и разность $a - (a-2)$ всегда положительна.

Следовательно, для любого рационального числа $a$ выполняется неравенство $a > a-2$.

Ответ: можно, $a > a-2$.

6) $a$ и $a:2$

Сравним $a$ и $\frac{a}{2}$. Рассмотрим их разность: $a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$. Результат сравнения зависит от знака $a$:

• Если $a > 0$ (например, $a=6$), то $\frac{a}{2} > 0$, значит, $a > \frac{a}{2}$ (т.к. $6 > 3$).
• Если $a < 0$ (например, $a=-6$), то $\frac{a}{2} < 0$, значит, $a < \frac{a}{2}$ (т.к. $-6 < -3$).
• Если $a = 0$, то $a = \frac{a}{2}$.

Так как результат сравнения зависит от $a$, однозначно сравнить выражения нельзя.

Ответ: нельзя.

7) $a$ и $a^2$

Рассмотрим разность выражений: $a - a^2 = a(1-a)$. Знак разности зависит от значения $a$:

• Если $0 < a < 1$ (например, $a=\frac{1}{2}$), то $a > 0$ и $1-a > 0$, следовательно, $a(1-a) > 0$, что означает $a > a^2$ (т.к. $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$).
• Если $a > 1$ (например, $a=3$), то $a > 0$ и $1-a < 0$, следовательно, $a(1-a) < 0$, что означает $a < a^2$ (т.к. $3 < 9$).
• Если $a < 0$ (например, $a=-2$), то $a < 0$ и $1-a > 0$, следовательно, $a(1-a) < 0$, что означает $a < a^2$ (т.к. $-2 < 4$).

Так как результат сравнения меняется, однозначно сравнить выражения нельзя.

Ответ: нельзя.

8) $(-a)^2$ и $-a^2$

Упростим первое выражение: $(-a)^2 = (-a) \cdot (-a) = a^2$.

Теперь сравним $a^2$ и $-a^2$. Найдем их разность: $a^2 - (-a^2) = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Квадрат любого рационального числа является неотрицательным числом, то есть $a^2 \ge 0$.

Следовательно, $2a^2 \ge 0$ для любого рационального $a$. Это означает, что разность $a^2 - (-a^2)$ всегда неотрицательна.

Таким образом, $(-a)^2 \ge -a^2$ для всех рациональных чисел $a$. Равенство достигается только при $a=0$.

Ответ: можно, $(-a)^2 \ge -a^2$.

747 Модно ли сравнить на множестве рациональных чисел:

1) $a$ и $-a$;

2) $a$ и $\frac{1}{a}$;

3) $a$ и $a+2$;

4) $a$ и $2a$;

5) $a$ и $a-2$;

6) $a$ и $a:2$;

7) $a$ и $a^2$;

8) $(-a)^2$ и $-a^2$?

748 Сформулируй определение числа, противоположного данному, и числа, обратного данному. Запиши числа, противоположное и обратное:

а) числу $x$;

б) кубу числа $y$;

в) сумме чисел $a$ и $b$;

г) разности чисел $m$ и $n$.

Определение числа, противоположного данному:
Два числа называются противоположными, если их сумма равна нулю. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$, так как $a + (-a) = 0$.

Определение числа, обратного данному:
Два числа (отличные от нуля) называются взаимно обратными, если их произведение равно единице. Для любого числа $a \neq 0$ обратным ему является число $\frac{1}{a}$, так как $a \cdot \frac{1}{a} = 1$.

а) Для числа $x$:
Противоположное число: $-x$.
Обратное число: $\frac{1}{x}$ (при условии, что $x \neq 0$).
Ответ: противоположное число: $-x$; обратное число: $\frac{1}{x}$.

б) Для куба числа $y$, то есть для выражения $y^3$:
Противоположное число: $-y^3$.
Обратное число: $\frac{1}{y^3}$ (при условии, что $y^3 \neq 0$, то есть $y \neq 0$).
Ответ: противоположное число: $-y^3$; обратное число: $\frac{1}{y^3}$.

в) Для суммы чисел $a$ и $b$, то есть для выражения $a+b$:
Противоположное число: $-(a+b)$.
Обратное число: $\frac{1}{a+b}$ (при условии, что $a+b \neq 0$).
Ответ: противоположное число: $-(a+b)$; обратное число: $\frac{1}{a+b}$.

г) Для разности чисел $m$ и $n$, то есть для выражения $m-n$:
Противоположное число: $-(m-n)$ или $n-m$.
Обратное число: $\frac{1}{m-n}$ (при условии, что $m-n \neq 0$, то есть $m \neq n$).
Ответ: противоположное число: $-(m-n)$; обратное число: $\frac{1}{m-n}$.

748 Сформулируй определение числа, противоположного данному, и числа, обратного данному. Запиши числа, противоположное и обратное:

а) числу $x$;

б) кубу числа $y$;

в) сумме чисел $a$ и $b$;

г) разности чисел $m$ и $n$.

749 Прочитай высказывания, докажи или опровергни их. Построй отрицания ложных высказываний.

а) $\forall x \in Q: x + (-x) = 0;$

б) $\exists y \in Q: y \cdot \frac{1}{y} \neq 1;$

в) $\forall a \in Q: -a < 0;$

г) $\exists b \in Q: \frac{1}{b} = -b;$

д) $\forall m \in Q: -(-m) = m;$

е) $\forall n \in Q: 1 : \frac{1}{n} = n.$

а) Высказывание $∀ x ∈ Q: x + (-x) = 0$ читается как: "Для любого рационального числа $x$ верно, что сумма этого числа и противоположного ему равна нулю".

Это высказывание истинно.

Доказательство: По определению противоположного числа (или аддитивной инверсии), для каждого рационального числа $x$ существует единственное число $-x$, такое, что их сумма равна аддитивному нейтральному элементу, то есть нулю. Это одно из основных свойств множества рациональных чисел.

Ответ: Истинно.

б) Высказывание $∃ y ∈ Q: y \cdot \frac{1}{y} \neq 1$ читается как: "Существует такое рациональное число $y$, что произведение этого числа и обратного ему не равно единице".

Это высказывание ложно.

Опровержение: Выражение $\frac{1}{y}$ (число, обратное $y$) определено для всех рациональных чисел $y$, кроме $y=0$. Для любого ненулевого рационального числа $y$ по определению обратного числа (мультипликативной инверсии) произведение $y \cdot \frac{1}{y}$ всегда равно мультипликативному нейтральному элементу, то есть 1. Для $y=0$ выражение в левой части не определено. Таким образом, не существует рационального числа $y$, для которого это произведение было бы определено и при этом не равнялось бы 1.

Отрицание ложного высказывания: Отрицанием является высказывание "Для любого рационального числа $y$, для которого выражение $y \cdot \frac{1}{y}$ определено (т.е. $y \neq 0$), выполняется равенство $y \cdot \frac{1}{y} = 1$". В символьной форме: $∀ y ∈ Q, y ≠ 0: y \cdot \frac{1}{y} = 1$.

Ответ: Ложно. Отрицание: $∀ y ∈ Q, y ≠ 0: y \cdot \frac{1}{y} = 1$.

в) Высказывание $∀ a ∈ Q: -a < 0$ читается как: "Для любого рационального числа $a$ противоположное ему число меньше нуля".

Это высказывание ложно.

Опровержение: Чтобы опровергнуть утверждение с квантором всеобщности ("для любого"), достаточно найти хотя бы один контрпример. Пусть $a = -5$. Это рациональное число. Тогда $-a = -(-5) = 5$. Неравенство $5 < 0$ ложно. Другой контрпример: $a = 0$. Тогда $-a = 0$. Неравенство $0 < 0$ также ложно. Следовательно, исходное высказывание неверно.

Отрицание ложного высказывания: Отрицанием является высказывание "Существует такое рациональное число $a$, что $-a$ не меньше нуля", то есть "Существует такое рациональное число $a$, что $-a \geq 0$". В символьной форме: $∃ a ∈ Q: -a \geq 0$.

Ответ: Ложно. Отрицание: $∃ a ∈ Q: -a \geq 0$.

г) Высказывание $∃ b ∈ Q: \frac{1}{b} = -b$ читается как: "Существует такое рациональное число $b$, что обратное ему число равно противоположному ему числу".

Это высказывание ложно.

Опровержение: Предположим, что такое рациональное число $b$ существует. Из уравнения следует, что $b \neq 0$. Умножим обе части уравнения $\frac{1}{b} = -b$ на $b$:

$1 = -b^2$

$b^2 = -1$

Однако, квадрат любого рационального числа является неотрицательным числом, то есть $b^2 \geq 0$ для любого $b \in Q$. Так как $-1 < 0$, уравнение $b^2 = -1$ не имеет решений во множестве рациональных чисел. Следовательно, такого числа $b$ не существует.

Отрицание ложного высказывания: Отрицанием является высказывание "Для любого рационального числа $b$, для которого выражение $\frac{1}{b}$ определено ($b \neq 0$), неверно, что $\frac{1}{b} = -b$". В символьной форме: $∀ b ∈ Q, b ≠ 0: \frac{1}{b} \neq -b$.

Ответ: Ложно. Отрицание: $∀ b ∈ Q, b ≠ 0: \frac{1}{b} \neq -b$.

д) Высказывание $∀ m ∈ Q: -(-m) = m$ читается как: "Для любого рационального числа $m$ число, противоположное противоположному ему числу, равно самому числу $m$".

Это высказывание истинно.

Доказательство: Операция взятия противоположного числа эквивалентна умножению на -1. Тогда $-(-m) = (-1) \cdot (-m) = (-1) \cdot ((-1) \cdot m)$. Согласно свойству ассоциативности (сочетательности) умножения: $((-1) \cdot (-1)) \cdot m = 1 \cdot m = m$. Это равенство справедливо для любого рационального числа $m$.

Ответ: Истинно.

е) Высказывание $∀ n ∈ Q: 1 : \frac{1}{n} = n$ читается как: "Для любого рационального числа $n$ частное от деления единицы на обратное к $n$ число равно самому числу $n$".

Это высказывание ложно.

Опровержение: Утверждение должно быть верным для всех рациональных чисел. Рассмотрим $n=0$, которое является рациональным числом. При $n=0$ выражение $\frac{1}{n}$ (деление на ноль) не определено. Следовательно, и вся левая часть равенства $1 : \frac{1}{n}$ не определена. Поскольку равенство не выполняется для $n=0$, исходное высказывание в целом является ложным.

Отрицание ложного высказывания: Отрицанием является высказывание "Существует такое рациональное число $n$, для которого равенство $1 : \frac{1}{n} = n$ неверно". В символьной форме: $∃ n ∈ Q: 1 : \frac{1}{n} \neq n$. (Это утверждение истинно, так как оно выполняется для $n=0$).

Ответ: Ложно. Отрицание: $∃ n ∈ Q: 1 : \frac{1}{n} \neq n$.

749 Прочитай высказывания, докажи или опровергни их. Построй отрицания ложных высказываний.

а) $\forall x \in Q: x + (-x) = 0;$

б) $\exists y \in Q: y \cdot \frac{1}{y} \neq 1;$

в) $\forall a \in Q: -a < 0;$

г) $\exists b \in Q: \frac{1}{b} = -b;$

д) $\forall m \in Q: -(-m) = m;$

е) $\forall n \in Q: 1 : \frac{1}{n} = n.$

750 Сформулируй определение модуля числа. Запиши высказывания на математическом языке и определи, истинны они или ложны.

а) Модули противоположных чисел равны.

Математически: $|-a| = |a|$

б) Существуют взаимно обратные числа, модули которых равны.

Математически: $|a| = |\frac{1}{a}|$

в) Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей.

Математически: $|ab| = |a||b|$

г) Модуль разности двух чисел может быть больше разности их модулей.

Математически: $|a - b| > |a| - |b|$

Модулем (или абсолютной величиной) числа a называется расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль числа a обозначается как $|a|$.

Формально модуль определяется так:
$|a| = a$, если $a \ge 0$
$|a| = -a$, если $a < 0$
Таким образом, модуль любого числа является неотрицательной величиной.

а) Модули противоположных чисел равны.

На математическом языке это высказывание можно записать как: для любого числа a верно равенство $|a| = |-a|$.
Проверим это утверждение.
1. Если $a > 0$, то $-a < 0$. Тогда по определению $|a| = a$ и $|-a| = -(-a) = a$. Равенство верно.
2. Если $a < 0$, то $-a > 0$. Тогда по определению $|a| = -a$ и $|-a| = -a$. Равенство верно.
3. Если $a = 0$, то $|0| = 0$ и $|-0| = |0| = 0$. Равенство верно.
Высказывание истинно для любого числа a.
Ответ: истинно.

б) Существуют взаимно обратные числа, модули которых равны.

Взаимно обратные числа — это числа a и $1/a$ (при $a \ne 0$). Высказывание утверждает, что существует такое число a, для которого выполняется равенство $|a| = |1/a|$.
Решим это уравнение:
$|a| = |1/a|$
$|a| = 1 / |a|$
$|a|^2 = 1$
$|a| = 1$ (поскольку модуль не может быть отрицательным).
Этому уравнению удовлетворяют два числа: $a = 1$ и $a = -1$.
Для $a=1$ обратное число равно $1/1=1$. $|1|=|1|$, что верно.
Для $a=-1$ обратное число равно $1/(-1)=-1$. $|-1|=|-1|$, что верно.
Поскольку такие числа существуют, высказывание истинно.
Ответ: истинно.

в) Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей.

На математическом языке: для любых чисел a и b верно равенство $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.
Это одно из основных свойств модуля. Рассмотрим возможные случаи знаков чисел a и b.
1. Если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $a \cdot b \ge 0$. Тогда $|a \cdot b| = a \cdot b$. Также $|a| = a$ и $|b| = b$, поэтому $|a| \cdot |b| = a \cdot b$. Равенство верно.
2. Если $a \ge 0$ и $b < 0$, то $a \cdot b \le 0$. Тогда $|a \cdot b| = -(a \cdot b) = a \cdot (-b)$. Также $|a| = a$ и $|b| = -b$, поэтому $|a| \cdot |b| = a \cdot (-b)$. Равенство верно.
3. Если $a < 0$ и $b < 0$, то $a \cdot b > 0$. Тогда $|a \cdot b| = a \cdot b$. Также $|a| = -a$ и $|b| = -b$, поэтому $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot (-b) = a \cdot b$. Равенство верно.
Высказывание истинно для любых чисел.
Ответ: истинно.

г) Модуль разности двух чисел может быть больше разности их модулей.

На математическом языке: существуют такие числа a и b, для которых выполняется неравенство $|a - b| > |a| - |b|$.
Проверим это утверждение на примере. Пусть $a = 5$ и $b = -3$.
Найдем модуль разности: $|a - b| = |5 - (-3)| = |5 + 3| = |8| = 8$.
Найдем разность модулей: $|a| - |b| = |5| - |-3| = 5 - 3 = 2$.
Сравним полученные значения: $8 > 2$.
Поскольку мы нашли пример, когда неравенство выполняется, высказывание является истинным. Это следует из так называемого "обратного неравенства треугольника": $|a - b| \ge ||a| - |b||$.
Ответ: истинно.

750 Сформулируй определение модуля числа. Запиши высказывания на математическом языке и определи, истинны они или ложны:

а) Модули противоположных чисел равны.

$|a| = |-a|$

б) Существуют взаимно обратные числа, модули которых равны.

$|x| = |\frac{1}{x}|$

в) Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей.

$|ab| = |a||b|$

г) Модуль разности двух чисел может быть больше разности их модулей.

$|a - b| > |a| - |b|$

751 Реши примеры и расскажи, какие алгоритмы действий с рациональными числами использовались для их решения:

а) $-1,6 + \left(-\frac{2}{9}\right)$;

б) $-\frac{14}{15} - (-4,35)$;

в) $-\frac{3}{25} - 0,78$;

г) $0,9 - 2\frac{1}{6}$;

д) $-4,8 \cdot \left(-10\frac{2}{3}\right)$;

е) $1\frac{1}{5} : (-0,18)$;

ж) $\left|-\frac{5}{6}\right| : |-1,25|$;

з) $|-3,75| \cdot \left|-1\frac{1}{9}\right|$.

а) $-1,6 + (-\frac{2}{9})$

Для решения этого примера используется алгоритм сложения рациональных чисел с разными знаками, представленных в виде десятичной и обыкновенной дроби.

1. Алгоритм сложения двух отрицательных чисел: Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом поставить знак «-». Таким образом, $-1,6 + (-\frac{2}{9}) = -(1,6 + \frac{2}{9})$.

2. Преобразование чисел в единый формат: Так как дробь $\frac{2}{9}$ является бесконечной периодической десятичной дробью ($0,(2)$), удобнее преобразовать десятичную дробь $1,6$ в обыкновенную: $1,6 = 1\frac{6}{10} = 1\frac{3}{5}$.

3. Сложение обыкновенных дробей: Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю.

Решение:

$-1,6 + (-\frac{2}{9}) = -(\frac{16}{10} + \frac{2}{9}) = -(\frac{8}{5} + \frac{2}{9})$

Приведем дроби к общему знаменателю $45$:

$-(\frac{8 \cdot 9}{5 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5}) = -(\frac{72}{45} + \frac{10}{45}) = -\frac{72 + 10}{45} = -\frac{82}{45}$

Выделим целую часть:

$-\frac{82}{45} = -1\frac{37}{45}$

Ответ: $-1\frac{37}{45}$.

б) $-\frac{14}{15} - (-4,35)$

Для решения используется алгоритм вычитания рациональных чисел.

1. Алгоритм вычитания: Вычитание числа можно заменить сложением с противоположным ему числом: $a - (-b) = a + b$. Таким образом, $-\frac{14}{15} - (-4,35) = -\frac{14}{15} + 4,35$.

2. Сложение чисел с разными знаками: Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед результатом знак числа с большим модулем.

3. Преобразование в единый формат: Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $4,35 = 4\frac{35}{100} = 4\frac{7}{20}$.

Решение:

$-\frac{14}{15} + 4,35 = 4\frac{7}{20} - \frac{14}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю $60$:

$4\frac{7 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{14 \cdot 4}{15 \cdot 4} = 4\frac{21}{60} - \frac{56}{60}$

Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, "займем" единицу у целой части:

$3\frac{60+21}{60} - \frac{56}{60} = 3\frac{81}{60} - \frac{56}{60} = 3\frac{81-56}{60} = 3\frac{25}{60}$

Сократим дробную часть на $5$:

$3\frac{25}{60} = 3\frac{5}{12}$

Ответ: $3\frac{5}{12}$.

в) $-\frac{3}{25} - 0,78$

Здесь применяется алгоритм сложения двух отрицательных чисел.

1. Правило вычитания: Выражение можно записать как сумму двух отрицательных чисел: $-\frac{3}{25} + (-0,78)$.

2. Сложение отрицательных чисел: Складываем модули чисел и ставим знак «-».

3. Преобразование в единый формат: Знаменатель дроби $25$ позволяет легко преобразовать ее в десятичную: $-\frac{3}{25} = -\frac{3 \cdot 4}{25 \cdot 4} = -\frac{12}{100} = -0,12$.

Решение:

$-\frac{3}{25} - 0,78 = -0,12 - 0,78 = -(0,12 + 0,78) = -0,9$

Ответ: $-0,9$.

г) $0,9 - 2\frac{1}{6}$

Используется алгоритм вычитания рациональных чисел (сложение чисел с разными знаками).

1. Сложение чисел с разными знаками: Из числа с меньшим модулем вычитается число с большим модулем. Результат будет отрицательным.

2. Преобразование в единый формат: Преобразуем оба числа в обыкновенные дроби: $0,9 = \frac{9}{10}$ и $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$.

Решение:

$0,9 - 2\frac{1}{6} = \frac{9}{10} - \frac{13}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю $30$:

$\frac{9 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{13 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{27}{30} - \frac{65}{30} = \frac{27 - 65}{30} = -\frac{38}{30}$

Сократим дробь на $2$ и выделим целую часть:

$-\frac{38}{30} = -\frac{19}{15} = -1\frac{4}{15}$

Ответ: $-1\frac{4}{15}$.

д) $-4,8 \cdot (-10\frac{2}{3})$

Используется алгоритм умножения рациональных чисел.

1. Правило знаков при умножении: Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное.

2. Преобразование в неправильные дроби: Для удобства умножения преобразуем оба числа в неправильные дроби: $-4,8 = -4\frac{8}{10} = -4\frac{4}{5} = -\frac{24}{5}$ и $-10\frac{2}{3} = -\frac{32}{3}$.

3. Умножение дробей: Числитель умножается на числитель, знаменатель на знаменатель.

Решение:

$-4,8 \cdot (-10\frac{2}{3}) = \frac{24}{5} \cdot \frac{32}{3}$

Сократим $24$ и $3$ на $3$:

$\frac{8}{5} \cdot \frac{32}{1} = \frac{8 \cdot 32}{5} = \frac{256}{5}$

Преобразуем результат в десятичную дробь:

$\frac{256}{5} = \frac{512}{10} = 51,2$

Ответ: $51,2$.

е) $1\frac{1}{5} : (-0,18)$

Используется алгоритм деления рациональных чисел.

1. Правило знаков при делении: Частное от деления чисел с разными знаками есть число отрицательное.

2. Преобразование в дроби: Преобразуем оба числа в обыкновенные дроби: $1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$ и $-0,18 = -\frac{18}{100} = -\frac{9}{50}$.

3. Деление дробей: Деление заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

Решение:

$1\frac{1}{5} : (-0,18) = \frac{6}{5} : (-\frac{9}{50}) = -(\frac{6}{5} \cdot \frac{50}{9})$

Сократим дроби перед умножением ($6$ и $9$ на $3$; $50$ и $5$ на $5$):

$-(\frac{2}{1} \cdot \frac{10}{3}) = -\frac{20}{3}$

Выделим целую часть:

$-\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3}$

Ответ: $-6\frac{2}{3}$.

ж) $|-\frac{5}{6}| : |-1,25|$

Используется алгоритм нахождения модуля числа и деления рациональных чисел.

1. Нахождение модуля: Модуль (абсолютная величина) отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу. $|-\frac{5}{6}| = \frac{5}{6}$ и $|-1,25| = 1,25$.

2. Преобразование в дроби: $1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

3. Деление дробей.

Решение:

$|-\frac{5}{6}| : |-1,25| = \frac{5}{6} : 1,25 = \frac{5}{6} : \frac{5}{4}$

$\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

з) $|-3,75| \cdot |-1\frac{1}{9}|$

Используется алгоритм нахождения модуля числа и умножения рациональных чисел.

1. Нахождение модуля: $|-3,75| = 3,75$ и $|-1\frac{1}{9}| = 1\frac{1}{9}$.

2. Преобразование в неправильные дроби: $3,75 = 3\frac{75}{100} = 3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ и $1\frac{1}{9} = \frac{10}{9}$.

3. Умножение дробей.

Решение:

$|-3,75| \cdot |-1\frac{1}{9}| = 3,75 \cdot 1\frac{1}{9} = \frac{15}{4} \cdot \frac{10}{9}$

Сократим дроби перед умножением ($15$ и $9$ на $3$; $10$ и $4$ на $2$):

$\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{6}$

Выделим целую часть:

$\frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$

Ответ: $4\frac{1}{6}$.

751 Реши примеры и расскажи, какие алгоритмы действий с рациональными числами использовались для их решения:

а) $-1,6 + \left(-\frac{2}{9}\right);$

б) $-\frac{14}{15} - (-4,35);$

в) $\frac{3}{25} - 0,78;$

г) $0,9 - 2\frac{1}{6};$

д) $-4,8 \cdot \left(-10\frac{2}{3}\right);$

е) $1\frac{1}{5} : (-0,18);$

ж) $\left|-\frac{5}{6}\right| : |-1,25|;$

з) $|-3,75| \cdot \left|-1\frac{1}{9}\right|.$