Номер 744, страница 170, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Задачи на повторение - номер 744, страница 170.

Условие 2023.

744 Найди наименьшее натуральное число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу.

Решение 2 (2023).

Искомое число должно быть наименьшим натуральным числом, кратным 36, в записи которого встречаются все 10 цифр (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) по одному разу.

Условие кратности 36 означает, что число должно делиться одновременно на 4 и на 9, так как $36 = 4 \times 9$ и эти числа взаимно просты.

Проверим признак делимости на 9. Сумма всех десяти цифр равна $0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45$. Поскольку 45 делится на 9, любое число, составленное из этих цифр, будет делиться на 9. Это условие выполняется всегда.

Следовательно, задача сводится к поиску наименьшего десятизначного числа, составленного из всех цифр, которое делится на 4. По признаку делимости на 4, число, образованное двумя последними цифрами искомого числа, должно делиться на 4.

Чтобы найти наименьшее число, будем конструировать его слева направо, ставя в каждый разряд наименьшую из доступных цифр. Первая цифра не может быть 0, поэтому наименьшая возможная первая цифра — 1.Наименьшее возможное начало числа: $102345...$.На данный момент использованы цифры $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. Остались неиспользованными цифры $\{6, 7, 8, 9\}$.Нам нужно расставить их на последних четырех позициях ($d_7, d_8, d_9, d_{10}$), чтобы итоговое число было минимальным. Для этого цифра $d_7$ должна быть наименьшей из оставшихся.

Рассмотрим варианты для $d_7$:

• Пусть $d_7=6$. Префикс числа — $1023456$. Оставшиеся цифры $\{7, 8, 9\}$. Из них нужно составить последние две цифры, чтобы образованное ими число делилось на 4. Возможные числа: 78, 87, 79, 97, 89, 98. Ни одно из них не делится на 4. Этот вариант невозможен.
• Пусть $d_7=7$. Префикс — $1023457$. Оставшиеся цифры $\{6, 8, 9\}$. Из них можно составить два числа, кратных 4: $68$ и $96$.
  • Если последние две цифры — $68$, то для восьмой позиции ($d_8$) остается цифра $9$. Получаем число $1023457968$.
  • Если последние две цифры — $96$, то для восьмой позиции ($d_8$) остается цифра $8$. Получаем число $1023457896$.
  Из этих двух чисел наименьшее — $1023457896$.

Любой другой выбор для седьмой цифры (например, $d_7=8$) привел бы к большему числу, так как уже префикс $1023458...$ больше, чем найденное нами число $1023457896$.

Таким образом, наименьшее натуральное число, удовлетворяющее всем условиям, — это $1023457896$.

Ответ: $1023457896$

Условие 2010-2022.

744 Найди наименьшее натуральное число, кратное 36, в записи которого встречаются все 10 цифр по одному разу.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).