Номер 745, страница 170, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Задачи на повторение. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 745, страница 170.

Условие 2023.

745 Сформулируй алгоритм сравнения рациональных чисел. Сравни дроби $(-\frac{3}{7})$ и $(-\frac{5}{9})$ пятью различными способами.

Решение 2 (2023).

Алгоритм сравнения рациональных чисел

Для сравнения двух рациональных чисел можно использовать следующий алгоритм:

1. Сравнить знаки чисел. Любое положительное число больше любого отрицательного. Любое положительное число больше нуля, а любое отрицательное — меньше нуля.
2. Если оба числа положительные (например, дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$), их нужно привести к общему знаменателю. Большей будет та дробь, у которой числитель окажется больше.
3. Если оба числа отрицательные (например, $-\frac{a}{b}$ и $-\frac{c}{d}$), нужно сравнить их модули (положительные дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$). Большим будет то отрицательное число, модуль которого меньше. То есть, если $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$, то $-\frac{a}{b} > -\frac{c}{d}$.

Сравнение дробей $(-\frac{3}{7})$ и $(-\frac{5}{9})$ пятью различными способами

1. Способ приведения к общему знаменателю

Поскольку обе дроби отрицательные, сначала сравним их модули: $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{9}$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 9 это их произведение, равное $7 \times 9 = 63$.

$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 9}{7 \times 9} = \frac{27}{63}$

$\frac{5}{9} = \frac{5 \times 7}{9 \times 7} = \frac{35}{63}$

Сравниваем полученные дроби с одинаковым знаменателем: так как $27 < 35$, то $\frac{27}{63} < \frac{35}{63}$, следовательно, $\frac{3}{7} < \frac{5}{9}$.

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: из $\frac{3}{7} < \frac{5}{9}$ следует, что $-\frac{3}{7} > -\frac{5}{9}$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}) > (-\frac{5}{9})$

2. Способ преобразования в десятичные дроби

Переведем обе дроби в десятичный формат.

$-\frac{3}{7} = -(3 \div 7) = -0,428571... = -0,(428571)$

$-\frac{5}{9} = -(5 \div 9) = -0,555... = -0,(5)$

Сравниваем десятичные дроби $-0,428571...$ и $-0,(5)$. На числовой прямой число $-0,428571...$ находится правее (ближе к нулю), чем число $-0,(5)$, следовательно, оно больше.

$-0,428571... > -0,555...$

Таким образом, $-\frac{3}{7} > -\frac{5}{9}$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}) > (-\frac{5}{9})$

3. Способ перекрестного умножения

Этот способ является быстрым вариантом сравнения модулей дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{9}$ без явного нахождения общего знаменателя.

Умножим числитель первой дроби на знаменатель второй и числитель второй дроби на знаменатель первой:

$3 \times 9 = 27$

$5 \times 7 = 35$

Сравниваем полученные произведения: $27 < 35$.

Так как первое произведение ($27$) меньше второго ($35$), то и первая дробь ($\frac{3}{7}$) меньше второй ($\frac{5}{9}$): $\frac{3}{7} < \frac{5}{9}$.

Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, то знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{3}{7} > -\frac{5}{9}$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}) > (-\frac{5}{9})$

4. Способ приведения к общему числителю

Сравним модули дробей $\frac{3}{7}$ и $\frac{5}{9}$. Приведем их к общему числителю.

Наименьшее общее кратное для числителей 3 и 5 равно 15.

$\frac{3}{7} = \frac{3 \times 5}{7 \times 5} = \frac{15}{35}$

$\frac{5}{9} = \frac{5 \times 3}{9 \times 3} = \frac{15}{27}$

Теперь сравним дроби $\frac{15}{35}$ и $\frac{15}{27}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как $35 > 27$, то $\frac{15}{35} < \frac{15}{27}$, а значит $\frac{3}{7} < \frac{5}{9}$.

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{3}{7} > -\frac{5}{9}$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}) > (-\frac{5}{9})$

5. Способ нахождения разности

Вычтем одну дробь из другой и определим знак результата. Найдем разность $(-\frac{3}{7}) - (-\frac{5}{9})$.

$(-\frac{3}{7}) - (-\frac{5}{9}) = -\frac{3}{7} + \frac{5}{9}$

Приведем дроби к общему знаменателю 63:

$-\frac{3 \times 9}{7 \times 9} + \frac{5 \times 7}{9 \times 7} = -\frac{27}{63} + \frac{35}{63} = \frac{-27 + 35}{63} = \frac{8}{63}$

Разность равна $\frac{8}{63}$, что является положительным числом.

Если разность $a - b > 0$, то $a > b$. В нашем случае это означает, что $(-\frac{3}{7}) > (-\frac{5}{9})$.

Ответ: $(-\frac{3}{7}) > (-\frac{5}{9})$

Условие 2010-2022.

745 Сформулируй алгоритм сравнения рациональных чисел. Сравни дроби $(-\frac{3}{7})$ и $(-\frac{5}{9})$ пятью различными способами.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).