Номер 749, страница 170, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Задачи на повторение. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 749, страница 170.

Условие 2023.

749 Прочитай высказывания, докажи или опровергни их. Построй отрицания ложных высказываний.

а) $\forall x \in Q: x + (-x) = 0;$

б) $\exists y \in Q: y \cdot \frac{1}{y} \neq 1;$

в) $\forall a \in Q: -a < 0;$

г) $\exists b \in Q: \frac{1}{b} = -b;$

д) $\forall m \in Q: -(-m) = m;$

е) $\forall n \in Q: 1 : \frac{1}{n} = n.$

Решение 2 (2023).

а) Высказывание $∀ x ∈ Q: x + (-x) = 0$ читается как: "Для любого рационального числа $x$ верно, что сумма этого числа и противоположного ему равна нулю".

Это высказывание истинно.

Доказательство: По определению противоположного числа (или аддитивной инверсии), для каждого рационального числа $x$ существует единственное число $-x$, такое, что их сумма равна аддитивному нейтральному элементу, то есть нулю. Это одно из основных свойств множества рациональных чисел.

Ответ: Истинно.

б) Высказывание $∃ y ∈ Q: y \cdot \frac{1}{y} \neq 1$ читается как: "Существует такое рациональное число $y$, что произведение этого числа и обратного ему не равно единице".

Это высказывание ложно.

Опровержение: Выражение $\frac{1}{y}$ (число, обратное $y$) определено для всех рациональных чисел $y$, кроме $y=0$. Для любого ненулевого рационального числа $y$ по определению обратного числа (мультипликативной инверсии) произведение $y \cdot \frac{1}{y}$ всегда равно мультипликативному нейтральному элементу, то есть 1. Для $y=0$ выражение в левой части не определено. Таким образом, не существует рационального числа $y$, для которого это произведение было бы определено и при этом не равнялось бы 1.

Отрицание ложного высказывания: Отрицанием является высказывание "Для любого рационального числа $y$, для которого выражение $y \cdot \frac{1}{y}$ определено (т.е. $y \neq 0$), выполняется равенство $y \cdot \frac{1}{y} = 1$". В символьной форме: $∀ y ∈ Q, y ≠ 0: y \cdot \frac{1}{y} = 1$.

Ответ: Ложно. Отрицание: $∀ y ∈ Q, y ≠ 0: y \cdot \frac{1}{y} = 1$.

в) Высказывание $∀ a ∈ Q: -a < 0$ читается как: "Для любого рационального числа $a$ противоположное ему число меньше нуля".

Это высказывание ложно.

Опровержение: Чтобы опровергнуть утверждение с квантором всеобщности ("для любого"), достаточно найти хотя бы один контрпример. Пусть $a = -5$. Это рациональное число. Тогда $-a = -(-5) = 5$. Неравенство $5 < 0$ ложно. Другой контрпример: $a = 0$. Тогда $-a = 0$. Неравенство $0 < 0$ также ложно. Следовательно, исходное высказывание неверно.

Отрицание ложного высказывания: Отрицанием является высказывание "Существует такое рациональное число $a$, что $-a$ не меньше нуля", то есть "Существует такое рациональное число $a$, что $-a \geq 0$". В символьной форме: $∃ a ∈ Q: -a \geq 0$.

Ответ: Ложно. Отрицание: $∃ a ∈ Q: -a \geq 0$.

г) Высказывание $∃ b ∈ Q: \frac{1}{b} = -b$ читается как: "Существует такое рациональное число $b$, что обратное ему число равно противоположному ему числу".

Это высказывание ложно.

Опровержение: Предположим, что такое рациональное число $b$ существует. Из уравнения следует, что $b \neq 0$. Умножим обе части уравнения $\frac{1}{b} = -b$ на $b$:

$1 = -b^2$

$b^2 = -1$

Однако, квадрат любого рационального числа является неотрицательным числом, то есть $b^2 \geq 0$ для любого $b \in Q$. Так как $-1 < 0$, уравнение $b^2 = -1$ не имеет решений во множестве рациональных чисел. Следовательно, такого числа $b$ не существует.

Отрицание ложного высказывания: Отрицанием является высказывание "Для любого рационального числа $b$, для которого выражение $\frac{1}{b}$ определено ($b \neq 0$), неверно, что $\frac{1}{b} = -b$". В символьной форме: $∀ b ∈ Q, b ≠ 0: \frac{1}{b} \neq -b$.

Ответ: Ложно. Отрицание: $∀ b ∈ Q, b ≠ 0: \frac{1}{b} \neq -b$.

д) Высказывание $∀ m ∈ Q: -(-m) = m$ читается как: "Для любого рационального числа $m$ число, противоположное противоположному ему числу, равно самому числу $m$".

Это высказывание истинно.

Доказательство: Операция взятия противоположного числа эквивалентна умножению на -1. Тогда $-(-m) = (-1) \cdot (-m) = (-1) \cdot ((-1) \cdot m)$. Согласно свойству ассоциативности (сочетательности) умножения: $((-1) \cdot (-1)) \cdot m = 1 \cdot m = m$. Это равенство справедливо для любого рационального числа $m$.

Ответ: Истинно.

е) Высказывание $∀ n ∈ Q: 1 : \frac{1}{n} = n$ читается как: "Для любого рационального числа $n$ частное от деления единицы на обратное к $n$ число равно самому числу $n$".

Это высказывание ложно.

Опровержение: Утверждение должно быть верным для всех рациональных чисел. Рассмотрим $n=0$, которое является рациональным числом. При $n=0$ выражение $\frac{1}{n}$ (деление на ноль) не определено. Следовательно, и вся левая часть равенства $1 : \frac{1}{n}$ не определена. Поскольку равенство не выполняется для $n=0$, исходное высказывание в целом является ложным.

Отрицание ложного высказывания: Отрицанием является высказывание "Существует такое рациональное число $n$, для которого равенство $1 : \frac{1}{n} = n$ неверно". В символьной форме: $∃ n ∈ Q: 1 : \frac{1}{n} \neq n$. (Это утверждение истинно, так как оно выполняется для $n=0$).

Ответ: Ложно. Отрицание: $∃ n ∈ Q: 1 : \frac{1}{n} \neq n$.

Условие 2010-2022.

749 Прочитай высказывания, докажи или опровергни их. Построй отрицания ложных высказываний.

а) $\forall x \in Q: x + (-x) = 0;$

б) $\exists y \in Q: y \cdot \frac{1}{y} \neq 1;$

в) $\forall a \in Q: -a < 0;$

г) $\exists b \in Q: \frac{1}{b} = -b;$

д) $\forall m \in Q: -(-m) = m;$

е) $\forall n \in Q: 1 : \frac{1}{n} = n.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).