Номер 756, страница 171, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Задачи на повторение - номер 756, страница 171.

Условие 2023.

756 Сформулируй и запиши в общем виде следующие свойства рациональных чисел:

а) переместительное, сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения;

б) свойства числа 0 при сложении и вычитании;

в) свойства чисел 0 и 1 при умножении и делении. Придумай примеры, в которых использование этих свойств упрощает вычисления.

Решение 2 (2023).

а) переместительное, сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения

Переместительное свойство сложения (коммутативность): от перемены мест слагаемых сумма не меняется.
В общем виде: $a + b = b + a$.
Пример, упрощающий вычисление: $-2,5 + 7,8 - 7,5$.
Применяя свойство, сгруппируем $-2,5$ и $-7,5$: $(-2,5 - 7,5) + 7,8 = -10 + 7,8 = -2,2$.

Сочетательное свойство сложения (ассоциативность): чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.
В общем виде: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
Пример, упрощающий вычисление: $(3,17 + 5,9) + 4,1$.
Применяя свойство, сгруппируем $5,9$ и $4,1$: $3,17 + (5,9 + 4,1) = 3,17 + 10 = 13,17$.

Переместительное свойство умножения (коммутативность): от перемены мест множителей произведение не меняется.
В общем виде: $a \cdot b = b \cdot a$.
Пример, упрощающий вычисление: $0,25 \cdot 3,57 \cdot 4$.
Применяя свойство, сгруппируем $0,25$ и $4$: $(0,25 \cdot 4) \cdot 3,57 = 1 \cdot 3,57 = 3,57$.

Сочетательное свойство умножения (ассоциативность): чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.
В общем виде: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Пример, упрощающий вычисление: $(50 \cdot (-1,7)) \cdot (-2)$.
Применяя переместительное и сочетательное свойства, сгруппируем $50$ и $-2$: $(50 \cdot (-2)) \cdot (-1,7) = -100 \cdot (-1,7) = 170$.

Распределительное свойство умножения относительно сложения (дистрибутивность): чтобы число умножить на сумму, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.
В общем виде: $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$.
Пример, упрощающий вычисление: $135 \cdot 1,7 - 35 \cdot 1,7$.
Вынесем общий множитель $1,7$ за скобки: $(135 - 35) \cdot 1,7 = 100 \cdot 1,7 = 170$.

Ответ:

б) свойства числа 0 при сложении и вычитании

Сложение с нулём: если к любому числу прибавить ноль, то число не изменится.
В общем виде: $a + 0 = a$.
Пример: $12,3 + (5,8 - 5,8)$. Выражение в скобках равно нулю, поэтому $12,3 + 0 = 12,3$.

Вычитание нуля: если из любого числа вычесть ноль, то число не изменится.
В общем виде: $a - 0 = a$.
Пример: $15,7 - (9,4 - 9,4)$. Выражение в скобках равно нулю, поэтому $15,7 - 0 = 15,7$.

Вычитание числа из самого себя: разность двух равных чисел равна нулю.
В общем виде: $a - a = 0$.
Пример, упрощающий вычисление: $-34,5 + 17,2 + 34,5$.
Сгруппируем первое и третье слагаемые: $(-34,5 + 34,5) + 17,2 = 0 + 17,2 = 17,2$.

Ответ:

в) свойства чисел 0 и 1 при умножении и делении

Умножение на 1: если любое число умножить на 1, то оно не изменится.
В общем виде: $a \cdot 1 = a$.
Пример, упрощающий вычисление: $(3\frac{1}{7} \cdot \frac{7}{22}) \cdot 5,4$.
Произведение в скобках равно 1, поэтому $1 \cdot 5,4 = 5,4$.

Деление на 1: если любое число разделить на 1, то оно не изменится.
В общем виде: $a : 1 = a$.
Пример: $(\frac{4}{9} + \frac{5}{9}) : 1$. Сумма в скобках равна 1, поэтому $1 : 1 = 1$.

Деление числа на само себя: если число, не равное нулю, разделить на само себя, то получится 1.
В общем виде: $a : a = 1$ (при $a \neq 0$).
Пример, упрощающий вычисление: $15,3 \cdot (8,3 : 8,3)$.
Частное в скобках равно 1, поэтому $15,3 \cdot 1 = 15,3$.

Умножение на 0: произведение любого числа и нуля равно нулю.
В общем виде: $a \cdot 0 = 0$.
Пример, упрощающий вычисление: $(15,8 - 3,16 \cdot 5) \cdot (12,3 + 45,6)$.
Вычислив первую скобку ($15,8 - 15,8 = 0$), видим, что всё произведение равно нулю, и вторую скобку можно не считать: $0 \cdot (12,3 + 45,6) = 0$.

Деление нуля на число: при делении нуля на любое число, не равное нулю, получится ноль.
В общем виде: $0 : a = 0$ (при $a \neq 0$).
Пример: $(3,5 \cdot 2 - 7) : (-125)$.
Выражение в скобках равно нулю ($7-7=0$), поэтому $0 : (-125) = 0$.

Деление на ноль: на ноль делить нельзя. Это правило означает, что операция $a : 0$ не определена ни для какого числа $a$.

Ответ:

Условие 2010-2022.

756 Сформулируй и запиши в общем виде следующие свойства рациональных чисел:

а) переместительное, сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения;

б) свойства числа 0 при сложении и вычитании;

в) свойства чисел 0 и 1 при умножении и делении. Придумай примеры, в которых использование этих свойств упрощает вычисления.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).