Номер 750, страница 170, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Задачи на повторение - номер 750, страница 170.

Условие 2023.

750 Сформулируй определение модуля числа. Запиши высказывания на математическом языке и определи, истинны они или ложны.

а) Модули противоположных чисел равны.

Математически: $|-a| = |a|$

б) Существуют взаимно обратные числа, модули которых равны.

Математически: $|a| = |\frac{1}{a}|$

в) Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей.

Математически: $|ab| = |a||b|$

г) Модуль разности двух чисел может быть больше разности их модулей.

Математически: $|a - b| > |a| - |b|$

Решение 2 (2023).

Модулем (или абсолютной величиной) числа a называется расстояние от начала координат до точки, изображающей это число на координатной прямой. Модуль числа a обозначается как $|a|$.

Формально модуль определяется так:
$|a| = a$, если $a \ge 0$
$|a| = -a$, если $a < 0$
Таким образом, модуль любого числа является неотрицательной величиной.

а) Модули противоположных чисел равны.

На математическом языке это высказывание можно записать как: для любого числа a верно равенство $|a| = |-a|$.
Проверим это утверждение.
1. Если $a > 0$, то $-a < 0$. Тогда по определению $|a| = a$ и $|-a| = -(-a) = a$. Равенство верно.
2. Если $a < 0$, то $-a > 0$. Тогда по определению $|a| = -a$ и $|-a| = -a$. Равенство верно.
3. Если $a = 0$, то $|0| = 0$ и $|-0| = |0| = 0$. Равенство верно.
Высказывание истинно для любого числа a.
Ответ: истинно.

б) Существуют взаимно обратные числа, модули которых равны.

Взаимно обратные числа — это числа a и $1/a$ (при $a \ne 0$). Высказывание утверждает, что существует такое число a, для которого выполняется равенство $|a| = |1/a|$.
Решим это уравнение:
$|a| = |1/a|$
$|a| = 1 / |a|$
$|a|^2 = 1$
$|a| = 1$ (поскольку модуль не может быть отрицательным).
Этому уравнению удовлетворяют два числа: $a = 1$ и $a = -1$.
Для $a=1$ обратное число равно $1/1=1$. $|1|=|1|$, что верно.
Для $a=-1$ обратное число равно $1/(-1)=-1$. $|-1|=|-1|$, что верно.
Поскольку такие числа существуют, высказывание истинно.
Ответ: истинно.

в) Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей.

На математическом языке: для любых чисел a и b верно равенство $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$.
Это одно из основных свойств модуля. Рассмотрим возможные случаи знаков чисел a и b.
1. Если $a \ge 0$ и $b \ge 0$, то $a \cdot b \ge 0$. Тогда $|a \cdot b| = a \cdot b$. Также $|a| = a$ и $|b| = b$, поэтому $|a| \cdot |b| = a \cdot b$. Равенство верно.
2. Если $a \ge 0$ и $b < 0$, то $a \cdot b \le 0$. Тогда $|a \cdot b| = -(a \cdot b) = a \cdot (-b)$. Также $|a| = a$ и $|b| = -b$, поэтому $|a| \cdot |b| = a \cdot (-b)$. Равенство верно.
3. Если $a < 0$ и $b < 0$, то $a \cdot b > 0$. Тогда $|a \cdot b| = a \cdot b$. Также $|a| = -a$ и $|b| = -b$, поэтому $|a| \cdot |b| = (-a) \cdot (-b) = a \cdot b$. Равенство верно.
Высказывание истинно для любых чисел.
Ответ: истинно.

г) Модуль разности двух чисел может быть больше разности их модулей.

На математическом языке: существуют такие числа a и b, для которых выполняется неравенство $|a - b| > |a| - |b|$.
Проверим это утверждение на примере. Пусть $a = 5$ и $b = -3$.
Найдем модуль разности: $|a - b| = |5 - (-3)| = |5 + 3| = |8| = 8$.
Найдем разность модулей: $|a| - |b| = |5| - |-3| = 5 - 3 = 2$.
Сравним полученные значения: $8 > 2$.
Поскольку мы нашли пример, когда неравенство выполняется, высказывание является истинным. Это следует из так называемого "обратного неравенства треугольника": $|a - b| \ge ||a| - |b||$.
Ответ: истинно.

Условие 2010-2022.

750 Сформулируй определение модуля числа. Запиши высказывания на математическом языке и определи, истинны они или ложны:

а) Модули противоположных чисел равны.

$|a| = |-a|$

б) Существуют взаимно обратные числа, модули которых равны.

$|x| = |\frac{1}{x}|$

в) Модуль произведения двух чисел равен произведению их модулей.

$|ab| = |a||b|$

г) Модуль разности двух чисел может быть больше разности их модулей.

$|a - b| > |a| - |b|$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).