Номер 747, страница 170, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Задачи на повторение - номер 747, страница 170.

Условие 2023.

Можно ли сравнить на множестве рациональных чисел:

1) $a$ и $-a$;

2) $a$ и $\frac{1}{a}$;

3) $a$ и $a+2$;

4) $a$ и $2a$;

5) $a$ и $a-2$;

6) $a$ и $a:2$;

7) $a$ и $a^2$;

8) $(-a)^2$ и $-a^2$?

Решение 2 (2023).

1) $a$ и $-a$

Чтобы сравнить два выражения, можно рассмотреть их разность: $a - (-a) = 2a$. Результат сравнения зависит от знака переменной $a$:

• Если $a$ — положительное число (например, $a=5$), то $2a > 0$, следовательно, $a > -a$ (т.к. $5 > -5$).
• Если $a$ — отрицательное число (например, $a=-3$), то $2a < 0$, следовательно, $a < -a$ (т.к. $-3 < 3$).
• Если $a = 0$, то $a = -a$.

Поскольку знак неравенства меняется в зависимости от значения $a$, однозначно сравнить эти выражения на всем множестве рациональных чисел нельзя.

Ответ: нельзя.

2) $a$ и $\frac{1}{a}$

Данные выражения определены для всех рациональных $a$, кроме $a=0$. Результат сравнения зависит от значения $a$:

• Если $a > 1$ (например, $a=2$), то $a > \frac{1}{a}$ (т.к. $2 > \frac{1}{2}$).
• Если $0 < a < 1$ (например, $a=\frac{1}{2}$), то $a < \frac{1}{a}$ (т.к. $\frac{1}{2} < 2$).
• Если $a < -1$ (например, $a=-2$), то $a < \frac{1}{a}$ (т.к. $-2 < -\frac{1}{2}$).

Так как результат сравнения зависит от значения $a$, однозначно сравнить эти выражения нельзя.

Ответ: нельзя.

3) $a$ и $a+2$

Найдем разность выражений: $a - (a+2) = a - a - 2 = -2$.

Разность всегда равна $-2$. Так как $-2 < 0$, то и разность $a - (a+2)$ всегда отрицательна.

Следовательно, для любого рационального числа $a$ выполняется неравенство $a < a+2$.

Ответ: можно, $a < a+2$.

4) $a$ и $2a$

Рассмотрим разность выражений: $a - 2a = -a$. Результат сравнения зависит от знака $a$:

• Если $a > 0$ (например, $a=4$), то $-a < 0$, значит, $a < 2a$ (т.к. $4 < 8$).
• Если $a < 0$ (например, $a=-4$), то $-a > 0$, значит, $a > 2a$ (т.к. $-4 > -8$).
• Если $a = 0$, то $a = 2a$.

Поскольку результат сравнения зависит от $a$, однозначно сравнить выражения нельзя.

Ответ: нельзя.

5) $a$ и $a-2$

Найдем разность выражений: $a - (a-2) = a - a + 2 = 2$.

Разность всегда равна $2$. Так как $2 > 0$, то и разность $a - (a-2)$ всегда положительна.

Следовательно, для любого рационального числа $a$ выполняется неравенство $a > a-2$.

Ответ: можно, $a > a-2$.

6) $a$ и $a:2$

Сравним $a$ и $\frac{a}{2}$. Рассмотрим их разность: $a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}$. Результат сравнения зависит от знака $a$:

• Если $a > 0$ (например, $a=6$), то $\frac{a}{2} > 0$, значит, $a > \frac{a}{2}$ (т.к. $6 > 3$).
• Если $a < 0$ (например, $a=-6$), то $\frac{a}{2} < 0$, значит, $a < \frac{a}{2}$ (т.к. $-6 < -3$).
• Если $a = 0$, то $a = \frac{a}{2}$.

Так как результат сравнения зависит от $a$, однозначно сравнить выражения нельзя.

Ответ: нельзя.

7) $a$ и $a^2$

Рассмотрим разность выражений: $a - a^2 = a(1-a)$. Знак разности зависит от значения $a$:

• Если $0 < a < 1$ (например, $a=\frac{1}{2}$), то $a > 0$ и $1-a > 0$, следовательно, $a(1-a) > 0$, что означает $a > a^2$ (т.к. $\frac{1}{2} > \frac{1}{4}$).
• Если $a > 1$ (например, $a=3$), то $a > 0$ и $1-a < 0$, следовательно, $a(1-a) < 0$, что означает $a < a^2$ (т.к. $3 < 9$).
• Если $a < 0$ (например, $a=-2$), то $a < 0$ и $1-a > 0$, следовательно, $a(1-a) < 0$, что означает $a < a^2$ (т.к. $-2 < 4$).

Так как результат сравнения меняется, однозначно сравнить выражения нельзя.

Ответ: нельзя.

8) $(-a)^2$ и $-a^2$

Упростим первое выражение: $(-a)^2 = (-a) \cdot (-a) = a^2$.

Теперь сравним $a^2$ и $-a^2$. Найдем их разность: $a^2 - (-a^2) = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Квадрат любого рационального числа является неотрицательным числом, то есть $a^2 \ge 0$.

Следовательно, $2a^2 \ge 0$ для любого рационального $a$. Это означает, что разность $a^2 - (-a^2)$ всегда неотрицательна.

Таким образом, $(-a)^2 \ge -a^2$ для всех рациональных чисел $a$. Равенство достигается только при $a=0$.

Ответ: можно, $(-a)^2 \ge -a^2$.

Условие 2010-2022.

747 Модно ли сравнить на множестве рациональных чисел:

1) $a$ и $-a$;

2) $a$ и $\frac{1}{a}$;

3) $a$ и $a+2$;

4) $a$ и $2a$;

5) $a$ и $a-2$;

6) $a$ и $a:2$;

7) $a$ и $a^2$;

8) $(-a)^2$ и $-a^2$?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).