Номер 751, страница 170, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Задачи на повторение - номер 751, страница 170.

Условие 2023.

751 Реши примеры и расскажи, какие алгоритмы действий с рациональными числами использовались для их решения:

а) $-1,6 + \left(-\frac{2}{9}\right)$;

б) $-\frac{14}{15} - (-4,35)$;

в) $-\frac{3}{25} - 0,78$;

г) $0,9 - 2\frac{1}{6}$;

д) $-4,8 \cdot \left(-10\frac{2}{3}\right)$;

е) $1\frac{1}{5} : (-0,18)$;

ж) $\left|-\frac{5}{6}\right| : |-1,25|$;

з) $|-3,75| \cdot \left|-1\frac{1}{9}\right|$.

Решение 2 (2023).

а) $-1,6 + (-\frac{2}{9})$

Для решения этого примера используется алгоритм сложения рациональных чисел с разными знаками, представленных в виде десятичной и обыкновенной дроби.

1. Алгоритм сложения двух отрицательных чисел: Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным результатом поставить знак «-». Таким образом, $-1,6 + (-\frac{2}{9}) = -(1,6 + \frac{2}{9})$.

2. Преобразование чисел в единый формат: Так как дробь $\frac{2}{9}$ является бесконечной периодической десятичной дробью ($0,(2)$), удобнее преобразовать десятичную дробь $1,6$ в обыкновенную: $1,6 = 1\frac{6}{10} = 1\frac{3}{5}$.

3. Сложение обыкновенных дробей: Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю.

Решение:

$-1,6 + (-\frac{2}{9}) = -(\frac{16}{10} + \frac{2}{9}) = -(\frac{8}{5} + \frac{2}{9})$

Приведем дроби к общему знаменателю $45$:

$-(\frac{8 \cdot 9}{5 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 5}{9 \cdot 5}) = -(\frac{72}{45} + \frac{10}{45}) = -\frac{72 + 10}{45} = -\frac{82}{45}$

Выделим целую часть:

$-\frac{82}{45} = -1\frac{37}{45}$

Ответ: $-1\frac{37}{45}$.

б) $-\frac{14}{15} - (-4,35)$

Для решения используется алгоритм вычитания рациональных чисел.

1. Алгоритм вычитания: Вычитание числа можно заменить сложением с противоположным ему числом: $a - (-b) = a + b$. Таким образом, $-\frac{14}{15} - (-4,35) = -\frac{14}{15} + 4,35$.

2. Сложение чисел с разными знаками: Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед результатом знак числа с большим модулем.

3. Преобразование в единый формат: Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $4,35 = 4\frac{35}{100} = 4\frac{7}{20}$.

Решение:

$-\frac{14}{15} + 4,35 = 4\frac{7}{20} - \frac{14}{15}$

Приведем дроби к общему знаменателю $60$:

$4\frac{7 \cdot 3}{20 \cdot 3} - \frac{14 \cdot 4}{15 \cdot 4} = 4\frac{21}{60} - \frac{56}{60}$

Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, "займем" единицу у целой части:

$3\frac{60+21}{60} - \frac{56}{60} = 3\frac{81}{60} - \frac{56}{60} = 3\frac{81-56}{60} = 3\frac{25}{60}$

Сократим дробную часть на $5$:

$3\frac{25}{60} = 3\frac{5}{12}$

Ответ: $3\frac{5}{12}$.

в) $-\frac{3}{25} - 0,78$

Здесь применяется алгоритм сложения двух отрицательных чисел.

1. Правило вычитания: Выражение можно записать как сумму двух отрицательных чисел: $-\frac{3}{25} + (-0,78)$.

2. Сложение отрицательных чисел: Складываем модули чисел и ставим знак «-».

3. Преобразование в единый формат: Знаменатель дроби $25$ позволяет легко преобразовать ее в десятичную: $-\frac{3}{25} = -\frac{3 \cdot 4}{25 \cdot 4} = -\frac{12}{100} = -0,12$.

Решение:

$-\frac{3}{25} - 0,78 = -0,12 - 0,78 = -(0,12 + 0,78) = -0,9$

Ответ: $-0,9$.

г) $0,9 - 2\frac{1}{6}$

Используется алгоритм вычитания рациональных чисел (сложение чисел с разными знаками).

1. Сложение чисел с разными знаками: Из числа с меньшим модулем вычитается число с большим модулем. Результат будет отрицательным.

2. Преобразование в единый формат: Преобразуем оба числа в обыкновенные дроби: $0,9 = \frac{9}{10}$ и $2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$.

Решение:

$0,9 - 2\frac{1}{6} = \frac{9}{10} - \frac{13}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю $30$:

$\frac{9 \cdot 3}{10 \cdot 3} - \frac{13 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{27}{30} - \frac{65}{30} = \frac{27 - 65}{30} = -\frac{38}{30}$

Сократим дробь на $2$ и выделим целую часть:

$-\frac{38}{30} = -\frac{19}{15} = -1\frac{4}{15}$

Ответ: $-1\frac{4}{15}$.

д) $-4,8 \cdot (-10\frac{2}{3})$

Используется алгоритм умножения рациональных чисел.

1. Правило знаков при умножении: Произведение двух отрицательных чисел есть число положительное.

2. Преобразование в неправильные дроби: Для удобства умножения преобразуем оба числа в неправильные дроби: $-4,8 = -4\frac{8}{10} = -4\frac{4}{5} = -\frac{24}{5}$ и $-10\frac{2}{3} = -\frac{32}{3}$.

3. Умножение дробей: Числитель умножается на числитель, знаменатель на знаменатель.

Решение:

$-4,8 \cdot (-10\frac{2}{3}) = \frac{24}{5} \cdot \frac{32}{3}$

Сократим $24$ и $3$ на $3$:

$\frac{8}{5} \cdot \frac{32}{1} = \frac{8 \cdot 32}{5} = \frac{256}{5}$

Преобразуем результат в десятичную дробь:

$\frac{256}{5} = \frac{512}{10} = 51,2$

Ответ: $51,2$.

е) $1\frac{1}{5} : (-0,18)$

Используется алгоритм деления рациональных чисел.

1. Правило знаков при делении: Частное от деления чисел с разными знаками есть число отрицательное.

2. Преобразование в дроби: Преобразуем оба числа в обыкновенные дроби: $1\frac{1}{5} = \frac{6}{5}$ и $-0,18 = -\frac{18}{100} = -\frac{9}{50}$.

3. Деление дробей: Деление заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь.

Решение:

$1\frac{1}{5} : (-0,18) = \frac{6}{5} : (-\frac{9}{50}) = -(\frac{6}{5} \cdot \frac{50}{9})$

Сократим дроби перед умножением ($6$ и $9$ на $3$; $50$ и $5$ на $5$):

$-(\frac{2}{1} \cdot \frac{10}{3}) = -\frac{20}{3}$

Выделим целую часть:

$-\frac{20}{3} = -6\frac{2}{3}$

Ответ: $-6\frac{2}{3}$.

ж) $|-\frac{5}{6}| : |-1,25|$

Используется алгоритм нахождения модуля числа и деления рациональных чисел.

1. Нахождение модуля: Модуль (абсолютная величина) отрицательного числа равен противоположному ему положительному числу. $|-\frac{5}{6}| = \frac{5}{6}$ и $|-1,25| = 1,25$.

2. Преобразование в дроби: $1,25 = 1\frac{25}{100} = 1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

3. Деление дробей.

Решение:

$|-\frac{5}{6}| : |-1,25| = \frac{5}{6} : 1,25 = \frac{5}{6} : \frac{5}{4}$

$\frac{5}{6} \cdot \frac{4}{5} = \frac{5 \cdot 4}{6 \cdot 5} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$.

з) $|-3,75| \cdot |-1\frac{1}{9}|$

Используется алгоритм нахождения модуля числа и умножения рациональных чисел.

1. Нахождение модуля: $|-3,75| = 3,75$ и $|-1\frac{1}{9}| = 1\frac{1}{9}$.

2. Преобразование в неправильные дроби: $3,75 = 3\frac{75}{100} = 3\frac{3}{4} = \frac{15}{4}$ и $1\frac{1}{9} = \frac{10}{9}$.

3. Умножение дробей.

Решение:

$|-3,75| \cdot |-1\frac{1}{9}| = 3,75 \cdot 1\frac{1}{9} = \frac{15}{4} \cdot \frac{10}{9}$

Сократим дроби перед умножением ($15$ и $9$ на $3$; $10$ и $4$ на $2$):

$\frac{5}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{25}{6}$

Выделим целую часть:

$\frac{25}{6} = 4\frac{1}{6}$

Ответ: $4\frac{1}{6}$.

Условие 2010-2022.

751 Реши примеры и расскажи, какие алгоритмы действий с рациональными числами использовались для их решения:

а) $-1,6 + \left(-\frac{2}{9}\right);$

б) $-\frac{14}{15} - (-4,35);$

в) $\frac{3}{25} - 0,78;$

г) $0,9 - 2\frac{1}{6};$

д) $-4,8 \cdot \left(-10\frac{2}{3}\right);$

е) $1\frac{1}{5} : (-0,18);$

ж) $\left|-\frac{5}{6}\right| : |-1,25|;$

з) $|-3,75| \cdot \left|-1\frac{1}{9}\right|.$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).