Страница 144, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

611 Перенеси рисунок в тетрадь и построй на глаз фигуру, симметричную данной относительно прямой $l$. Проверь правильность построения с помощью кальки.

а) $A$, $B$, $C$, $l$

б) $l$, $O$

в) $M$, $N$, $l$

а) Для построения фигуры, симметричной треугольнику $ABC$ относительно прямой $l$, необходимо найти точки $A'$, $B'$, $C'$, симметричные вершинам треугольника, и соединить их. Так как ось симметрии $l$ вертикальна, симметричные точки лежат на одной горизонтали на равном расстоянии от оси $l$. Точка $A$ находится в 2 клетках слева от $l$, значит, точка $A'$ будет в 2 клетках справа от $l$ на той же горизонтали. Точка $B$ находится в 1 клетке слева от $l$, значит, точка $B'$ будет в 1 клетке справа от $l$ на той же горизонтали. Точка $C$ находится в 2 клетках справа от $l$, значит, точка $C'$ будет в 2 клетках слева от $l$ на той же горизонтали. Соединив точки $A'$, $B'$, $C'$, получаем искомый треугольник $A'B'C'$.
Ответ: Искомая фигура — треугольник $A'B'C'$, построенный по симметричным вершинам $A'$, $B'$, $C'$.

б) Фигура, симметричная окружности, является окружностью с тем же радиусом, центр которой симметричен центру исходной окружности. Ось симметрии $l$ наклонена и проходит по диагоналям клеток. Перпендикуляр к ней также проходит по диагоналям клеток, но в другом направлении. Для нахождения центра $O'$, симметричного центру $O$, измеряем расстояние от $O$ до $l$ по перпендикуляру. Оно составляет 1.5 диагонали клетки. Откладываем такое же расстояние по другую сторону прямой $l$ вдоль того же перпендикуляра. Это соответствует смещению исходной точки $O$ на 3 клетки влево и 3 клетки вниз. Полученная точка является центром $O'$. Радиус исходной окружности равен 2 клеткам, значит, и радиус симметричной окружности будет 2 клетки. Чертим окружность с центром в $O'$ и радиусом 2 клетки.
Ответ: Искомая фигура — окружность с центром $O'$, смещенным относительно $O$ на 3 клетки влево и 3 клетки вниз, и радиусом 2 клетки.

в) Для построения отрезка, симметричного отрезку $MN$, нужно найти симметричные точки $M'$ и $N'$ и соединить их. Ось симметрии $l$ наклонена и проходит по диагоналям клеток. Перпендикуляр к ней также проходит по диагоналям в другом направлении. Для нахождения точки $M'$, симметричной точке $M$, измеряем расстояние от $M$ до $l$ по перпендикуляру. Оно равно 2.5 диагонали клетки. Откладываем такое же расстояние по другую сторону от $l$, в результате чего точка $M'$ будет смещена относительно $M$ на 5 клеток вправо и 5 клеток вниз. Аналогично, для нахождения точки $N'$, симметричной точке $N$, измеряем расстояние от $N$ до $l$, которое равно 0.5 диагонали клетки. Отложив такое же расстояние по другую сторону от $l$, получим точку $N'$, смещенную относительно $N$ на 1 клетку вправо и 1 клетку вниз. Соединяем точки $M'$ и $N'$ отрезком.
Ответ: Искомая фигура — отрезок $M'N'$, где точка $M'$ смещена относительно $M$ на 5 клеток вправо и 5 клеток вниз, а точка $N'$ смещена относительно $N$ на 1 клетку вправо и 1 клетку вниз.

611 Перенеси рисунок в тетрадь и построй на глаз фигуру, симметричную данной относительно прямой $l$. Проверь правильность построения с помощью кальки.

а) $A$, $B$, $C$, $l$

б) $O$, $l$

в) $M$, $N$, $l$

612 Является ли прямая $l$ осью симметрии данных фигур? Проверь с помощью кальки.

а) б) в) г) д)

а) Прямая является осью симметрии для двух точек, если она является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему эти точки. На рисунке прямая $l$ проходит через середину отрезка, но не перпендикулярна ему. Если согнуть плоскость по прямой $l$, то точки не совместятся. Следовательно, прямая $l$ не является осью симметрии данной фигуры.
Ответ: нет.

б) Осью симметрии для окружности является любая прямая, которая проходит через её центр (то есть любой диаметр). На рисунке прямая $l$ пересекает окружность, но не проходит через её центр. Следовательно, она не является осью симметрии. При сгибании по этой прямой части окружности не совпадут.
Ответ: нет.

в) Фигура является прямоугольником, а прямая $l$ — его диагональю. Диагональ является осью симметрии только для квадрата или ромба. У прямоугольника, не являющегося квадратом, оси симметрии проходят через середины противоположных сторон. При сгибании прямоугольника по диагонали $l$ треугольники, на которые она его делит, не совпадут.
Ответ: нет.

г) Фигура является квадратом, а прямая $l$ — его диагональю. Диагонали квадрата являются его осями симметрии. Если согнуть квадрат по диагонали $l$, то две части фигуры (два прямоугольных равнобедренных треугольника) полностью совместятся.
Ответ: да.

д) Фигура является четырехугольником произвольной формы. Чтобы прямая $l$ была осью симметрии, при сгибании по ней части фигуры по разные стороны от прямой должны полностью совпадать. На рисунке видно, что вершины и стороны четырехугольника не расположены симметрично относительно прямой $l$.
Ответ: нет.

612 Является ли прямая $l$ осью симметрии данных фигур? Проверь с помощью кальки.

а) $l$

б) $l$

в) $l$

г) $l$

д) $l$

613 Определи с помощью кальки, получена ли фигура $F_2$ из фигуры $F_1$ с помощью поворота относительно точки $O$.

a) $F_2$

$F_1$

$O$

б) $F_1$

$F_2$

$O$

в) $F_1$

$F_2$

$O$

Чтобы определить, получена ли фигура $F_2$ из фигуры $F_1$ с помощью поворота относительно точки $O$, можно воспользоваться калькой или проверить основные свойства поворота. Поворот является движением, то есть он сохраняет расстояния между точками, а значит, и размеры и форму фигуры. Фигуры $F_1$ и $F_2$ должны быть равны (конгруэнтны). Кроме того, при повороте фигуры вокруг центра $O$ каждая ее точка перемещается по окружности с центром в точке $O$. Это означает, что расстояние от центра поворота $O$ до любой точки на фигуре $F_1$ должно быть равно расстоянию от точки $O$ до соответствующей точки на фигуре $F_2$.

а)

Фигуры $F_1$ и $F_2$ представляют собой два равных треугольника. Проверим, выполняется ли свойство сохранения расстояния до центра поворота $O$. Выберем любую вершину на треугольнике $F_1$ и соответствующую ей вершину на треугольнике $F_2$. Визуально очевидно, что все точки фигуры $F_1$ расположены ближе к точке $O$, чем любая из точек фигуры $F_2$. Например, расстояние от $O$ до самой левой вершины треугольника $F_1$ заметно меньше, чем расстояние от $O$ до самой левой вершины треугольника $F_2$. Поскольку расстояния от центра поворота $O$ до соответствующих точек фигур не равны, фигура $F_2$ не может быть получена из фигуры $F_1$ поворотом относительно точки $O$. В данном случае фигура $F_2$ получена из $F_1$ параллельным переносом.

Ответ: нет.

б)

Фигуры $F_1$ и $F_2$ — это два квадрата. Поворот сохраняет размеры фигуры, то есть фигуры $F_1$ и $F_2$ должны быть равны. Однако на рисунке видно, что квадрат $F_2$ имеет большие размеры, чем квадрат $F_1$. Так как фигуры не равны, фигура $F_2$ не может быть получена из фигуры $F_1$ с помощью поворота.

Ответ: нет.

в)

Фигуры $F_1$ и $F_2$ — это два равных круга. Обозначим центры кругов $F_1$ и $F_2$ как $C_1$ и $C_2$ соответственно. Поскольку круги имеют одинаковый радиус, для того чтобы круг $F_2$ был получен поворотом круга $F_1$ вокруг точки $O$, необходимо и достаточно, чтобы его центр $C_2$ был получен поворотом центра $C_1$ вокруг точки $O$. Это, в свою очередь, означает, что центры кругов должны находиться на одинаковом расстоянии от центра поворота $O$, то есть должно выполняться равенство $|OC_1| = |OC_2|$.

Визуально оценив рисунок, можно заключить, что точка $O$ равноудалена от центров $C_1$ и $C_2$. Если мы проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным $|OC_1|$, то она пройдет через точку $C_2$. Следовательно, повернув фигуру $F_1$ вокруг точки $O$ на угол $\angle C_1OC_2$, мы совместим ее с фигурой $F_2$.

Ответ: да.

613 Определи с помощью кальки, получена ли фигура $F_2$ из фигуры $F_1$ с помощью поворота относительно точки $O$.

а) $F_1$, $F_2$, $O$

б) $F_1$, $F_2$, $O$

в) $F_1$, $F_2$, $O$

614 Укажи угол и направление поворота вокруг точки $O$, при котором фигура переходит сама в себя. Для каких фигур точка $O$ является центром симметрии?

a) б) в) г)

а) Данная фигура — равносторонний треугольник. Он обладает поворотной симметрией 3-го порядка. Фигура переходит сама в себя при повороте вокруг центра O на угол, кратный $360^\circ / 3 = 120^\circ$. Наименьший положительный угол поворота равен $120^\circ$. Направление поворота может быть как по часовой, так и против часовой стрелки. Точка O не является центром симметрии, так как поворот на $180^\circ$ не совмещает треугольник с самим собой.
Ответ: Угол поворота $120^\circ$ (а также $240^\circ$) в любом направлении; точка О не является центром симметрии.

б) Данная фигура — квадрат. Он обладает поворотной симметрией 4-го порядка. Наименьший положительный угол поворота, при котором квадрат переходит сам в себя, составляет $360^\circ / 4 = 90^\circ$. Направление поворота может быть любым. Точка O является центром симметрии, поскольку поворот на $180^\circ$ ($2 \cdot 90^\circ$) совмещает фигуру с самой собой.
Ответ: Угол поворота $90^\circ$ (а также $180^\circ, 270^\circ$) в любом направлении; точка О является центром симметрии.

в) Данная фигура — правильный шестиугольник. Он обладает поворотной симметрией 6-го порядка. Наименьший положительный угол поворота, при котором шестиугольник переходит сам в себя, составляет $360^\circ / 6 = 60^\circ$. Направление поворота может быть любым. Точка O является центром симметрии, так как поворот на $180^\circ$ ($3 \cdot 60^\circ$) совмещает фигуру с самой собой.
Ответ: Угол поворота $60^\circ$ (а также кратные ему $120^\circ, 180^\circ, 240^\circ, 300^\circ$) в любом направлении; точка О является центром симметрии.

г) Данная фигура — круг. Круг переходит сам в себя при повороте вокруг своего центра O на любой угол. Направление поворота также может быть любым. Точка O является центром симметрии, так как поворот на $180^\circ$ (как и на любой другой угол) совмещает круг с самим собой.
Ответ: Любой угол поворота в любом направлении; точка О является центром симметрии.

614 Укажи угол и направление поворота вокруг точки $O$, при котором фигура переходит сама в себя. Для каких фигур точка $O$ является центром симметрии?

а) б) в) г)