Страница 137, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

584 Построй треугольник $ABC$, используя линейку с делениями и транспортир, если:

а) $AB = 5 \text{ см}$, $BC = 3,5 \text{ см}$, $\angle B = 76^\circ$;

б) $AC = 4 \text{ см}$, $\angle A = 32^\circ$, $\angle B = 58^\circ$;

в) $AB = 6 \text{ см}$, $\angle A = 47^\circ$;

г) $BC = 3 \text{ см}$, $\angle B = 110^\circ$, $\angle C = 24^\circ$.

Какие из приведённых задач имеют единственное решение?

а) Для построения треугольника $ABC$ по двум сторонам $AB = 5$ см, $BC = 3,5$ см и углу между ними $\angle B = 76^\circ$ (построение по двум сторонам и углу между ними), нужно выполнить следующие шаги:
1. С помощью линейки начертить отрезок $AB$ длиной 5 см.
2. С помощью транспортира отложить от луча $BA$ угол, равный $76^\circ$, с вершиной в точке $B$.
3. На построенном луче отложить от точки $B$ отрезок $BC$ длиной 3,5 см.
4. Соединить точки $A$ и $C$ отрезком.
Полученный треугольник $ABC$ будет искомым. Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), любой другой треугольник, построенный по этим же данным, будет равен данному. Следовательно, задача имеет единственное решение.
Ответ: задача имеет единственное решение.

б) Для построения треугольника $ABC$ по стороне $AC = 4$ см и двум углам $\angle A = 32^\circ$ и $\angle B = 58^\circ$ (построение по стороне и двум углам). Сначала найдем третий угол $\angle C$, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (32^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Теперь задача сводится к построению треугольника по стороне $AC$ и двум прилежащим к ней углам $\angle A$ и $\angle C$.
Построение:
1. С помощью линейки начертить отрезок $AC$ длиной 4 см.
2. От луча $AC$ с помощью транспортира отложить угол, равный $32^\circ$, с вершиной в точке $A$.
3. От луча $CA$ с помощью транспортира отложить угол, равный $90^\circ$, с вершиной в точке $C$.
4. Точка пересечения построенных лучей будет вершиной $B$.
Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), задача имеет единственное решение.
Ответ: задача имеет единственное решение.

в) Даны две стороны $AB = 6$ см, $BC = 3$ см и угол $\angle A = 47^\circ$, который не является углом между этими сторонами. Попробуем построить треугольник.
1. Начертим отрезок $AB$ длиной 6 см.
2. От луча $AB$ отложим угол $\angle A = 47^\circ$. Получим луч, на котором должна лежать вершина $C$.
3. Вершина $C$ должна находиться на расстоянии 3 см от точки $B$. Это означает, что точка $C$ лежит на окружности с центром в точке $B$ и радиусом $BC = 3$ см.
Для существования треугольника необходимо, чтобы эта окружность пересекла луч, построенный в шаге 2. Найдем кратчайшее расстояние (длину высоты $h$, опущенной из точки $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$). Это расстояние равно $h = AB \cdot \sin(\angle A) = 6 \cdot \sin(47^\circ)$.
Поскольку $\sin(47^\circ) \approx 0,731$, то $h \approx 6 \cdot 0,731 = 4,386$ см.
Так как длина стороны $BC = 3$ см меньше, чем расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ ($3 < 4,386$), то окружность с центром в $B$ и радиусом 3 см не пересечет луч, выходящий из точки $A$. Следовательно, построить такой треугольник невозможно.
Ответ: задача не имеет решения.

г) Для построения треугольника $ABC$ по стороне $BC = 3$ см и двум прилежащим к ней углам $\angle B = 110^\circ$ и $\angle C = 24^\circ$ (построение по стороне и двум прилежащим углам).
Проверим, может ли такой треугольник существовать. Сумма двух данных углов $\angle B + \angle C = 110^\circ + 24^\circ = 134^\circ$. Так как $134^\circ < 180^\circ$, треугольник существует.
Построение:
1. С помощью линейки начертить отрезок $BC$ длиной 3 см.
2. От луча $BC$ с помощью транспортира отложить угол, равный $110^\circ$, с вершиной в точке $B$.
3. От луча $CB$ с помощью транспортира отложить угол, равный $24^\circ$, с вершиной в точке $C$.
4. Точка пересечения построенных лучей будет вершиной $A$.
Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), задача имеет единственное решение.
Ответ: задача имеет единственное решение.

Какие из приведённых задач имеют единственное решение?
Единственное решение имеют задачи, которые соответствуют признакам равенства треугольников и для которых выполняются необходимые условия существования треугольника.
- Задача а) (по двум сторонам и углу между ними) имеет единственное решение.
- Задача б) (по стороне и двум углам) имеет единственное решение.
- Задача в) не имеет решения.
- Задача г) (по стороне и двум прилежащим углам) имеет единственное решение.
Ответ: задачи а), б), г) имеют единственное решение.

584 Построй треугольник ABC, используя линейку с делениями и транспортир, если:

а) $AB = 5$ см, $BC = 3,5$ см, $\angle B = 76^\circ$;

б) $AC = 4$ см, $\angle A = 32^\circ$, $\angle B = 58^\circ$;

в) $AB = 6$ см, $\angle A = 47^\circ$;

г) $BC = 3$ см, $\angle B = 110^\circ$, $\angle C = 24^\circ$.

Какие из приведенных задач имеют единственное решение?

585 По рис. 101 объясни способ деления окружности на 5 равных частей с помощью транспортира. Раздели тем же способом окружность:

а) на 6 равных частей;

б) на 9 равных частей.

Рис. 101

Рис. 102

На рис. 101 показан способ деления окружности на 5 равных частей с помощью транспортира. Полный угол окружности составляет $360^\circ$. Чтобы разделить окружность на 5 равных частей, нужно найти величину центрального угла для каждой части. Для этого полный угол делят на количество частей:

$360^\circ : 5 = 72^\circ$

Алгоритм деления следующий:

1. Начертить окружность и отметить ее центр.
2. Провести произвольный радиус из центра к любой точке на окружности.
3. Приложить транспортир к центру окружности так, чтобы его нулевая отметка совпала с проведенным радиусом.
4. Отмерить угол $72^\circ$ и поставить точку на окружности.
5. Провести новый радиус из центра к этой точке.
6. Повторять шаги 3-5, каждый раз откладывая угол $72^\circ$ от предыдущего построенного радиуса, пока окружность не будет разделена на 5 равных секторов.

Разделим окружность на 6 и 9 равных частей, используя тот же способ.

а) Чтобы разделить окружность на 6 равных частей, нужно найти величину центрального угла для каждой части. Для этого делим $360^\circ$ на 6:

$360^\circ : 6 = 60^\circ$

Следовательно, нужно последовательно откладывать с помощью транспортира углы по $60^\circ$ от центра окружности. Ответ: для деления окружности на 6 равных частей нужно откладывать углы по $60^\circ$.

б) Чтобы разделить окружность на 9 равных частей, нужно найти величину центрального угла для каждой части. Для этого делим $360^\circ$ на 9:

$360^\circ : 9 = 40^\circ$

Следовательно, нужно последовательно откладывать с помощью транспортира углы по $40^\circ$ от центра окружности. Ответ: для деления окружности на 9 равных частей нужно откладывать углы по $40^\circ$.

585 По рис. 101 объясни способ деления окружности на 5 равных частей с помощью транспортира. Раздели тем же способом окружность:

а) на 6 равных частей;

б) на 9 равных частей.

Рис. 101

Рис. 102

чтение

прогулка

спорт

теле-передачи

586 a) Ученикам 6 «А» класса был задан вопрос: «Какое из следующих занятий тебе нравится больше всего: чтение, спорт, прогулка, просмотр телевизионных передач?» При этом каждый выбирал только одно из этих занятий. Проанализируй результаты опроса с помощью круговой диаграммы (рис. 102). Измерь транспортиром углы секторов диаграммы и определи, сколько человек выбрали каждый ответ, если в 6 «А» всего 24 учащихся.

б) Тот же вопрос в 6 «Б» классе дал следующие результаты:

№ Выбранный ответ Число учащихся

1 чтение 9

2 спорт 8

3 прогулка 6

4 телевизор 7

Построй круговую диаграмму и сравни вкусы учащихся обоих классов.

в) Проведи в своём классе аналогичный опрос, построй круговую диаграмму и проанализируй полученные результаты.

Рис. 102

а)

Для решения этой задачи необходимо сначала измерить углы секторов на круговой диаграмме (рис. 102), а затем, зная общее количество учащихся (24 человека), рассчитать, сколько человек соответствует каждому сектору.

Полный круг составляет $360^\circ$. В классе 24 учащихся. Следовательно, на одного учащегося приходится $360^\circ / 24 = 15^\circ$.

Измерим углы секторов транспортиром (или оценим их по виду):

• Сектор "чтение" представляет собой прямой угол, его величина $90^\circ$.
• Сектор "спорт" также является прямым углом, его величина $90^\circ$.
• Сектор "прогулка" является тупым углом, его величина примерно $120^\circ$.
• Сектор "телепередачи" является острым углом, его величина примерно $60^\circ$.

Проверим сумму углов: $90^\circ + 90^\circ + 120^\circ + 60^\circ = 360^\circ$. Измерения верны.

Теперь рассчитаем количество учеников для каждого занятия:

• Чтение: $90^\circ / 15^\circ \text{ на человека} = 6$ учащихся.
• Спорт: $90^\circ / 15^\circ \text{ на человека} = 6$ учащихся.
• Прогулка: $120^\circ / 15^\circ \text{ на человека} = 8$ учащихся.
• Телепередачи: $60^\circ / 15^\circ \text{ на человека} = 4$ учащихся.

Проверим общее количество учащихся: $6 + 6 + 8 + 4 = 24$. Расчеты верны.

Ответ: чтение выбрали 6 учащихся, спорт – 6 учащихся, прогулку – 8 учащихся, просмотр телепередач – 4 учащихся.

б)

Сначала найдем общее количество учащихся в 6 «Б» классе:

$9 + 8 + 6 + 7 = 30$ учащихся.

Теперь, чтобы построить круговую диаграмму, нужно рассчитать, какой центральный угол соответствует каждому виду занятий. Весь круг – это $360^\circ$.

• Чтение: $\frac{9}{30} \times 360^\circ = \frac{3}{10} \times 360^\circ = 3 \times 36^\circ = 108^\circ$.
• Спорт: $\frac{8}{30} \times 360^\circ = \frac{4}{15} \times 360^\circ = 4 \times 24^\circ = 96^\circ$.
• Прогулка: $\frac{6}{30} \times 360^\circ = \frac{1}{5} \times 360^\circ = 72^\circ$.
• Телевизор: $\frac{7}{30} \times 360^\circ = 7 \times 12^\circ = 84^\circ$.

Проверка: $108^\circ + 96^\circ + 72^\circ + 84^\circ = 360^\circ$.

Для построения диаграммы нужно начертить окружность и с помощью транспортира отложить секторы с вычисленными углами.

Сравнение вкусов учащихся 6 «А» и 6 «Б» классов:

• В 6 «А» классе самое популярное занятие – прогулка (8 из 24, или $1/3$ класса), а в 6 «Б» – чтение (9 из 30, или $3/10$ класса).
• В 6 «А» классе наименее популярное занятие – просмотр телепередач (4 из 24, или $1/6$ класса), а в 6 «Б» – прогулка (6 из 30, или $1/5$ класса).
• Чтение и спорт более популярны в 6 «Б» классе (9 и 8 человек соответственно) по сравнению с 6 «А» (по 6 человек).
• Прогулка, наоборот, значительно популярнее в 6 «А» (8 человек) чем в 6 «Б» (6 человек).

Вывод: вкусы учащихся двух классов заметно различаются. В 6 «А» больше любят гулять, а в 6 «Б» – читать.

Ответ: Для построения диаграммы для 6 «Б» класса нужно использовать углы: чтение – $108^\circ$, спорт – $96^\circ$, прогулка – $72^\circ$, телевизор – $84^\circ$. В 6 «А» самое популярное занятие – прогулка, а в 6 «Б» – чтение.

в)

Данное задание предполагает выполнение практической работы. Чтобы его выполнить, необходимо следовать алгоритму:

1. Провести опрос среди своих одноклассников, задав им тот же вопрос: «Какое из следующих занятий тебе нравится больше всего: чтение, спорт, прогулка, просмотр телевизионных передач?». Важно, чтобы каждый выбрал только один вариант ответа.
2. Записать результаты опроса в таблицу, подсчитав, сколько человек выбрало каждый из вариантов.
3. Найти общее количество опрошенных учеников в классе.
4. Для каждого варианта ответа рассчитать соответствующий ему угол на круговой диаграмме по формуле:
   $Угол = \frac{\text{Количество выбравших вариант}}{\text{Общее количество учеников}} \times 360^\circ$
5. Начертить окружность и с помощью транспортира построить секторы, соответствующие вычисленным углам. Подписать каждый сектор.
6. Проанализировать полученные результаты: определить самое популярное и самое непопулярное занятие в классе, сравнить предпочтения своего класса с предпочтениями учеников 6 «А» и 6 «Б» из задачи.

Ответ: Для выполнения этого задания необходимо провести опрос в своем классе и на основе его результатов построить и проанализировать круговую диаграмму, следуя приведенному выше плану.

586 a) Ученикам 6 «А» класса был задан вопрос: «Какое из следующих занятий тебе нравится больше всего: чтение, спорт, прогулка, просмотр телевизионных передач?» При этом каждый выбирал только одно из этих занятий. Проанализируй результаты опроса с помощью круговой диаграммы (рис. 102). Измерь транспортиром углы секторов диаграммы и определи, сколько человек выбрали каждый ответ, если в 6 «А» всего 24 учащихся.

б) Тот же вопрос в 6 «Б» классе дал следующие результаты:

Построй круговую диаграмму и сравни вкусы учащихся обоих классов.

в) Проведи в твоем классе аналогичный опрос, построй круговую диаграмму и проанализируй полученные результаты.

587 Перенеси рис. 103 в тетрадь. Построй без транспортира, используя клеточки, угол в $90^\circ$, одной из сторон которого является:

а) луч $AB$;

б) луч $CD$.

Рис. 103

а) луч AB;

Для построения угла в $90^\circ$ с одной стороной в виде луча AB, необходимо провести к нему перпендикулярный луч. Вершиной угла может быть любая точка луча AB, например, точка B.
Чтобы построить перпендикулярный луч, воспользуемся клеточками. Заметим, что луч AB проходит через узлы сетки таким образом, что для перемещения от одной точки на луче к другой мы смещаемся на определенное количество клеток по горизонтали и по вертикали. Например, от точки A до точки B смещение составляет 2 клетки вправо и 2 клетки вверх. Это эквивалентно смещению "1 клетка вправо, 1 клетка вверх".
Чтобы получить направление, перпендикулярное исходному, нужно поменять местами смещения по горизонтали и вертикали и изменить направление одного из них. Исходное смещение было (1 вправо, 1 вверх). Перпендикулярное смещение будет (1 вправо, 1 вниз) или (1 влево, 1 вверх).
Отложим от точки B луч в перпендикулярном направлении. Для этого от точки B сместимся на 1 клетку вправо и 1 клетку вниз и поставим новую точку, назовем ее K. Проведем луч BK. Угол ABK будет прямым.
Математически это можно обосновать через угловые коэффициенты. Угловой коэффициент луча AB равен $k_{AB} = \frac{2}{2} = 1$. Угловой коэффициент перпендикулярного луча должен быть равен $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{AB}} = -1$. Смещение на 1 клетку вправо и 1 клетку вниз как раз соответствует угловому коэффициенту, равному -1.
Ответ: Необходимо из точки B провести луч через точку, расположенную на 1 клетку вправо и 1 клетку вниз от точки B.

б) луч CD.

Для построения угла в $90^\circ$ с одной стороной в виде луча CD, проведем к нему перпендикулярный луч из точки C.
Определим направление луча CD по клеточкам. Двигаясь вдоль луча от точки C, мы смещаемся на 2 клетки вправо и 1 клетку вниз, чтобы попасть в следующую узловую точку сетки (пусть это будет точка E с координатами (7, 2), если принять C за (5, 3)).
Чтобы получить перпендикулярное направление, поменяем смещения местами и изменим направление одного из них. Исходное смещение: (2 вправо, 1 вниз). Перпендикулярное смещение: (1 вправо, 2 вверх) или (1 влево, 2 вниз).
Построим вторую сторону угла. От точки C сместимся на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх и поставим новую точку, назовем ее M. Проведем луч CM. Угол MCD будет равен $90^\circ$.
Проверим с помощью угловых коэффициентов. Угловой коэффициент луча CD равен $k_{CD} = \frac{-1}{2}$. Угловой коэффициент перпендикулярного луча должен быть $k_{\perp} = -\frac{1}{k_{CD}} = -\frac{1}{-1/2} = 2$. Смещение на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх соответствует угловому коэффициенту, равному 2.
Ответ: Необходимо из точки С провести луч через точку, расположенную на 1 клетку вправо и 2 клетки вверх от точки С.

587 Перенеси рис. 103 в тетрадь. Построй без транспортира, используя клеточки, угол в $90^\circ$, одной из сторон которого является:

а) луч $AB$;

б) луч $CD$.

Рис. 103

588 Сколько градусов содержит угол между часовой и минутной стрелками часов в 3 ч, 6 ч, 8 ч, 10 ч, 11 ч, 14 ч 30 мин?

Для решения задачи определим угловые скорости движения часовой и минутной стрелок. Полный оборот стрелок по циферблату составляет $360°$.

Минутная стрелка совершает полный оборот за 60 минут. Следовательно, её скорость равна $360° / 60 \text{ мин} = 6°$ в минуту.

Часовая стрелка совершает полный оборот за 12 часов (что составляет $12 \times 60 = 720$ минут). Следовательно, её скорость равна $360° / 12 \text{ ч} = 30°$ в час, или $360° / 720 \text{ мин} = 0.5°$ в минуту.

Угол между стрелками можно найти, рассчитав положение каждой стрелки относительно 12-часовой отметки и найдя разность. Положение минутной стрелки (M минут): $\alpha_{мин} = 6 \times M$. Положение часовой стрелки (H часов M минут): $\alpha_{час} = 30 \times H + 0.5 \times M$. Искомый угол $\alpha = |\alpha_{час} - \alpha_{мин}|$. При этом, если угол получается больше $180°$, то правильным ответом будет меньший из двух смежных углов, то есть $360° - \alpha$.

3 ч

В 3:00 минутная стрелка указывает на 12 (угол $0°$), а часовая — ровно на 3. Циферблат разделён на 12 секторов, каждый по $360° / 12 = 30°$. Между стрелками 3 таких сектора.

Угол составляет $3 \times 30° = 90°$.

Ответ: $90°$.

6 ч

В 6:00 минутная стрелка указывает на 12 (угол $0°$), а часовая — ровно на 6. Стрелки направлены в противоположные стороны. Между ними 6 секторов.

Угол составляет $6 \times 30° = 180°$.

Ответ: $180°$.

8 ч

В 8:00 минутная стрелка на 12, а часовая — на 8. Кратчайшее расстояние по дуге между ними составляет 4 сектора (от 8 до 9, 9 до 10, 10 до 11, 11 до 12).

Угол составляет $4 \times 30° = 120°$.

Ответ: $120°$.

10 ч

В 10:00 минутная стрелка на 12, а часовая — на 10. Кратчайшее расстояние по дуге между ними составляет 2 сектора (от 10 до 11, 11 до 12).

Угол составляет $2 \times 30° = 60°$.

Ответ: $60°$.

11 ч

В 11:00 минутная стрелка на 12, а часовая — на 11. Кратчайшее расстояние по дуге между ними составляет 1 сектор.

Угол составляет $1 \times 30° = 30°$.

Ответ: $30°$.

14 ч 30 мин

Время 14:30 на 12-часовом циферблате соответствует 2:30.

Положение минутной стрелки: в 30 минут она указывает на цифру 6. Её угол от 12-часовой отметки составляет $30 \text{ мин} \times 6°/\text{мин} = 180°$.

Положение часовой стрелки: в 2:30 она находится между цифрами 2 и 3. За 2 часа она прошла $2 \times 30° = 60°$. За 30 минут она прошла ещё $30 \text{ мин} \times 0.5°/\text{мин} = 15°$. Суммарный угол часовой стрелки от 12-часовой отметки: $60° + 15° = 75°$.

Угол между стрелками равен модулю разности их положений: $|180° - 75°| = 105°$.

Ответ: $105°$.

588 Сколько градусов содержит угол между часовой и минутной стрелками часов в 3 ч, 6 ч, 8 ч, 10 ч, 11 ч, 14 ч 30 мин?