Страница 132, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

565 Перепиши в тетрадь равенства, вставляя вместо звёздочек пропущенные цифры:

а) $\frac{5}{6} + 1 \frac{\ast}{15} = 2 \frac{25}{\ast} + \frac{8}{30} = 3 \frac{\ast + 8}{30} = 3 \frac{\ast\ast}{30} = 4 \frac{3}{\ast} = 4 \frac{\ast}{10} = \ast,1;$

б) $\frac{4}{25} : \frac{1}{15} = \frac{\ast \cdot 15}{25 \cdot \ast} = \frac{4 \cdot \ast}{\ast \cdot 1} = \frac{12}{5} = 2 \frac{\ast}{5} = 2, \ast.$

а)

Для решения данной цепочки равенств будем двигаться с конца к началу, так как в конце дано больше информации. Все выражения в цепочке равны одному и тому же значению.

1. Последнее равенство: $4\frac{*}{10} = *,1$. Это переход от смешанного числа к десятичной дроби. Чтобы в десятичной дроби была одна цифра после запятой, знаменатель должен быть 10. Целая часть равна 4, а числитель дроби становится цифрой после запятой. Таким образом, $4\frac{1}{10} = 4,1$.

2. Предпоследнее равенство: $4\frac{3}{*} = 4\frac{1}{10}$. Целые части равны, значит, должны быть равны и дробные части: $\frac{3}{*} = \frac{1}{10}$. Дробь $\frac{1}{10}$ получена сокращением дроби $\frac{3}{*}$. Чтобы из числителя 3 получить 1, нужно разделить на 3. Значит, и знаменатель разделили на 3. Неизвестный знаменатель равен $10 \cdot 3 = 30$. Проверяем: $\frac{3}{30} = \frac{1}{10}$. Верно. Значит, число — $4\frac{3}{30}$.

3. Равенство $3\frac{**}{30} = 4\frac{3}{30}$. Чтобы из $3$ целых получить $4$ целых, нужно, чтобы дробная часть была неправильной и содержала в себе одну целую. $4\frac{3}{30} = 3 + 1\frac{3}{30} = 3 + \frac{30}{30} + \frac{3}{30} = 3\frac{33}{30}$. Значит, двузначное число в числителе — это 33.

4. Равенство $3\frac{*+8}{30} = 3\frac{33}{30}$. Приравниваем числители: $*+8=33$. Отсюда находим неизвестную цифру: $* = 33 - 8 = 25$. Так как 25 — это число, а не цифра, скорее всего, под звездочкой имелось в виду число.

5. Первое выражение — это сумма $* \frac{5}{6} + 1 \frac{*}{15}$. Её значение должно быть равно $4\frac{3}{30}$. Пусть неизвестные цифры — $x$ и $y$. $x\frac{5}{6} + 1\frac{y}{15} = 4\frac{3}{30}$. Приведем дроби к общему знаменателю 30: $x\frac{5 \cdot 5}{6 \cdot 5} + 1\frac{y \cdot 2}{15 \cdot 2} = 4\frac{3}{30}$
$x\frac{25}{30} + 1\frac{2y}{30} = 4\frac{3}{30}$
Сложим целые и дробные части: $(x+1) + \frac{25+2y}{30} = 4\frac{3}{30}$. Из предыдущих шагов мы знаем, что дробная часть должна быть $\frac{33}{30}$, чтобы после выделения целой части получилось $1\frac{3}{30}$. Значит, $25+2y=33$. Отсюда $2y = 8$, и $y=4$. Теперь разберемся с целой частью. Сумма целых частей $x+1$ плюс $1$, которую мы получили из дробной части, должна быть равна 4. $x+1+1 = 4 \implies x+2=4 \implies x=2$. Итак, первая сумма: $2\frac{5}{6} + 1\frac{4}{15}$.

6. Рассмотрим выражение $2 \frac{25}{*} + \frac{8}{30}$. Оно также должно быть равно $4\frac{3}{30}$. $2 \frac{25}{*} + \frac{8}{30} = 4\frac{3}{30}$. $2 + \frac{25}{*} + \frac{8}{30} = 4 + \frac{3}{30}$. $\frac{25}{*} = 4 - 2 + \frac{3}{30} - \frac{8}{30} = 2 - \frac{5}{30} = 2 - \frac{1}{6} = \frac{12}{6} - \frac{1}{6} = \frac{11}{6}$. Получаем уравнение $\frac{25}{*} = \frac{11}{6}$, из которого $* = \frac{25 \cdot 6}{11} = \frac{150}{11}$. Это не целое число, значит, в этом месте в условии задачи, скорее всего, опечатка. Если предположить, что имелось в виду выражение $3\frac{25}{30} + \frac{8}{30}$, то его значение $3\frac{33}{30} = 4\frac{3}{30}$, что соответствует остальным частям равенства.

Восстановленная цепочка равенств (игнорируя часть с опечаткой):
$2\frac{5}{6}+1\frac{4}{15} = 3\frac{25+8}{30}=3\frac{33}{30}=4\frac{3}{30}=4\frac{1}{10}=4,1$

Ответ: $2\frac{5}{6}+1\frac{4}{15}=2\frac{25}{30}+1\frac{8}{30}=3\frac{25+8}{30}=3\frac{33}{30}=4\frac{3}{30}=4\frac{1}{10}=4,1$. (В условии, вероятно, опечатка, и вместо $2\frac{25}{*}+\frac{8}{30}$ должно быть либо значение $4\frac{3}{30}$, либо другая сумма, например, $3\frac{25}{30}+\frac{8}{30}$).

б)

Решим данную цепочку равенств по шагам.

1. Исходное выражение: $\frac{4}{25}:\frac{1}{15}$. Деление на дробь заменяется умножением на обратную дробь: $\frac{4}{25} \cdot \frac{15}{1}$.

2. Следующее выражение: $\frac{*}{25}\cdot\frac{15}{*}$. Сравнивая с предыдущим шагом, видим, что первая звездочка в числителе — это 4, а вторая в знаменателе — это 1. Получаем: $\frac{4}{25} \cdot \frac{15}{1}$.

3. Далее идет перемножение дробей: $\frac{4\cdot*}{*\cdot1}$. Это результат перемножения числителей и знаменателей из предыдущего шага: $\frac{4 \cdot 15}{25 \cdot 1}$. Значит, первая звездочка — 15, вторая — 25.

4. Выполняем умножение и сокращение: $\frac{4 \cdot 15}{25 \cdot 1} = \frac{60}{25}$. Сокращаем дробь на 5: $\frac{60:5}{25:5} = \frac{12}{5}$. Это совпадает со следующим выражением в цепочке.

5. Преобразуем неправильную дробь $\frac{12}{5}$ в смешанное число: $12:5 = 2$ (остаток 2). Получаем $2\frac{2}{5}$. Значит, звездочка в выражении $2\frac{*}{5}$ равна 2.

6. Преобразуем смешанное число $2\frac{2}{5}$ в десятичную дробь. Для этого приведем дробную часть к знаменателю 10: $2\frac{2}{5} = 2\frac{2 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 2\frac{4}{10} = 2,4$. Значит, звездочка в выражении $2,*$ равна 4.

Восстановленная цепочка равенств:

$\frac{4}{25}:\frac{1}{15}=\frac{4}{25}\cdot\frac{15}{1}=\frac{4\cdot15}{25\cdot1}=\frac{12}{5}=2\frac{2}{5}=2,4$

Ответ: $\frac{4}{25}:\frac{1}{15}=\frac{4}{25}\cdot\frac{15}{1}=\frac{4\cdot15}{25\cdot1}=\frac{12}{5}=2\frac{2}{5}=2,4$.

565 Перепиши в тетрадь равенства, вставляя вместо звездочек пропущенные цифры:

а) $*\frac{5}{6} + 1\frac{*}{15} = 2\frac{25}{*} + \frac{8}{30} = 3\frac{*+8}{30} = 3\frac{*}{30} = 4\frac{3}{*} = 4\frac{*}{10} = *,1;$

б) $\frac{4}{25} : 1\frac{1}{15} = \frac{*\cdot 15}{25 \cdot *} = \frac{4 \cdot *}{* \cdot 1} = \frac{12}{5} = 2\frac{*}{5} = 2,*.$

566 a) Чему равна площадь циферблата часов, если его радиус составляет 4,5 см? Ответ округли до целых $(\pi \approx 3,14)$.

b) Колесо на расстоянии 1 км сделало 400 оборотов. Найди диаметр колеса с точностью до сотых $(\pi \approx 3,142)$.

а)

Площадь циферблата часов, который имеет форму круга, вычисляется по формуле площади круга: $S = \pi r^2$, где $S$ – площадь, $r$ – радиус.
По условию задачи, радиус $r = 4,5$ см, а число $\pi \approx 3,14$.
Подставим эти значения в формулу:
$S = 3,14 \cdot (4,5)^2 = 3,14 \cdot 20,25$
$S = 63,585$ см$^2$.
Теперь округлим полученный результат до целых:
$63,585 \approx 64$ см$^2$.
Ответ: 64 см$^2$.

б)

За один оборот колесо проходит расстояние, равное длине его окружности ($C$). Чтобы найти длину окружности, нужно общее расстояние ($S$) разделить на количество оборотов ($N$).
Переведем расстояние из километров в метры: $S = 1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$.
Количество оборотов $N = 400$.
Найдем длину окружности колеса:
$C = S / N = 1000 \text{ м} / 400 = 2,5 \text{ м}$.
Длина окружности также вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ – диаметр колеса. По условию $\pi \approx 3,142$.
Выразим из этой формулы диаметр: $d = C / \pi$.
Подставим известные значения:
$d = 2,5 \text{ м} / 3,142 \approx 0,79567154... \text{ м}$.
Округлим результат с точностью до сотых:
$d \approx 0,80 \text{ м}$.
Ответ: 0,80 м.

566 a) Чему равна площадь циферблата часов, если его радиус составляет 4,5 см?

Ответ округли до целых ($ \pi \approx 3,14 $).

б) Колесо на расстоянии 1 км сделало 400 оборотов. Найди диаметр колеса с точностью до сотых ($ \pi \approx 3,142 $).

567 Реши уравнение:

a) $2 \frac{5}{8} - (4 \frac{3}{16} - y) = -1 \frac{1}{4};$

б) $1 \frac{7}{20} - (x + 1 \frac{7}{12}) = 2 \frac{4}{15};$

в) $\frac{2 - x}{3} - \frac{6 - x}{2} = 0;$

г) $3 - \frac{x - 3}{5} = \frac{x}{4}.$

а) $2\frac{5}{8} - (4\frac{3}{16} - y) = -1\frac{1}{4}$
Это уравнение, в котором выражение в скобках является вычитаемым. Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$4\frac{3}{16} - y = 2\frac{5}{8} - (-1\frac{1}{4})$
$4\frac{3}{16} - y = 2\frac{5}{8} + 1\frac{1}{4}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю 8:
$4\frac{3}{16} - y = 2\frac{5}{8} + 1\frac{2}{8}$
$4\frac{3}{16} - y = 3\frac{7}{8}$
Теперь $y$ является вычитаемым. Чтобы найти $y$, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
$y = 4\frac{3}{16} - 3\frac{7}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю 16:
$y = 4\frac{3}{16} - 3\frac{14}{16}$
Чтобы вычесть дроби, "займем" единицу у целой части уменьшаемого:
$y = 3\frac{16+3}{16} - 3\frac{14}{16} = 3\frac{19}{16} - 3\frac{14}{16}$
$y = \frac{19-14}{16} = \frac{5}{16}$
Ответ: $y = \frac{5}{16}$

б) $1\frac{7}{20} - (x + 1\frac{7}{12}) = 2\frac{4}{15}$
Выражение в скобках является вычитаемым. Найдем его.
$x + 1\frac{7}{12} = 1\frac{7}{20} - 2\frac{4}{15}$
Приведем дроби в правой части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для 20 и 15 равно 60.
$x + 1\frac{7}{12} = 1\frac{7 \cdot 3}{20 \cdot 3} - 2\frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4}$
$x + 1\frac{7}{12} = 1\frac{21}{60} - 2\frac{16}{60}$
$x + 1\frac{7}{12} = -(2\frac{16}{60} - 1\frac{21}{60}) = -(1\frac{60+16}{60} - 1\frac{21}{60}) = -(1\frac{76}{60} - 1\frac{21}{60}) = -\frac{55}{60}$
Сократим дробь: $-\frac{55}{60} = -\frac{11}{12}$
$x + 1\frac{7}{12} = -\frac{11}{12}$
Теперь найдем $x$, который является слагаемым.
$x = -\frac{11}{12} - 1\frac{7}{12}$
$x = -\frac{11}{12} - \frac{19}{12} = \frac{-11-19}{12} = -\frac{30}{12}$
Сократим дробь на 6:
$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$
Ответ: $x = -2\frac{1}{2}$

в) $\frac{2-x}{3} - \frac{6-x}{2} = 0$
Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения, изменив знак.
$\frac{2-x}{3} = \frac{6-x}{2}$
Получили пропорцию. Воспользуемся основным свойством пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних).
$2 \cdot (2-x) = 3 \cdot (6-x)$
Раскроем скобки:
$4 - 2x = 18 - 3x$
Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а числа — в правой.
$3x - 2x = 18 - 4$
$x = 14$
Ответ: $x = 14$

г) $3 - \frac{x-3}{5} = \frac{x}{4}$
Чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей 5 и 4, то есть на 20.
$20 \cdot 3 - 20 \cdot \frac{x-3}{5} = 20 \cdot \frac{x}{4}$
$60 - 4(x-3) = 5x$
Раскроем скобки в левой части.
$60 - 4x + 12 = 5x$
Приведем подобные слагаемые.
$72 - 4x = 5x$
Перенесем слагаемое с $x$ в правую часть.
$72 = 5x + 4x$
$72 = 9x$
Найдем $x$.
$x = \frac{72}{9}$
$x = 8$
Ответ: $x = 8$

567 Реши уравнения:

а) $2\frac{5}{8} - (4\frac{3}{16} - y) = -1\frac{1}{4}$;

б) $1\frac{7}{20} - (x + 1\frac{7}{12}) = 2\frac{4}{15}$;

в) $\frac{2 - x}{3} - \frac{6 - x}{2} = 0$;

г) $3 - \frac{x - 3}{5} = \frac{x}{4}$.

C 568* Найди площади закрашенных треугольников.

a) б) в)

а) Закрашенный треугольник является прямоугольным. Его катеты, которые можно принять за основание и высоту, равны 5 единицам (клеткам). Площадь треугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$, где $a$ – основание, а $h$ – высота. Подставим значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 = \frac{25}{2} = 12,5$ квадратных единиц. Ответ: 12,5 кв. ед.

б) Примем за основание ($a$) горизонтальную сторону треугольника. Её длина равна 6 единицам. Высота ($h$), проведённая к этому основанию из верхней вершины, равна 4 единицам. Вычислим площадь по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h$. Подставим значения: $S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = \frac{24}{2} = 12$ квадратных единиц. Ответ: 12 кв. ед.

в) Для нахождения площади этого треугольника удобно использовать метод вычитания из площади прямоугольника. Опишем вокруг треугольника прямоугольник так, чтобы его стороны были параллельны линиям сетки. Размеры этого прямоугольника составят 5 единиц в ширину и 4 единицы в высоту. Его площадь равна $S_{прям} = 5 \cdot 4 = 20$ квадратных единиц. Площадь искомого треугольника равна площади прямоугольника за вычетом площадей трёх прямоугольных треугольников, расположенных по углам.
1. Площадь нижнего треугольника с катетами 5 и 1: $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 1 = 2,5$ кв. ед.
2. Площадь верхнего правого треугольника с катетами 2 и 3: $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 = 3$ кв. ед.
3. Площадь верхнего левого треугольника с катетами 3 и 4: $S_3 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ кв. ед.
Сумма их площадей: $S_1 + S_2 + S_3 = 2,5 + 3 + 6 = 11,5$ кв. ед.
Площадь закрашенного треугольника: $S = S_{прям} - (S_1 + S_2 + S_3) = 20 - 11,5 = 8,5$ квадратных единиц. Ответ: 8,5 кв. ед.

C 568 Найди площади закрашенных треугольников:

569 Перерисуй треугольники в тетрадь. Вычисли их площади, достраивая до прямоугольников.

a) б) в)

Чтобы найти площадь каждого треугольника, достроим его до прямоугольника. Затем из площади прямоугольника вычтем площади "лишних" прямоугольных треугольников, которые образовались по углам. Площадь одной клетки примем за 1 квадратную единицу (кв. ед.).

а)

1. Достроим треугольник до прямоугольника. Получим прямоугольник со сторонами 4 и 4 клетки. Его площадь $S_{пр}$ равна:
$S_{пр} = 4 \times 4 = 16$ (кв. ед.).

2. Внутри прямоугольника, помимо исходного треугольника, образовались три прямоугольных треугольника. Найдем их площади ($S_1$, $S_2$, $S_3$). Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
- Треугольник 1 (слева снизу): катеты 1 и 3. $S_1 = \frac{1 \times 3}{2} = 1.5$ (кв. ед.).
- Треугольник 2 (справа снизу): катеты 3 и 1. $S_2 = \frac{3 \times 1}{2} = 1.5$ (кв. ед.).
- Треугольник 3 (сверху): катеты 4 и 3. $S_3 = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ (кв. ед.).

3. Вычислим площадь исходного треугольника ($S_a$), вычитая из площади прямоугольника площади "лишних" треугольников:
$S_a = S_{пр} - (S_1 + S_2 + S_3) = 16 - (1.5 + 1.5 + 6) = 16 - 9 = 7$ (кв. ед.).

Ответ: 7 кв. ед.

б)

1. Достроим треугольник до прямоугольника со сторонами 6 и 4 клетки. Его площадь $S_{пр}$ равна:
$S_{пр} = 6 \times 4 = 24$ (кв. ед.).

2. Находим площади трех образовавшихся прямоугольных треугольников:
- Треугольник 1 (слева сверху): катеты 1 и 4. $S_1 = \frac{1 \times 4}{2} = 2$ (кв. ед.).
- Треугольник 2 (снизу): катеты 3 и 2. $S_2 = \frac{3 \times 2}{2} = 3$ (кв. ед.).
- Треугольник 3 (справа): катеты 5 и 1. $S_3 = \frac{5 \times 1}{2} = 2.5$ (кв. ед.).

3. Вычисляем площадь исходного треугольника ($S_б$):
$S_б = S_{пр} - (S_1 + S_2 + S_3) = 24 - (2 + 3 + 2.5) = 24 - 7.5 = 16.5$ (кв. ед.).

Ответ: 16.5 кв. ед.

в)

1. Достроим треугольник до прямоугольника со сторонами 6 и 4 клетки. Его площадь $S_{пр}$ равна:
$S_{пр} = 6 \times 4 = 24$ (кв. ед.).

2. Находим площади трех образовавшихся прямоугольных треугольников:
- Треугольник 1 (слева сверху): катеты 2 и 2. $S_1 = \frac{2 \times 2}{2} = 2$ (кв. ед.).
- Треугольник 2 (справа сверху): катеты 4 и 2. $S_2 = \frac{4 \times 2}{2} = 4$ (кв. ед.).
- Треугольник 3 (снизу): катеты 6 и 2. $S_3 = \frac{6 \times 2}{2} = 6$ (кв. ед.).

3. Вычисляем площадь исходного треугольника ($S_в$):
$S_в = S_{пр} - (S_1 + S_2 + S_3) = 24 - (2 + 4 + 6) = 24 - 12 = 12$ (кв. ед.).

Ответ: 12 кв. ед.

569 Перерисуй треугольники в тетрадь. Вычисли их площади, достраивая до прямоугольников:

а) б) в)

570 Запиши формулы для вычисления площадей треугольников.

а) $S = \frac{1}{2}ab$

б) $S = \frac{1}{2}ah$

в) $S = \frac{1}{2}ah$

а) На рисунке изображен прямоугольный треугольник. Его площадь равна половине произведения его катетов. Катеты — это стороны, образующие прямой угол. В данном случае катеты обозначены как $a$ и $b$. Если достроить этот треугольник до прямоугольника (как показано пунктирной линией), его стороны будут равны $a$ и $b$, а площадь — $a \cdot b$. Прямоугольный треугольник составляет ровно половину этого прямоугольника, поэтому его площадь $S$ вычисляется по формуле: $S = \frac{1}{2}ab$.
Ответ: $S = \frac{1}{2}ab$

б) На рисунке изображен остроугольный треугольник. Для вычисления его площади используется общая формула, которая гласит, что площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию. В данном случае за основание взята сторона длиной $a$, а высота, перпендикулярная этому основанию, имеет длину $h$. Следовательно, формула для вычисления площади: $S = \frac{1}{2}ah$.
Ответ: $S = \frac{1}{2}ah$

в) На рисунке изображен тупоугольный треугольник. Несмотря на его форму, для вычисления площади используется та же универсальная формула: половина произведения основания на высоту. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла, падает на продолжение противолежащей стороны. В данном случае основание равно $a$, а высота $h$ проведена к продолжению этого основания из вершины, противолежащей ему. Формула для площади остается неизменной: $S = \frac{1}{2}ah$.
Ответ: $S = \frac{1}{2}ah$

570 Запиши формулы для вычисления площадей треугольников:

а) $S = \frac{a \cdot b}{2}$

б) $S = \frac{a \cdot h}{2}$

в) $S = \frac{a \cdot h}{2}$