Страница 128, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

537 В каких единицах обычно измеряют:

а) длину шага;

б) вместимость банки;

в) площадь поля;

г) объём бассейна;

д) площадь квартиры;

е) расстояние между городами;

ж) рост человека?

а) длину шага
Длина шага — это относительно небольшое расстояние, которое человек покрывает за один шаг. Для измерения таких расстояний удобно использовать сантиметры (см) или метры (м). Например, средняя длина шага взрослого человека составляет примерно 70–80 см или 0,7–0,8 м.
Ответ: сантиметры, метры.

б) вместимость банки
Вместимость, или объём, — это величина, показывающая, сколько жидкости или сыпучего вещества может поместиться в ёмкость. Для бытовых ёмкостей, таких как банки, обычно используют литры (л) и миллилитры (мл). Например, вместимость банки может быть 0,5 л, 1 л, 3 л или 750 мл.
Ответ: литры, миллилитры.

в) площадь поля
Поля занимают значительные территории, поэтому для измерения их площади используют крупные единицы. Самой распространённой единицей является гектар (га). Один гектар равен площади квадрата со стороной 100 метров ($1 \text{ га} = 10000 \text{ } м^2$). Для очень больших полей могут использоваться квадратные километры ($км^2$), а для небольших участков, таких как дачные, — ары (сотки).
Ответ: гектары.

г) объём бассейна
Объём бассейна — это количество воды, необходимое для его заполнения. Поскольку линейные размеры бассейна (длина, ширина, глубина) измеряют в метрах, его объём удобно измерять в кубических метрах ($м^3$). Например, объём небольшого бассейна может быть 30 $м^3$.
Ответ: кубические метры.

д) площадь квартиры
Площадь жилых помещений, таких как квартиры и дома, принято измерять в квадратных метрах ($м^2$). Эта единица измерения является стандартом в строительстве и при операциях с недвижимостью. Например, площадь двухкомнатной квартиры может составлять 55 $м^2$.
Ответ: квадратные метры.

е) расстояние между городами
Для измерения больших расстояний, например, между населёнными пунктами, используется единица длины километр (км). Это позволяет оперировать удобными по величине числами. Например, расстояние между Москвой и Санкт-Петербургом составляет около 700 км.
Ответ: километры.

ж) рост человека
Рост человека чаще всего измеряют в сантиметрах (см). Эта единица обеспечивает достаточную точность для данной величины. Иногда рост указывают в метрах (м), обычно с сотыми долями, например, 1,82 м, что соответствует 182 см.
Ответ: сантиметры.

537 В каких единицах обычно измеряют:

а) длину шага;

б) вместимость банки;

в) площадь поля;

г) объем бассейна;

д) площадь квартиры;

е) расстояние между городами;

ж) рост человека?

538. Вырази:

а) 1 дм в миллиметрах, в километрах, в метрах;

б) 1 а в гектарах, в $м^2$, в $км^2$;

в) 1 $см^3$ в $мм^3$, в $м^3$, в $дм^3$, в литрах.

а) Для того чтобы выразить 1 дециметр (дм) в других единицах измерения длины, воспользуемся следующими соотношениями:
1 метр (м) = 10 дециметров (дм)
1 дециметр (дм) = 10 сантиметров (см)
1 сантиметр (см) = 10 миллиметров (мм)
1 километр (км) = 1000 метров (м)

1 дм в миллиметрах (мм):
Поскольку 1 дм = 10 см, а 1 см = 10 мм, то:
$1 \text{ дм} = 10 \text{ см} \times 10 \frac{\text{мм}}{\text{см}} = 100 \text{ мм}$

1 дм в метрах (м):
Поскольку 1 м = 10 дм, то:
$1 \text{ дм} = \frac{1}{10} \text{ м} = 0,1 \text{ м}$

1 дм в километрах (км):
Поскольку 1 км = 1000 м, а 1 дм = 0,1 м, то:
$1 \text{ дм} = 0,1 \text{ м} = 0,1 \times \frac{1}{1000} \text{ км} = \frac{0,1}{1000} \text{ км} = 0,0001 \text{ км}$

Ответ: $1 \text{ дм} = 100 \text{ мм}$; $1 \text{ дм} = 0,0001 \text{ км}$; $1 \text{ дм} = 0,1 \text{ м}$.

б) Для того чтобы выразить 1 ар (а) в других единицах измерения площади, воспользуемся следующими соотношениями:
1 ар (а) = 100 квадратных метров (м²)
1 гектар (га) = 100 аров (а)
1 квадратный километр (км²) = 1 000 000 м²

1 а в гектарах (га):
Поскольку 1 га = 100 а, то:
$1 \text{ а} = \frac{1}{100} \text{ га} = 0,01 \text{ га}$

1 а в квадратных метрах (м²):
По определению:
$1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$

1 а в квадратных километрах (км²):
Поскольку 1 км² = 1 000 000 м², а 1 а = 100 м², то:
$1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2 = \frac{100}{1 \, 000 \, 000} \text{ км}^2 = \frac{1}{10 \, 000} \text{ км}^2 = 0,0001 \text{ км}^2$

Ответ: $1 \text{ а} = 0,01 \text{ га}$; $1 \text{ а} = 100 \text{ м}^2$; $1 \text{ а} = 0,0001 \text{ км}^2$.

в) Для того чтобы выразить 1 кубический сантиметр (см³) в других единицах измерения объема, воспользуемся следующими соотношениями:
1 см = 10 мм => $1 \text{ см}^3 = (10 \text{ мм})^3 = 1000 \text{ мм}^3$
1 м = 100 см => $1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1 \, 000 \, 000 \text{ см}^3$
1 дм = 10 см => $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$
1 литр (л) = 1 кубический дециметр (дм³)

1 см³ в кубических миллиметрах (мм³):
$1 \text{ см}^3 = (10 \text{ мм})^3 = 1000 \text{ мм}^3$

1 см³ в кубических метрах (м³):
$1 \text{ см}^3 = \frac{1}{1 \, 000 \, 000} \text{ м}^3 = 0,000001 \text{ м}^3$

1 см³ в кубических дециметрах (дм³):
$1 \text{ см}^3 = \frac{1}{1000} \text{ дм}^3 = 0,001 \text{ дм}^3$

1 см³ в литрах (л):
Поскольку 1 л = 1 дм³, а 1 см³ = 0,001 дм³, то:
$1 \text{ см}^3 = 0,001 \text{ л}$

Ответ: $1 \text{ см}^3 = 1000 \text{ мм}^3$; $1 \text{ см}^3 = 0,000001 \text{ м}^3$; $1 \text{ см}^3 = 0,001 \text{ дм}^3$; $1 \text{ см}^3 = 0,001 \text{ л}$.

538 Вырази:

a) $1 \text{ дм}$ в миллиметрах, в километрах, в метрах;

б) $1 \text{ а}$ в гектарах, в квадратных метрах, в квадратных километрах;

в) $1 \text{ см}^3$ в кубических миллиметрах, в кубических метрах, в кубических дециметрах, в литрах.

539 Заполни пропуски и прочитай полученные числа.

а) $2 \text{ м } 45 \text{ см } = \dots \text{ см}$

$2 \text{ м}^2 45 \text{ см}^2 = \dots \text{ см}^2$

$2 \text{ м}^3 45 \text{ см}^3 = \dots \text{ см}^3$

б) $2 \text{ м } 45 \text{ см } = \dots \text{ м}$

$2 \text{ м}^2 45 \text{ см}^2 = \dots \text{ м}^2$

$2 \text{ м}^3 45 \text{ см}^3 = \dots \text{ м}^3$

в) $2 \text{ м } 45 \text{ см } = \dots \text{ дм}$

$2 \text{ м}^2 45 \text{ см}^2 = \dots \text{ дм}^2$

$2 \text{ м}^3 45 \text{ см}^3 = \dots \text{ дм}^3$

а)

Перевод в сантиметры (см), квадратные сантиметры (см²) и кубические сантиметры (см³).

2 м 45 см = ... см
Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то $2 \text{ м} = 2 \times 100 = 200 \text{ см}$.
$200 \text{ см} + 45 \text{ см} = 245 \text{ см}$.
Число: двести сорок пять.
Ответ: 245 см.

2 м² 45 см² = ... см²
Поскольку $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 10000 \text{ см}^2$, то $2 \text{ м}^2 = 2 \times 10000 = 20000 \text{ см}^2$.
$20000 \text{ см}^2 + 45 \text{ см}^2 = 20045 \text{ см}^2$.
Число: двадцать тысяч сорок пять.
Ответ: 20045 см².

2 м³ 45 см³ = ... см³
Поскольку $1 \text{ м}^3 = 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} \times 100 \text{ см} = 1000000 \text{ см}^3$, то $2 \text{ м}^3 = 2 \times 1000000 = 2000000 \text{ см}^3$.
$2000000 \text{ см}^3 + 45 \text{ см}^3 = 2000045 \text{ см}^3$.
Число: два миллиона сорок пять.
Ответ: 2000045 см³.

б)

Перевод в метры (м), квадратные метры (м²) и кубические метры (м³).

2 м 45 см = ... м
Поскольку $1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$, то $45 \text{ см} = 45 \div 100 = 0.45 \text{ м}$.
$2 \text{ м} + 0.45 \text{ м} = 2.45 \text{ м}$.
Число: две целых сорок пять сотых.
Ответ: 2.45 м.

2 м² 45 см² = ... м²
Поскольку $1 \text{ см}^2 = 0.0001 \text{ м}^2$, то $45 \text{ см}^2 = 45 \div 10000 = 0.0045 \text{ м}^2$.
$2 \text{ м}^2 + 0.0045 \text{ м}^2 = 2.0045 \text{ м}^2$.
Число: две целых сорок пять десятитысячных.
Ответ: 2.0045 м².

2 м³ 45 см³ = ... м³
Поскольку $1 \text{ см}^3 = 0.000001 \text{ м}^3$, то $45 \text{ см}^3 = 45 \div 1000000 = 0.000045 \text{ м}^3$.
$2 \text{ м}^3 + 0.000045 \text{ м}^3 = 2.000045 \text{ м}^3$.
Число: две целых сорок пять миллионных.
Ответ: 2.000045 м³.

в)

Перевод в дециметры (дм), квадратные дециметры (дм²) и кубические дециметры (дм³).

2 м 45 см = ... дм
Поскольку $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$ и $1 \text{ см} = 0.1 \text{ дм}$, то $2 \text{ м} = 20 \text{ дм}$ и $45 \text{ см} = 4.5 \text{ дм}$.
$20 \text{ дм} + 4.5 \text{ дм} = 24.5 \text{ дм}$.
Число: двадцать четыре целых пять десятых.
Ответ: 24.5 дм.

2 м² 45 см² = ... дм²
Поскольку $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$ и $1 \text{ см}^2 = 0.01 \text{ дм}^2$, то $2 \text{ м}^2 = 200 \text{ дм}^2$ и $45 \text{ см}^2 = 0.45 \text{ дм}^2$.
$200 \text{ дм}^2 + 0.45 \text{ дм}^2 = 200.45 \text{ дм}^2$.
Число: двести целых сорок пять сотых.
Ответ: 200.45 дм².

2 м³ 45 см³ = ... дм³
Поскольку $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3$ и $1 \text{ см}^3 = 0.001 \text{ дм}^3$, то $2 \text{ м}^3 = 2000 \text{ дм}^3$ и $45 \text{ см}^3 = 0.045 \text{ дм}^3$.
$2000 \text{ дм}^3 + 0.045 \text{ дм}^3 = 2000.045 \text{ дм}^3$.
Число: две тысячи целых сорок пять тысячных.
Ответ: 2000.045 дм³.

539 Заполни пропуски и прочитай полученные числа:

а) $2\text{ м } 45\text{ см} = \dots \text{ см}$

$2\text{ м}^2 45\text{ см}^2 = \dots \text{ см}^2$

$2\text{ м}^3 45\text{ см}^3 = \dots \text{ см}^3$

б) $2\text{ м } 45\text{ см} = \dots \text{ м}$

$2\text{ м}^2 45\text{ см}^2 = \dots \text{ м}^2$

$2\text{ м}^3 45\text{ см}^3 = \dots \text{ м}^3$

в) $2\text{ м } 45\text{ см} = \dots \text{ дм}$

$2\text{ м}^2 45\text{ см}^2 = \dots \text{ дм}^2$

$2\text{ м}^3 45\text{ см}^3 = \dots \text{ дм}^3$

540 Вычисли разными способами площади закрашенных фигур.

a) 9 см, 7 см, 2 см, 4 см

б) 3 м, 4 м, 2 м, 3 м, 2 м

в) 12 мм, 9 мм, 7 мм, 9 мм, 8 мм, 8 мм

Закрашенная фигура представляет собой квадрат, из которого вырезан прямоугольник. Чтобы найти её площадь ($S_{закраш.}$), нужно из площади большого квадрата ($S_{квадрата}$) вычесть площадь внутреннего прямоугольника ($S_{прямоуг.}$). Это единственный рациональный способ для данной фигуры.

1. Вычисляем площадь большого квадрата со стороной 9 см:

$S_{квадрата} = 9 \text{ см} \times 9 \text{ см} = 81 \text{ см}^2$

2. Вычисляем площадь внутреннего прямоугольника со сторонами 4 см и 2 см:

$S_{прямоуг.} = 4 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$

3. Находим площадь закрашенной фигуры:

$S_{закраш.} = S_{квадрата} - S_{прямоуг.} = 81 \text{ см}^2 - 8 \text{ см}^2 = 73 \text{ см}^2$

Ответ: 73 см².

Примечание: В условии для данной фигуры большинство размеров указаны в метрах (м), но одна сторона обозначена как 7 см. Вероятнее всего, это опечатка, и следует читать "7 м", так как эта длина соответствует сумме длин отрезков на противоположной стороне: $2 \text{ м} + 3 \text{ м} + 2 \text{ м} = 7 \text{ м}$.

Площадь этой фигуры можно вычислить разными способами.

Способ 1: Дополнение до прямоугольника (метод вычитания)

1. Мысленно дополним фигуру до большого прямоугольника. Его ширина будет равна $3 \text{ м} + 4 \text{ м} = 7 \text{ м}$, а высота — $7 \text{ м}$.

2. Вычислим площадь этого большого прямоугольника:

$S_{большой} = 7 \text{ м} \times 7 \text{ м} = 49 \text{ м}^2$

3. Теперь найдем площади двух "пустых" прямоугольников, которыми мы дополнили фигуру. Размеры каждого из них — 4 м на 2 м.

$S_{пустая\_часть} = 4 \text{ м} \times 2 \text{ м} = 8 \text{ м}^2$

4. Вычтем площади двух пустых частей из площади большого прямоугольника, чтобы найти площадь закрашенной фигуры:

$S_{закраш.} = S_{большой} - 2 \times S_{пустая\_часть} = 49 \text{ м}^2 - 2 \times 8 \text{ м}^2 = 49 - 16 = 33 \text{ м}^2$

Способ 2: Разбиение на части (метод сложения)

1. Разобьем закрашенную фигуру на два прямоугольника: левый вертикальный и примыкающий к нему справа центральный горизонтальный.

2. Левый вертикальный прямоугольник имеет размеры 3 м на 7 м. Его площадь:

$S_{1} = 3 \text{ м} \times 7 \text{ м} = 21 \text{ м}^2$

3. Центральный горизонтальный прямоугольник имеет размеры 4 м на 3 м. Его площадь:

$S_{2} = 4 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 12 \text{ м}^2$

4. Сложим площади этих двух частей, чтобы получить общую площадь закрашенной фигуры:

$S_{закраш.} = S_{1} + S_{2} = 21 \text{ м}^2 + 12 \text{ м}^2 = 33 \text{ м}^2$

Ответ: 33 м².

Площадь фигуры в форме креста также можно вычислить несколькими способами.

Способ 1: Дополнение до прямоугольника (метод вычитания)

1. Дополним фигуру до большого прямоугольника. Его ширина будет $8 \text{ мм} + 12 \text{ мм} + 8 \text{ мм} = 28 \text{ мм}$, а высота — $9 \text{ мм} + 7 \text{ мм} + 9 \text{ мм} = 25 \text{ мм}$.

2. Вычислим площадь этого большого прямоугольника:

$S_{большой} = 28 \text{ мм} \times 25 \text{ мм} = 700 \text{ мм}^2$

3. Найдем площадь четырех угловых прямоугольников, которые были "вырезаны". Размеры каждого из них — 8 мм на 9 мм.

$S_{угла} = 8 \text{ мм} \times 9 \text{ мм} = 72 \text{ мм}^2$

4. Вычтем суммарную площадь четырех углов из площади большого прямоугольника:

$S_{закраш.} = S_{большой} - 4 \times S_{угла} = 700 \text{ мм}^2 - 4 \times 72 \text{ мм}^2 = 700 - 288 = 412 \text{ мм}^2$

Способ 2: Разбиение на части (метод сложения)

1. Разобьем крестообразную фигуру на один центральный вертикальный прямоугольник и два боковых горизонтальных прямоугольника.

2. Центральный вертикальный прямоугольник имеет ширину 12 мм и высоту $9 \text{ мм} + 7 \text{ мм} + 9 \text{ мм} = 25 \text{ мм}$. Его площадь:

$S_{верт.} = 12 \text{ мм} \times 25 \text{ мм} = 300 \text{ мм}^2$

3. Два боковых прямоугольника (левый и правый) имеют размеры 8 мм на 7 мм каждый. Найдем их общую площадь:

$S_{боковые} = 2 \times (8 \text{ мм} \times 7 \text{ мм}) = 2 \times 56 \text{ мм}^2 = 112 \text{ мм}^2$

4. Сложим площади всех частей, чтобы найти итоговую площадь:

$S_{закраш.} = S_{верт.} + S_{боковые} = 300 \text{ мм}^2 + 112 \text{ мм}^2 = 412 \text{ мм}^2$

Ответ: 412 мм².

540 Вычисли разными способами площади закрашенных фигур:

a) $S = (9 \text{ см} \times 7 \text{ см}) - (4 \text{ см} \times 2 \text{ см})$

б) $S = (7 \text{ м} \times 7 \text{ м}) - (4 \text{ м} \times 2 \text{ м}) - (4 \text{ м} \times 2 \text{ м})$

$S = (3 \text{ м} \times (2 \text{ м} + 3 \text{ м} + 2 \text{ м})) + (4 \text{ м} \times 3 \text{ м})$

в) $S = (12 \text{ мм} \times (9 \text{ мм} + 7 \text{ мм} + 9 \text{ мм})) - 4 \times (8 \text{ мм} \times 9 \text{ мм})$

$S = (8 \text{ мм} \times (9 \text{ мм} + 7 \text{ мм} + 9 \text{ мм})) + (12 \text{ мм} \times 7 \text{ мм}) - (8 \text{ мм} \times 7 \text{ мм})$

541 a) Длина прямоугольника на 16 см больше ширины, а периметр равен 22,4 дм. На сколько квадратных дециметров площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата с тем же периметром?

б) Периметр квадрата равен 6 м, а периметр прямоугольника на 20 % больше. Ширина прямоугольника в 5 раз меньше длины. На сколько процентов площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата?

а)

1. Первым шагом приведем все единицы измерения к дециметрам, так как в вопросе требуется ответ в квадратных дециметрах.
Разница между длиной и шириной составляет 16 см, что равно $16 \text{ см} = 1.6 \text{ дм}$.
Периметр прямоугольника $P_{пр} = 22.4 \text{ дм}$.

2. Найдем стороны прямоугольника. Обозначим ширину прямоугольника как $x$ дм. Тогда его длина будет $(x + 1.6)$ дм.
Формула периметра прямоугольника: $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ - его стороны.
Составим уравнение на основе известных данных:
$2(x + (x + 1.6)) = 22.4$
$2(2x + 1.6) = 22.4$
Разделим обе части уравнения на 2:
$2x + 1.6 = 11.2$
$2x = 11.2 - 1.6$
$2x = 9.6$
$x = 9.6 / 2 = 4.8$
Итак, ширина прямоугольника равна $4.8$ дм.
Длина прямоугольника равна $4.8 + 1.6 = 6.4$ дм.

3. Вычислим площадь прямоугольника ($S_{пр}$):
$S_{пр} = \text{длина} \times \text{ширина} = 6.4 \text{ дм} \times 4.8 \text{ дм} = 30.72 \text{ дм}^2$.

4. Теперь найдем площадь квадрата с таким же периметром. Периметр квадрата $P_{кв} = 22.4$ дм.
Сторона квадрата ($a$) вычисляется по формуле $a = P_{кв} / 4$.
$a = 22.4 / 4 = 5.6$ дм.
Площадь квадрата ($S_{кв}$) вычисляется по формуле $S_{кв} = a^2$.
$S_{кв} = (5.6)^2 = 31.36 \text{ дм}^2$.

5. Наконец, найдем разницу между площадью квадрата и площадью прямоугольника:
$S_{кв} - S_{пр} = 31.36 \text{ дм}^2 - 30.72 \text{ дм}^2 = 0.64 \text{ дм}^2$.

Ответ: на $0.64$ дм$^2$.

б)

1. Сначала найдем параметры квадрата.
Периметр квадрата $P_{кв} = 6$ м.
Сторона квадрата $a = P_{кв} / 4 = 6 / 4 = 1.5$ м.
Площадь квадрата $S_{кв} = a^2 = (1.5)^2 = 2.25 \text{ м}^2$.

2. Затем найдем параметры прямоугольника.
Периметр прямоугольника ($P_{пр}$) на 20% больше периметра квадрата. Это значит, что он составляет $100\% + 20\% = 120\%$ от периметра квадрата.
$P_{пр} = P_{кв} \times 1.2 = 6 \text{ м} \times 1.2 = 7.2$ м.
Пусть ширина прямоугольника равна $y$ м. По условию, она в 5 раз меньше длины, следовательно, длина равна $5y$ м.
Используя формулу периметра $P = 2(a+b)$, составим уравнение:
$2(y + 5y) = 7.2$
$2(6y) = 7.2$
$12y = 7.2$
$y = 7.2 / 12 = 0.6$
Таким образом, ширина прямоугольника равна $0.6$ м, а длина $5 \times 0.6 = 3$ м.

3. Вычислим площадь прямоугольника ($S_{пр}$):
$S_{пр} = \text{длина} \times \text{ширина} = 3 \text{ м} \times 0.6 \text{ м} = 1.8 \text{ м}^2$.

4. Теперь найдем, на сколько процентов площадь прямоугольника меньше площади квадрата. Для этого найдем разницу в площадях и отнесем ее к площади квадрата (так как сравниваем с ней).
Разница в площадях: $S_{кв} - S_{пр} = 2.25 \text{ м}^2 - 1.8 \text{ м}^2 = 0.45 \text{ м}^2$.
Процентное отношение:
$\frac{S_{кв} - S_{пр}}{S_{кв}} \times 100\% = \frac{0.45}{2.25} \times 100\%$.
$\frac{0.45}{2.25} = \frac{45}{225} = \frac{1}{5} = 0.2$.
$0.2 \times 100\% = 20\%$.

Ответ: на $20\%$.

541 a) Длина прямоугольника на 16 см больше ширины, а периметр равен 22,4 дм. На сколько квадратных дециметров площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата с тем же периметром?

б) Периметр квадрата равен 6 м, а периметр прямоугольника на 20% больше. Ширина прямоугольника в 5 раз меньше длины. На сколько процентов площадь этого прямоугольника меньше площади квадрата?

542 Выполни действия:

а) $4,1 \text{ м} - 3,7 \text{ дм} + 72,6 \text{ см};$

б) $10,2 \text{ дм} + 8,4 \text{ см} - 0,125 \text{ м};$

в) $1,64 \text{ км} \cdot 30,5 - 25 \text{ км } 20 \text{ м};$

г) $3 \text{ дм}^2 2 \text{ см}^2 + 35,4 \text{ см}^2 / 0,05;$

д) $1,5 \text{ м}^3 - 1,5 \text{ дм}^3 + 51500 \text{ см}^3;$

е) $28,8 \text{ а} / 0,48 + 5,6 \text{ га} \cdot 0,25.$

а) Чтобы выполнить действия, приведем все величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам (см). Мы знаем, что $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$ и $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.
Переведем метры и дециметры в сантиметры:
$4,1 \text{ м} = 4,1 \times 100 \text{ см} = 410 \text{ см}$
$3,7 \text{ дм} = 3,7 \times 10 \text{ см} = 37 \text{ см}$
Теперь выполним вычисления:
$410 \text{ см} - 37 \text{ см} + 72,6 \text{ см} = 373 \text{ см} + 72,6 \text{ см} = 445,6 \text{ см}$.
Ответ: $445,6 \text{ см}$.

б) Приведем все величины к одной единице измерения, например, к сантиметрам (см).
$10,2 \text{ дм} = 10,2 \times 10 \text{ см} = 102 \text{ см}$
$0,125 \text{ м} = 0,125 \times 100 \text{ см} = 12,5 \text{ см}$
Теперь выполним вычисления:
$102 \text{ см} + 8,4 \text{ см} - 12,5 \text{ см} = 110,4 \text{ см} - 12,5 \text{ см} = 97,9 \text{ см}$.
Ответ: $97,9 \text{ см}$.

в) Согласно порядку действий, сначала выполним умножение, а затем вычитание.
1. Умножение: $1,64 \text{ км} \cdot 30,5 = 50,02 \text{ км}$.
2. Приведем $25 \text{ км} 20 \text{ м}$ к единой единице измерения - километрам. Так как $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$, то $20 \text{ м} = 0,02 \text{ км}$.
$25 \text{ км} 20 \text{ м} = 25 \text{ км} + 0,02 \text{ км} = 25,02 \text{ км}$.
3. Вычитание: $50,02 \text{ км} - 25,02 \text{ км} = 25 \text{ км}$.
Ответ: $25 \text{ км}$.

г) Сначала выполним деление, затем сложение.
1. Деление: $35,4 \text{ см}^2 : 0,05 = 3540 : 5 = 708 \text{ см}^2$.
2. Приведем $3 \text{ дм}^2 2 \text{ см}^2$ к квадратным сантиметрам. Мы знаем, что $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$.
$3 \text{ дм}^2 2 \text{ см}^2 = 3 \times 100 \text{ см}^2 + 2 \text{ см}^2 = 302 \text{ см}^2$.
3. Сложение: $302 \text{ см}^2 + 708 \text{ см}^2 = 1010 \text{ см}^2$.
Ответ: $1010 \text{ см}^2$ (или $10 \text{ дм}^2 10 \text{ см}^2$).

д) Приведем все величины к одной единице измерения, например, к кубическим дециметрам ($дм^3$).
Мы знаем, что $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ дм}^3$ и $1 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ см}^3$.
$1,5 \text{ м}^3 = 1,5 \times 1000 \text{ дм}^3 = 1500 \text{ дм}^3$.
$51 500 \text{ см}^3 = 51 500 / 1000 \text{ дм}^3 = 51,5 \text{ дм}^3$.
Теперь выполним вычисления:
$1500 \text{ дм}^3 - 1,5 \text{ дм}^3 + 51,5 \text{ дм}^3 = 1498,5 \text{ дм}^3 + 51,5 \text{ дм}^3 = 1550 \text{ дм}^3$.
Ответ: $1550 \text{ дм}^3$ (или $1,55 \text{ м}^3$).

е) Сначала выполним деление и умножение, затем сложение. Приведем все величины к одной единице измерения, например, к арам (а). Мы знаем, что $1 \text{ га} = 100 \text{ а}$.
1. Деление: $28,8 \text{ а} : 0,48 = (2880 : 48) \text{ а} = 60 \text{ а}$.
2. Умножение: $5,6 \text{ га} \cdot 0,25 = 1,4 \text{ га}$.
3. Переведем гектары в ары: $1,4 \text{ га} = 1,4 \times 100 \text{ а} = 140 \text{ а}$.
4. Сложение: $60 \text{ а} + 140 \text{ а} = 200 \text{ а}$.
Ответ: $200 \text{ а}$ (или $2 \text{ га}$).

542 Выполни действия:

а) $4,1 \text{ м} - 3,7 \text{ дм} + 72,6 \text{ см};$

б) $10,2 \text{ дм} + 8,4 \text{ см} - 0,125 \text{ м};$

в) $1,64 \text{ км} \cdot 30,5 - 25 \text{ км } 20 \text{ м};$

г) $3 \text{ дм}^2 2 \text{ см}^2 + 35,4 \text{ см}^2 : 0,05;$

д) $1,5 \text{ м}^3 - 1,5 \text{ дм}^3 + 51500 \text{ см}^3;$

е) $28,8 \text{ а} : 0,48 + 5,6 \text{ га} \cdot 0,25.$

543 Измерения прямоугольного параллелепипеда 36 см, 8 дм и 12 дм 5 см. Найди его объём и вырази:

а) в кубических $дм^3$;

б) в кубических $м^3$;

в) в кубических $см^3$.

Для нахождения объема прямоугольного параллелепипеда ($V$) необходимо перемножить три его измерения: длину ($a$), ширину ($b$) и высоту ($c$). Формула для вычисления объема: $V = a \cdot b \cdot c$.

В условии задачи измерения даны в разных единицах: $a = 36$ см, $b = 8$ дм, $c = 12$ дм $5$ см. Чтобы найти объем, сначала приведем все измерения к одной единице. Удобнее всего начать с дециметров, так как это требуется в пункте а).

• Переведем первое измерение в дециметры: $a = 36 \text{ см} = \frac{36}{10} \text{ дм} = 3,6 \text{ дм}$.
• Второе измерение уже в дециметрах: $b = 8 \text{ дм}$.
• Переведем третье измерение в дециметры: $c = 12 \text{ дм } 5 \text{ см} = 12 \text{ дм} + \frac{5}{10} \text{ дм} = 12,5 \text{ дм}$.

Теперь мы можем вычислить объем в кубических дециметрах:

$V = 3,6 \text{ дм} \cdot 8 \text{ дм} \cdot 12,5 \text{ дм} = 360 \text{ дм}^3$.

а) в кубических дециметрах

Объем параллелепипеда, вычисленный в единых единицах (дециметрах), составляет:

$V = 3,6 \cdot 8 \cdot 12,5 = 360 \text{ дм}^3$.

Ответ: $360 \text{ дм}^3$.

б) в кубических метрах

Чтобы выразить полученный объем в кубических метрах, необходимо знать соотношение между кубическими метрами и кубическими дециметрами. Так как $1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, то $1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 1000 \text{ дм}^3$.

Следовательно, чтобы перевести кубические дециметры в кубические метры, нужно разделить их количество на 1000:

$V = 360 \text{ дм}^3 = \frac{360}{1000} \text{ м}^3 = 0,36 \text{ м}^3$.

Ответ: $0,36 \text{ м}^3$.

в) в кубических сантиметрах

Чтобы выразить объем в кубических сантиметрах, воспользуемся соотношением: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$, следовательно, $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$.

Умножим объем в кубических дециметрах на 1000:

$V = 360 \text{ дм}^3 = 360 \cdot 1000 \text{ см}^3 = 360000 \text{ см}^3$.

Альтернативный способ — изначально перевести все измерения в сантиметры:

• $a = 36 \text{ см}$
• $b = 8 \text{ дм} = 8 \cdot 10 \text{ см} = 80 \text{ см}$
• $c = 12 \text{ дм } 5 \text{ см} = 12 \cdot 10 \text{ см} + 5 \text{ см} = 125 \text{ см}$

И вычислить объем:

$V = 36 \text{ см} \cdot 80 \text{ см} \cdot 125 \text{ см} = 360000 \text{ см}^3$.

Результаты совпадают.

Ответ: $360000 \text{ см}^3$.

543 Измерения прямоугольного параллелепипеда 36 см, 8 дм и 12 дм 5 см. Найди его объем и вырази:

а) в кубических дециметрах;

б) в кубических метрах;

в) в кубических сантиметрах.

544 Сравни объёмы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда, если:

а) ребро куба равно 5 дм, а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см, 1 м и 8 дм;

б) ребро куба равно 4 см, а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм, 3 см и 25 мм. Что ты замечаешь?

а)

Сначала найдем объем и площадь поверхности куба с ребром $a_{куб} = 5$ дм.

Объем куба вычисляется по формуле $V_{куб} = a_{куб}^3$.

$V_{куб} = 5^3 = 125$ дм³.

Площадь поверхности куба вычисляется по формуле $S_{куб} = 6a_{куб}^2$.

$S_{куб} = 6 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150$ дм².

Теперь найдем объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Для этого необходимо привести все его измерения к одной единице. Переведем все в дециметры (дм).

Измерения параллелепипеда: $l = 15 \text{ см} = 1,5 \text{ дм}$, $w = 1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, $h = 8 \text{ дм}$.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V_{пар} = l \cdot w \cdot h$.

$V_{пар} = 1,5 \cdot 10 \cdot 8 = 120$ дм³.

Площадь поверхности параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{пар} = 2(lw + lh + wh)$.

$S_{пар} = 2(1,5 \cdot 10 + 1,5 \cdot 8 + 10 \cdot 8) = 2(15 + 12 + 80) = 2 \cdot 107 = 214$ дм².

Сравним полученные результаты:

Сравнение объемов: $125 \text{ дм}^3 > 120 \text{ дм}^3$, следовательно, $V_{куб} > V_{пар}$.

Сравнение площадей поверхностей: $150 \text{ дм}^2 < 214 \text{ дм}^2$, следовательно, $S_{куб} < S_{пар}$.

Ответ: Объем куба (125 дм³) больше объема параллелепипеда (120 дм³), а площадь поверхности куба (150 дм²) меньше площади поверхности параллелепипеда (214 дм²).

б)

Сначала найдем объем и площадь поверхности куба с ребром $a_{куб} = 4$ см.

Объем куба: $V_{куб} = a_{куб}^3 = 4^3 = 64$ см³.

Площадь поверхности куба: $S_{куб} = 6a_{куб}^2 = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96$ см².

Теперь найдем объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Приведем все его измерения к сантиметрам (см).

Измерения параллелепипеда: $l = 0,2 \text{ дм} = 2 \text{ см}$, $w = 3 \text{ см}$, $h = 25 \text{ мм} = 2,5 \text{ см}$.

Объем параллелепипеда: $V_{пар} = l \cdot w \cdot h = 2 \cdot 3 \cdot 2,5 = 15$ см³.

Площадь поверхности параллелепипеда: $S_{пар} = 2(lw + lh + wh) = 2(2 \cdot 3 + 2 \cdot 2,5 + 3 \cdot 2,5) = 2(6 + 5 + 7,5) = 2 \cdot 18,5 = 37$ см².

Сравним полученные результаты:

Сравнение объемов: $64 \text{ см}^3 > 15 \text{ см}^3$, следовательно, $V_{куб} > V_{пар}$.

Сравнение площадей поверхностей: $96 \text{ см}^2 > 37 \text{ см}^2$, следовательно, $S_{куб} > S_{пар}$.

Ответ: Объем куба (64 см³) больше объема параллелепипеда (15 см³), и площадь поверхности куба (96 см²) также больше площади поверхности параллелепипеда (37 см²).

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что не существует однозначной зависимости между объемом и площадью поверхности при сравнении разных тел. В первом случае (а) тело с большим объемом (куб) имеет меньшую площадь поверхности. Во втором случае (б) тело с большим объемом (куб) имеет и большую площадь поверхности. Это показывает, что при близких объемах, как в пункте (а), форма тела играет ключевую роль: куб является самой "компактной" фигурой среди прямоугольных параллелепипедов и при заданном объеме имеет наименьшую площадь поверхности. Параллелепипед с сильно различающимися измерениями будет иметь большую площадь поверхности. Если же объемы тел, как в пункте (б), сильно отличаются, то тело со значительно большим объемом, скорее всего, будет иметь и большую площадь поверхности.

544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда, если:

а) ребро куба равно 5 дм, а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см, 1 м и 8 дм;

б) ребро куба равно 4 см, а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм, 3 см и 25 мм. Что ты замечаешь?

545 Объём прямоугольного параллелепипеда равен $240 \text{ см}^3$, ширина – $5 \text{ см}$, а высота на $20 \%$ больше ширины. Длину этого параллелепипеда уменьшили на $3 \text{ см}$. На сколько процентов уменьшился его объём?

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдём высоту параллелепипеда.
По условию, ширина равна 5 см, а высота на 20% больше.
$h = 5 + 5 \cdot \frac{20}{100} = 5 + 5 \cdot 0.2 = 5 + 1 = 6$ см.

2. Найдём первоначальную длину параллелепипеда.
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot h$, где $a$ – длина, $b$ – ширина, $h$ – высота.
Известно, что $V_1 = 240$ см³, $b = 5$ см, $h = 6$ см.
$a_1 = \frac{V_1}{b \cdot h} = \frac{240}{5 \cdot 6} = \frac{240}{30} = 8$ см.

3. Найдём новую длину и новый объём.
Длину уменьшили на 3 см:
$a_2 = 8 - 3 = 5$ см.
Теперь вычислим новый объём $V_2$ с новой длиной:
$V_2 = a_2 \cdot b \cdot h = 5 \cdot 5 \cdot 6 = 150$ см³.

4. Найдём, на сколько процентов уменьшился объём.
Сначала найдём разницу между первоначальным и новым объёмом:
$\Delta V = V_1 - V_2 = 240 - 150 = 90$ см³.
Теперь найдём, какую долю эта разница составляет от первоначального объёма, и выразим это в процентах:
$\frac{\Delta V}{V_1} \cdot 100\% = \frac{90}{240} \cdot 100\% = \frac{3}{8} \cdot 100\% = 0.375 \cdot 100\% = 37.5\%$.

Ответ: объём уменьшился на 37,5%.

545 Объем прямоугольного параллелепипеда равен $240 \text{ см}^3$, ширина – $5 \text{ см}$, а высота – на $20\%$ больше ширины. Длину этого параллелепипеда уменьшили на $3 \text{ см}$. На сколько процентов уменьшился его объем?