Номер 540, страница 128, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

1. Измерение величин. Длина, площадь, объём. Параграф 3. Геометрические величины и их измерения. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 540, страница 128.

Условие 2023.

540 Вычисли разными способами площади закрашенных фигур.

a) 9 см, 7 см, 2 см, 4 см

б) 3 м, 4 м, 2 м, 3 м, 2 м

в) 12 мм, 9 мм, 7 мм, 9 мм, 8 мм, 8 мм

Решение 2 (2023).

a)

Закрашенная фигура представляет собой квадрат, из которого вырезан прямоугольник. Чтобы найти её площадь ($S_{закраш.}$), нужно из площади большого квадрата ($S_{квадрата}$) вычесть площадь внутреннего прямоугольника ($S_{прямоуг.}$). Это единственный рациональный способ для данной фигуры.

1. Вычисляем площадь большого квадрата со стороной 9 см:

$S_{квадрата} = 9 \text{ см} \times 9 \text{ см} = 81 \text{ см}^2$

2. Вычисляем площадь внутреннего прямоугольника со сторонами 4 см и 2 см:

$S_{прямоуг.} = 4 \text{ см} \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$

3. Находим площадь закрашенной фигуры:

$S_{закраш.} = S_{квадрата} - S_{прямоуг.} = 81 \text{ см}^2 - 8 \text{ см}^2 = 73 \text{ см}^2$

Ответ: 73 см².

б)

Примечание: В условии для данной фигуры большинство размеров указаны в метрах (м), но одна сторона обозначена как 7 см. Вероятнее всего, это опечатка, и следует читать "7 м", так как эта длина соответствует сумме длин отрезков на противоположной стороне: $2 \text{ м} + 3 \text{ м} + 2 \text{ м} = 7 \text{ м}$.

Площадь этой фигуры можно вычислить разными способами.

Способ 1: Дополнение до прямоугольника (метод вычитания)

1. Мысленно дополним фигуру до большого прямоугольника. Его ширина будет равна $3 \text{ м} + 4 \text{ м} = 7 \text{ м}$, а высота — $7 \text{ м}$.

2. Вычислим площадь этого большого прямоугольника:

$S_{большой} = 7 \text{ м} \times 7 \text{ м} = 49 \text{ м}^2$

3. Теперь найдем площади двух "пустых" прямоугольников, которыми мы дополнили фигуру. Размеры каждого из них — 4 м на 2 м.

$S_{пустая\_часть} = 4 \text{ м} \times 2 \text{ м} = 8 \text{ м}^2$

4. Вычтем площади двух пустых частей из площади большого прямоугольника, чтобы найти площадь закрашенной фигуры:

$S_{закраш.} = S_{большой} - 2 \times S_{пустая\_часть} = 49 \text{ м}^2 - 2 \times 8 \text{ м}^2 = 49 - 16 = 33 \text{ м}^2$

Способ 2: Разбиение на части (метод сложения)

1. Разобьем закрашенную фигуру на два прямоугольника: левый вертикальный и примыкающий к нему справа центральный горизонтальный.

2. Левый вертикальный прямоугольник имеет размеры 3 м на 7 м. Его площадь:

$S_{1} = 3 \text{ м} \times 7 \text{ м} = 21 \text{ м}^2$

3. Центральный горизонтальный прямоугольник имеет размеры 4 м на 3 м. Его площадь:

$S_{2} = 4 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 12 \text{ м}^2$

4. Сложим площади этих двух частей, чтобы получить общую площадь закрашенной фигуры:

$S_{закраш.} = S_{1} + S_{2} = 21 \text{ м}^2 + 12 \text{ м}^2 = 33 \text{ м}^2$

Ответ: 33 м².

в)

Площадь фигуры в форме креста также можно вычислить несколькими способами.

Способ 1: Дополнение до прямоугольника (метод вычитания)

1. Дополним фигуру до большого прямоугольника. Его ширина будет $8 \text{ мм} + 12 \text{ мм} + 8 \text{ мм} = 28 \text{ мм}$, а высота — $9 \text{ мм} + 7 \text{ мм} + 9 \text{ мм} = 25 \text{ мм}$.

2. Вычислим площадь этого большого прямоугольника:

$S_{большой} = 28 \text{ мм} \times 25 \text{ мм} = 700 \text{ мм}^2$

3. Найдем площадь четырех угловых прямоугольников, которые были "вырезаны". Размеры каждого из них — 8 мм на 9 мм.

$S_{угла} = 8 \text{ мм} \times 9 \text{ мм} = 72 \text{ мм}^2$

4. Вычтем суммарную площадь четырех углов из площади большого прямоугольника:

$S_{закраш.} = S_{большой} - 4 \times S_{угла} = 700 \text{ мм}^2 - 4 \times 72 \text{ мм}^2 = 700 - 288 = 412 \text{ мм}^2$

Способ 2: Разбиение на части (метод сложения)

1. Разобьем крестообразную фигуру на один центральный вертикальный прямоугольник и два боковых горизонтальных прямоугольника.

2. Центральный вертикальный прямоугольник имеет ширину 12 мм и высоту $9 \text{ мм} + 7 \text{ мм} + 9 \text{ мм} = 25 \text{ мм}$. Его площадь:

$S_{верт.} = 12 \text{ мм} \times 25 \text{ мм} = 300 \text{ мм}^2$

3. Два боковых прямоугольника (левый и правый) имеют размеры 8 мм на 7 мм каждый. Найдем их общую площадь:

$S_{боковые} = 2 \times (8 \text{ мм} \times 7 \text{ мм}) = 2 \times 56 \text{ мм}^2 = 112 \text{ мм}^2$

4. Сложим площади всех частей, чтобы найти итоговую площадь:

$S_{закраш.} = S_{верт.} + S_{боковые} = 300 \text{ мм}^2 + 112 \text{ мм}^2 = 412 \text{ мм}^2$

Ответ: 412 мм².

Условие 2010-2022.

540 Вычисли разными способами площади закрашенных фигур:

a) $S = (9 \text{ см} \times 7 \text{ см}) - (4 \text{ см} \times 2 \text{ см})$

б) $S = (7 \text{ м} \times 7 \text{ м}) - (4 \text{ м} \times 2 \text{ м}) - (4 \text{ м} \times 2 \text{ м})$

$S = (3 \text{ м} \times (2 \text{ м} + 3 \text{ м} + 2 \text{ м})) + (4 \text{ м} \times 3 \text{ м})$

в) $S = (12 \text{ мм} \times (9 \text{ мм} + 7 \text{ мм} + 9 \text{ мм})) - 4 \times (8 \text{ мм} \times 9 \text{ мм})$

$S = (8 \text{ мм} \times (9 \text{ мм} + 7 \text{ мм} + 9 \text{ мм})) + (12 \text{ мм} \times 7 \text{ мм}) - (8 \text{ мм} \times 7 \text{ мм})$

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).