Номер 546, страница 129, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 3. Геометрические величины и их измерения. 1. Измерение величин. Длина, площадь, объём - номер 546, страница 129.

Условие 2023.

546 Найди объём тела, изображённого на рис. 89, и построй три его проекции в масштабе $1:10$.

40 см

40 см

40 см

Рис. 89

45 см

32 см

50 см

50 см

32 см

45 см

Рис. 90

Решение 2 (2023).

Задача состоит из двух частей: нахождение объёма тела и построение его трёх проекций.

1. Нахождение объёма тела

Тело, изображённое на рис. 89, представляет собой комбинацию двух геометрических тел: куба в основании и правильной четырёхугольной пирамиды сверху.

Размеры куба:
- Длина ребра основания: $a = 40$ см
- Высота: $h_{куба} = 40$ см

Размеры пирамиды:
- Основание: квадрат со стороной $a = 40$ см (совпадает с верхней гранью куба).
- Высота: $h_{пирамиды}$. Высота пирамиды не указана на чертеже. Однако, из пропорций рисунка можно сделать обоснованное предположение, что высота пирамиды равна половине стороны её основания. Такое соотношение (когда боковые грани наклонены к основанию под углом 45°) часто используется в учебных задачах при отсутствии явных указаний. Таким образом, принимаем $h_{пирамиды} = 40 / 2 = 20$ см.

Общий объём тела $V$ равен сумме объёма куба $V_{куба}$ и объёма пирамиды $V_{пирамиды}$.

1. Вычислим объём куба:
$V_{куба} = a^3 = 40^3 = 64000 \text{ см}^3$.

2. Вычислим объём пирамиды. Формула объёма пирамиды: $V_{пирамиды} = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h_{пирамиды}$, где $S_{осн}$ — площадь основания.
$S_{осн} = a^2 = 40^2 = 1600 \text{ см}^2$.
$V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot 1600 \cdot 20 = \frac{32000}{3} \text{ см}^3$.

3. Найдём общий объём тела:
$V = V_{куба} + V_{пирамиды} = 64000 + \frac{32000}{3} = \frac{192000}{3} + \frac{32000}{3} = \frac{224000}{3} \text{ см}^3$.

Переведём неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{224000}{3} = 74666 \frac{2}{3} \text{ см}^3$.

Ответ: Объём тела равен $\frac{224000}{3} \text{ см}^3$, или $74666 \frac{2}{3} \text{ см}^3$.

2. Построение трёх проекций тела

Требуется построить три ортогональные проекции тела: вид спереди, вид сверху и вид сбоку (слева) в масштабе 1:10.

Сначала найдём размеры для построения в заданном масштабе:
- Ширина (и глубина) основания: $40 \text{ см} / 10 = 4$ см.
- Высота кубической части: $40 \text{ см} / 10 = 4$ см.
- Высота пирамидальной части: $20 \text{ см} / 10 = 2$ см.
- Общая высота тела: $(40 + 20) \text{ см} / 10 = 6$ см.

Описание проекций:
- Вид спереди: квадрат размером 4x4 см, над которым расположен равнобедренный треугольник высотой 2 см.
- Вид сверху: квадрат размером 4x4 см с проведёнными диагоналями (которые являются проекциями рёбер пирамиды).
- Вид сбоку (слева): так как основание тела квадратное, а пирамида правильная, вид сбоку идентичен виду спереди.

Ниже представлен чертёж с тремя проекциями и указанием размеров в сантиметрах.

Ответ: Три проекции тела в масштабе 1:10, с указанием размеров, представлены на чертеже выше.

Условие 2010-2022.

546 Найди объем тела, изображенного на рис. 89, и построй три его проекции в масштабе 1 : 10.

Рис. 89

Рис. 90

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).