Номер 544, страница 128, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 3. Геометрические величины и их измерения. 1. Измерение величин. Длина, площадь, объём - номер 544, страница 128.

Условие 2023.

544 Сравни объёмы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда, если:

а) ребро куба равно 5 дм, а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см, 1 м и 8 дм;

б) ребро куба равно 4 см, а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм, 3 см и 25 мм. Что ты замечаешь?

Решение 2 (2023).

а)

Сначала найдем объем и площадь поверхности куба с ребром $a_{куб} = 5$ дм.

Объем куба вычисляется по формуле $V_{куб} = a_{куб}^3$.

$V_{куб} = 5^3 = 125$ дм³.

Площадь поверхности куба вычисляется по формуле $S_{куб} = 6a_{куб}^2$.

$S_{куб} = 6 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150$ дм².

Теперь найдем объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Для этого необходимо привести все его измерения к одной единице. Переведем все в дециметры (дм).

Измерения параллелепипеда: $l = 15 \text{ см} = 1,5 \text{ дм}$, $w = 1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$, $h = 8 \text{ дм}$.

Объем параллелепипеда вычисляется по формуле $V_{пар} = l \cdot w \cdot h$.

$V_{пар} = 1,5 \cdot 10 \cdot 8 = 120$ дм³.

Площадь поверхности параллелепипеда вычисляется по формуле $S_{пар} = 2(lw + lh + wh)$.

$S_{пар} = 2(1,5 \cdot 10 + 1,5 \cdot 8 + 10 \cdot 8) = 2(15 + 12 + 80) = 2 \cdot 107 = 214$ дм².

Сравним полученные результаты:

Сравнение объемов: $125 \text{ дм}^3 > 120 \text{ дм}^3$, следовательно, $V_{куб} > V_{пар}$.

Сравнение площадей поверхностей: $150 \text{ дм}^2 < 214 \text{ дм}^2$, следовательно, $S_{куб} < S_{пар}$.

Ответ: Объем куба (125 дм³) больше объема параллелепипеда (120 дм³), а площадь поверхности куба (150 дм²) меньше площади поверхности параллелепипеда (214 дм²).

б)

Сначала найдем объем и площадь поверхности куба с ребром $a_{куб} = 4$ см.

Объем куба: $V_{куб} = a_{куб}^3 = 4^3 = 64$ см³.

Площадь поверхности куба: $S_{куб} = 6a_{куб}^2 = 6 \cdot 4^2 = 6 \cdot 16 = 96$ см².

Теперь найдем объем и площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда. Приведем все его измерения к сантиметрам (см).

Измерения параллелепипеда: $l = 0,2 \text{ дм} = 2 \text{ см}$, $w = 3 \text{ см}$, $h = 25 \text{ мм} = 2,5 \text{ см}$.

Объем параллелепипеда: $V_{пар} = l \cdot w \cdot h = 2 \cdot 3 \cdot 2,5 = 15$ см³.

Площадь поверхности параллелепипеда: $S_{пар} = 2(lw + lh + wh) = 2(2 \cdot 3 + 2 \cdot 2,5 + 3 \cdot 2,5) = 2(6 + 5 + 7,5) = 2 \cdot 18,5 = 37$ см².

Сравним полученные результаты:

Сравнение объемов: $64 \text{ см}^3 > 15 \text{ см}^3$, следовательно, $V_{куб} > V_{пар}$.

Сравнение площадей поверхностей: $96 \text{ см}^2 > 37 \text{ см}^2$, следовательно, $S_{куб} > S_{пар}$.

Ответ: Объем куба (64 см³) больше объема параллелепипеда (15 см³), и площадь поверхности куба (96 см²) также больше площади поверхности параллелепипеда (37 см²).

Что ты замечаешь?

Можно заметить, что не существует однозначной зависимости между объемом и площадью поверхности при сравнении разных тел. В первом случае (а) тело с большим объемом (куб) имеет меньшую площадь поверхности. Во втором случае (б) тело с большим объемом (куб) имеет и большую площадь поверхности. Это показывает, что при близких объемах, как в пункте (а), форма тела играет ключевую роль: куб является самой "компактной" фигурой среди прямоугольных параллелепипедов и при заданном объеме имеет наименьшую площадь поверхности. Параллелепипед с сильно различающимися измерениями будет иметь большую площадь поверхности. Если же объемы тел, как в пункте (б), сильно отличаются, то тело со значительно большим объемом, скорее всего, будет иметь и большую площадь поверхности.

Условие 2010-2022.

544 Сравни объемы и площади поверхностей куба и прямоугольного параллелепипеда, если:

а) ребро куба равно 5 дм, а измерения прямоугольного параллелепипеда 15 см, 1 м и 8 дм;

б) ребро куба равно 4 см, а измерения прямоугольного параллелепипеда 0,2 дм, 3 см и 25 мм. Что ты замечаешь?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).