Страница 126, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

К 574 Запиши первые 15 чисел натурального ряда в троичной системе счисления. Построй в этой системе таблицы сложения и умножения.

Запиши первые 15 чисел натурального ряда в троичной системе счисления.

Для перевода натурального числа из десятичной системы счисления в троичную необходимо последовательно делить это число на основание системы (3) до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления, записанные в обратном порядке, образуют искомое число в троичной системе. В троичной системе счисления используются три цифры: 0, 1 и 2.

Например, переведем число $15_{10}$ в троичную систему:
$15 \div 3 = 5$ (остаток 0)
$5 \div 3 = 1$ (остаток 2)
$1 \div 3 = 0$ (остаток 1)
Записав остатки в обратном порядке, получаем $120_3$.

Ниже представлена таблица соответствия первых 15 натуральных чисел в десятичной и троичной системах счисления.

Ответ: $1_3, 2_3, 10_3, 11_3, 12_3, 20_3, 21_3, 22_3, 100_3, 101_3, 102_3, 110_3, 111_3, 112_3, 120_3$.

Построй в этой системе таблицы сложения и умножения.

Таблицы сложения и умножения в троичной системе строятся для ее цифр: 0, 1 и 2. Все арифметические действия выполняются по основанию 3. Это означает, что при достижении значения 3 ($10_3$) происходит перенос единицы в следующий (старший) разряд, а в текущем разряде записывается 0.

Таблица сложения

Примеры вычислений для таблицы сложения:
$1_3 + 2_3 = 3_{10} = 1 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0 = 10_3$
$2_3 + 2_3 = 4_{10} = 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 11_3$

Таблица умножения

Пример вычисления для таблицы умножения:
$2_3 \times 2_3 = 4_{10} = 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 11_3$

Ответ: Таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления представлены выше.

$\mathcal{K}$ 574 Запиши первые 15 чисел натурального ряда в троичной системе счисления. Построй в этой системе таблицы сложения и умножения.

575 Переведи в десятичную систему счисления числа: $11010_2$, $2103_4$, $555_6$, $424_8$, $176_9$.

Для перевода числа из любой позиционной системы счисления в десятичную, необходимо представить это число в виде суммы произведений его цифр на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда этой цифры. Нумерация разрядов идет справа налево, начиная с нуля.

11 010₂

Представим число в виде развернутой суммы по степеням основания 2 (двоичная система):

$11010_2 = 1 \cdot 2^4 + 1 \cdot 2^3 + 0 \cdot 2^2 + 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0$

Вычислим значение этого выражения:

$1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 16 + 8 + 2 = 26$

Ответ: 26

2103₄

Представим число в виде развернутой суммы по степеням основания 4 (четверичная система):

$2103_4 = 2 \cdot 4^3 + 1 \cdot 4^2 + 0 \cdot 4^1 + 3 \cdot 4^0$

Вычислим значение этого выражения:

$2 \cdot 64 + 1 \cdot 16 + 0 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 128 + 16 + 3 = 147$

Ответ: 147

555₆

Представим число в виде развернутой суммы по степеням основания 6 (шестеричная система):

$555_6 = 5 \cdot 6^2 + 5 \cdot 6^1 + 5 \cdot 6^0$

Вычислим значение этого выражения:

$5 \cdot 36 + 5 \cdot 6 + 5 \cdot 1 = 180 + 30 + 5 = 215$

Ответ: 215

424₈

Представим число в виде развернутой суммы по степеням основания 8 (восьмеричная система):

$424_8 = 4 \cdot 8^2 + 2 \cdot 8^1 + 4 \cdot 8^0$

Вычислим значение этого выражения:

$4 \cdot 64 + 2 \cdot 8 + 4 \cdot 1 = 256 + 16 + 4 = 276$

Ответ: 276

176₉

Представим число в виде развернутой суммы по степеням основания 9 (девятеричная система):

$176_9 = 1 \cdot 9^2 + 7 \cdot 9^1 + 6 \cdot 9^0$

Вычислим значение этого выражения:

$1 \cdot 81 + 7 \cdot 9 + 6 \cdot 1 = 81 + 63 + 6 = 150$

Ответ: 150

575 Переведи в десятичную систему счисления числа: $11\;010_2$, $2103_4$, $555_6$, $424_8$, $176_9$.

576 Переведи числа 7, 25, 42, 79, 156, 273 из десятичной системы счисления в пятеричную. Сделай проверку.

Для перевода числа из десятичной системы счисления в пятеричную необходимо последовательно делить это число на 5 до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Остатки от деления, записанные в обратном порядке, образуют число в пятеричной системе.

Число 7

Выполним перевод числа 7 в пятеричную систему счисления:

$7 \div 5 = 1$ (остаток $2$)

$1 \div 5 = 0$ (остаток $1$)

Записываем остатки в обратном порядке: $12$. Следовательно, $7_{10} = 12_5$.

Проверка:

Для проверки переведем число $12_5$ обратно в десятичную систему. Для этого умножим каждую цифру числа на 5 в степени, равной ее разряду (нумерация разрядов начинается с нуля справа):

$12_5 = 1 \cdot 5^1 + 2 \cdot 5^0 = 1 \cdot 5 + 2 \cdot 1 = 5 + 2 = 7_{10}$.

Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: $12_5$.

Число 25

Выполним перевод числа 25 в пятеричную систему счисления:

$25 \div 5 = 5$ (остаток $0$)

$5 \div 5 = 1$ (остаток $0$)

$1 \div 5 = 0$ (остаток $1$)

Записываем остатки в обратном порядке: $100$. Следовательно, $25_{10} = 100_5$.

Проверка:

$100_5 = 1 \cdot 5^2 + 0 \cdot 5^1 + 0 \cdot 5^0 = 1 \cdot 25 + 0 \cdot 5 + 0 \cdot 1 = 25 + 0 + 0 = 25_{10}$.

Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: $100_5$.

Число 42

Выполним перевод числа 42 в пятеричную систему счисления:

$42 \div 5 = 8$ (остаток $2$)

$8 \div 5 = 1$ (остаток $3$)

$1 \div 5 = 0$ (остаток $1$)

Записываем остатки в обратном порядке: $132$. Следовательно, $42_{10} = 132_5$.

Проверка:

$132_5 = 1 \cdot 5^2 + 3 \cdot 5^1 + 2 \cdot 5^0 = 1 \cdot 25 + 3 \cdot 5 + 2 \cdot 1 = 25 + 15 + 2 = 42_{10}$.

Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: $132_5$.

Число 79

Выполним перевод числа 79 в пятеричную систему счисления:

$79 \div 5 = 15$ (остаток $4$)

$15 \div 5 = 3$ (остаток $0$)

$3 \div 5 = 0$ (остаток $3$)

Записываем остатки в обратном порядке: $304$. Следовательно, $79_{10} = 304_5$.

Проверка:

$304_5 = 3 \cdot 5^2 + 0 \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^0 = 3 \cdot 25 + 0 \cdot 5 + 4 \cdot 1 = 75 + 0 + 4 = 79_{10}$.

Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: $304_5$.

Число 156

Выполним перевод числа 156 в пятеричную систему счисления:

$156 \div 5 = 31$ (остаток $1$)

$31 \div 5 = 6$ (остаток $1$)

$6 \div 5 = 1$ (остаток $1$)

$1 \div 5 = 0$ (остаток $1$)

Записываем остатки в обратном порядке: $1111$. Следовательно, $156_{10} = 1111_5$.

Проверка:

$1111_5 = 1 \cdot 5^3 + 1 \cdot 5^2 + 1 \cdot 5^1 + 1 \cdot 5^0 = 1 \cdot 125 + 1 \cdot 25 + 1 \cdot 5 + 1 \cdot 1 = 125 + 25 + 5 + 1 = 156_{10}$.

Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: $1111_5$.

Число 273

Выполним перевод числа 273 в пятеричную систему счисления:

$273 \div 5 = 54$ (остаток $3$)

$54 \div 5 = 10$ (остаток $4$)

$10 \div 5 = 2$ (остаток $0$)

$2 \div 5 = 0$ (остаток $2$)

Записываем остатки в обратном порядке: $2043$. Следовательно, $273_{10} = 2043_5$.

Проверка:

$2043_5 = 2 \cdot 5^3 + 0 \cdot 5^2 + 4 \cdot 5^1 + 3 \cdot 5^0 = 2 \cdot 125 + 0 \cdot 25 + 4 \cdot 5 + 3 \cdot 1 = 250 + 0 + 20 + 3 = 273_{10}$.

Результат совпадает с исходным числом.

Ответ: $2043_5$.

576 Переведи числа 7, 25, 42, 79, 156, 273 из десятичной системы счисления в пятеричную. Сделай проверку.

D 577 Прочитай стихотворение и переведи числа в десятичную систему счисления.

Ей было тысяча сто лет.

Она в сто первый класс ходила,

В портфеле по сто книг носила –

Всё это правда, а не бред.

Когда, пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато стоногий.

Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами.

И десять загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И десять тёмно-синих глаз

Рассматривали мир привычно...

Но станет всё совсем обычным,

Когда поймёте наш рассказ.

(Стариков А. Н.)

Стихотворение является загадкой, в которой все числа упоминаются не в десятичной, а в двоичной системе счисления. Чтобы понять смысл стихотворения, необходимо перевести все числа из двоичной системы в десятичную. Для этого каждое число, состоящее из нулей и единиц, нужно представить в виде суммы произведений его цифр на основание системы (число 2), возведённое в степень, равную разряду цифры (разряды нумеруются справа налево, начиная с нуля).

Ей было тысяча сто лет

Число «тысяча сто» в двоичной записи — это $1100_2$. Переведём его в десятичную систему:

$1100_2 = 1 \cdot 2^3 + 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 8 + 4 = 12$.

Ответ: 12 лет.

Она в сто первый класс ходила

Число «сто один» в двоичной записи — это $101_2$. Переведём его в десятичную систему:

$101_2 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 1 \cdot 2^0 = 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 4 + 1 = 5$.

Ответ: в 5-й класс.

В портфеле по сто книг носила

Число «сто» в двоичной записи — это $100_2$. Переведём его в десятичную систему:

$100_2 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 4$.

Ответ: 4 книги.

пыля десятком ног

Число «десять» в двоичной записи — это $10_2$. Переведём его в десятичную систему:

$10_2 = 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2 ногами.

С одним хвостом

Число «один» в двоичной записи — это $1_2$. В десятичной системе это также 1.

$1_2 = 1 \cdot 2^0 = 1$.

Ответ: с 1 хвостом.

зато стоногий

Число «сто» в двоичной записи — это $100_2$. Переведём его в десятичную систему:

$100_2 = 1 \cdot 2^2 + 0 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 4$.

Ответ: четвероногий (4 ноги).

Своими десятью ушами

Число «десять» в двоичной записи — это $10_2$. Переведём его в десятичную систему:

$10_2 = 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2 ушами.

И десять загорелых рук

Число «десять» в двоичной записи — это $10_2$. Переведём его в десятичную систему:

$10_2 = 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2 руки.

И десять тёмно-синих глаз

Число «десять» в двоичной записи — это $10_2$. Переведём его в десятичную систему:

$10_2 = 1 \cdot 2^1 + 0 \cdot 2^0 = 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2 глаза.

C 577 Прочитай стихотворение и переведи числа в десятичную систему счисления.

Ей было 1100 лет. Она ловила каждый звук

Она в 101 класс ходила, Своими десятью ушами,

По 100 учебников носила. И десять загорелых рук

Все это правда, а не бред. Портфель и поводок держали,

Когда, пыля десятком ног, И десять темно-синих глаз

Она шагала по дороге, Рассматривали мир привычно...

За ней бежал ее щенок Но станет все совсем обычным,

С одним хвостом, зато – стоногий! Когда поймешь ты наш рассказ.

578 Реши уравнения: (Стариков А. Н.)

а) $x + 1,8 = -5,8;$

б) $-2\frac{3}{4} - y = -1\frac{1}{2};$

в) $-z + 0,7 = 1,02;$

г) $m : (-6,4) = -\frac{1}{8};$

д) $-4 + |a| = -2,6;$

е) $\frac{-n + 0,5}{0,8} = -1,5.$

а) $x + 1,8 = -5,8$
Чтобы найти неизвестное слагаемое $x$, необходимо из суммы $(-5,8)$ вычесть известное слагаемое $1,8$.
$x = -5,8 - 1,8$
$x = -(5,8 + 1,8)$
$x = -7,6$
Ответ: $-7,6$.

б) $-2\frac{3}{4} - y = -1\frac{1}{2}$
Чтобы найти неизвестное вычитаемое $y$, необходимо из уменьшаемого $(-2\frac{3}{4})$ вычесть разность $(-1\frac{1}{2})$.
$y = -2\frac{3}{4} - (-1\frac{1}{2})$
$y = -2\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2}$
Приведем дроби к общему знаменателю $4$: $1\frac{1}{2} = 1\frac{2}{4}$.
$y = -2\frac{3}{4} + 1\frac{2}{4}$
$y = -(2\frac{3}{4} - 1\frac{2}{4})$
$y = -1\frac{1}{4}$
Ответ: $-1\frac{1}{4}$.

в) $-z + 0,7 = 1,02$
Перепишем уравнение как $0,7 - z = 1,02$. Чтобы найти неизвестное вычитаемое $z$, нужно из уменьшаемого $0,7$ вычесть разность $1,02$.
$z = 0,7 - 1,02$
$z = -0,32$
Ответ: $-0,32$.

г) $m : (-6,4) = -\frac{1}{8}$
Чтобы найти неизвестное делимое $m$, нужно частное $(-\frac{1}{8})$ умножить на делитель $(-6,4)$.
$m = -\frac{1}{8} \cdot (-6,4)$
Произведение двух отрицательных чисел положительно. Переведем десятичную дробь $6,4$ в обыкновенную: $6,4 = \frac{64}{10} = \frac{32}{5}$.
$m = \frac{1}{8} \cdot \frac{32}{5}$
$m = \frac{32}{8 \cdot 5} = \frac{4}{5}$
Переведем результат в десятичную дробь: $m = 0,8$.
Ответ: $0,8$.

д) $-4 + |a| = -2,6$
Изолируем модуль $|a|$, перенеся $-4$ в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$|a| = -2,6 + 4$
$|a| = 1,4$
Модуль числа равен $1,4$. Это означает, что само число может быть либо $1,4$, либо $-1,4$. Уравнение имеет два корня.
$a_1 = 1,4$ и $a_2 = -1,4$.
Ответ: $1,4$; $-1,4$.

е) $\frac{-n + 0,5}{0,8} = -1,5$
Выражение $(-n + 0,5)$ является неизвестным делимым. Чтобы его найти, умножим частное $(-1,5)$ на делитель $0,8$.
$-n + 0,5 = -1,5 \cdot 0,8$
$-n + 0,5 = -1,2$
Теперь найдем $-n$, которое является неизвестным слагаемым. Вычтем $0,5$ из обеих частей уравнения.
$-n = -1,2 - 0,5$
$-n = -1,7$
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы найти $n$.
$n = 1,7$
Ответ: $1,7$.

(Стариков А. Н.)

578 Реши уравнения:

а) $x + 1,8 = -5,8$;

б) $-2\frac{3}{4} - y = -1\frac{1}{2}$;

в) $-z + 0,7 = 1,02$;

г) $m : (-6,4) = -\frac{1}{8}$;

д) $-4 + |a| = -2,6$;

е) $\frac{-n + 0,5}{0,8} = -1,5$.

579 Найди значения выражений:

a) $(+2,5) - (+1,9) - (-4,2) + (-5,3);$

В) $-\frac{2}{5} \cdot 3,5 \cdot (-1\frac{5}{7}) \cdot (-0,3) \cdot 4\frac{1}{6};$

б) $-0,1 - (-0,1)^2 + (-0,1)^3;$

г) $(-3,75 + 6) \cdot (-1\frac{1}{3}) + (-1\frac{1}{6}) : (0,5 - \frac{2}{3}).$

а) $(+2,5) - (+1,9) - (-4,2) + (-5,3)$

Для решения этого выражения раскроем скобки, обращая внимание на знаки перед ними. Знак "минус" перед скобкой меняет знак числа в скобке на противоположный, а "плюс" — оставляет без изменений.

$(+2,5) - (+1,9) - (-4,2) + (-5,3) = 2,5 - 1,9 + 4,2 - 5,3$

Теперь сгруппируем положительные и отрицательные числа для удобства вычислений:

$(2,5 + 4,2) - (1,9 + 5,3)$

Выполним сложение в каждой группе:

$6,7 - 7,2 = -0,5$

Ответ: -0,5

б) $-0,1 - (-0,1)^2 + (-0,1)^3$

Согласно порядку действий, сначала выполним возведение в степень.

1. $(-0,1)^2 = (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01$ (произведение двух отрицательных чисел положительно).

2. $(-0,1)^3 = (-0,1) \cdot (-0,1) \cdot (-0,1) = 0,01 \cdot (-0,1) = -0,001$ (результат возведения отрицательного числа в нечетную степень отрицателен).

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

$-0,1 - 0,01 + (-0,001)$

Раскроем скобки и выполним вычитание:

$-0,1 - 0,01 - 0,001 = -0,11 - 0,001 = -0,111$

Ответ: -0,111

в) $-\frac{2}{5} \cdot 3,5 \cdot (-1\frac{5}{7}) \cdot (-0,3) \cdot 4\frac{1}{6}$

Сначала определим знак конечного произведения. В выражении три отрицательных множителя. Так как число отрицательных множителей нечетное, результат будет отрицательным.

Теперь преобразуем все десятичные и смешанные дроби в неправильные обыкновенные дроби:

$3,5 = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$

$1\frac{5}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 5}{7} = \frac{12}{7}$

$0,3 = \frac{3}{10}$

$4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{25}{6}$

Запишем произведение, учитывая, что итоговый знак - "минус":

$-(\frac{2}{5} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{12}{7} \cdot \frac{3}{10} \cdot \frac{25}{6}) = - \frac{2 \cdot 7 \cdot 12 \cdot 3 \cdot 25}{5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 6}$

Выполним сокращение дробей:

Сокращаем 2 и 7 в числителе и знаменателе: $- \frac{12 \cdot 3 \cdot 25}{5 \cdot 10 \cdot 6}$

Сокращаем 12 и 6 (на 6): $- \frac{2 \cdot 3 \cdot 25}{5 \cdot 10}$

Сокращаем 25 и 5 (на 5): $- \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{10}$

Вычисляем произведение в числителе: $- \frac{30}{10}$

Делим числитель на знаменатель: $-3$

Ответ: -3

г) $(-3,75 + 6) \cdot (-1\frac{1}{3}) + (-1\frac{1}{6}) : (0,5 - \frac{2}{3})$

Решим выражение по действиям, соблюдая их порядок: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце — сложение.

1. Выполним действие в первой скобке: $-3,75 + 6 = 2,25$.

2. Выполним действие во второй скобке, приведя дроби к общему знаменателю: $0,5 - \frac{2}{3} = \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{1}{6}$.

3. Выполним умножение. Преобразуем числа в неправильные дроби: $2,25 = 2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$ и $-1\frac{1}{3} = -\frac{4}{3}$.

$\frac{9}{4} \cdot (-\frac{4}{3}) = - \frac{9 \cdot 4}{4 \cdot 3} = -\frac{9}{3} = -3$.

4. Выполним деление. Преобразуем смешанную дробь в неправильную: $-1\frac{1}{6} = -\frac{7}{6}$.

$(-\frac{7}{6}) : (-\frac{1}{6}) = \frac{7}{6} \cdot \frac{6}{1} = 7$.

5. Сложим результаты действий 3 и 4:

$-3 + 7 = 4$.

Ответ: 4

579 Найди значения выражений:

а) $(+2,5) - (+1,9) - (-4,2) + (-5,3);$

б) $-0,1 - (-0,1)^2 + (-0,1)^3;$

в) $-\frac{2}{5} \cdot 3,5 \cdot \left(-1\frac{5}{7}\right) \cdot (-0,3) \cdot 4\frac{1}{6};$

г) $(-3,75+6) \cdot \left(-1\frac{1}{3}\right) + \left(-1\frac{1}{6}\right) : \left(0,5 - \frac{2}{3}\right).$