Страница 121, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

559 Один экскаватор может вырыть котлован за 24 дня, а второй – за 36 дней. За сколько времени, работая вместе, экскаваторы выроют $ \frac{5}{6} $ котлована?

Для решения задачи сначала определим производительность каждого экскаватора, то есть какую часть котлована каждый из них выкапывает за один день. Примем всю работу по выкапыванию котлована за 1.

1. Производительность первого экскаватора. Он выполняет всю работу за 24 дня, значит, за один день он выкапывает $\frac{1}{24}$ часть котловавана.

2. Производительность второго экскаватора. Он выполняет всю работу за 36 дней, значит, за один день он выкапывает $\frac{1}{36}$ часть котлована.

3. Найдем общую производительность двух экскаваторов при совместной работе. Для этого сложим их производительности:
$P_{общ} = \frac{1}{24} + \frac{1}{36}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для чисел 24 и 36 равно 72.
$P_{общ} = \frac{3}{72} + \frac{2}{72} = \frac{5}{72}$
Таким образом, работая вместе, за один день экскаваторы выкапывают $\frac{5}{72}$ часть котлована.

4. Теперь найдем, за какое время экскаваторы выроют $\frac{5}{6}$ котлована. Для этого нужно требуемый объем работы разделить на общую производительность:
Время = Объем работы / $P_{общ}$
Время = $\frac{5}{6} \div \frac{5}{72} = \frac{5}{6} \times \frac{72}{5}$
Сократим дробь:
Время = $\frac{72}{6} = 12$ дней.

Ответ: 12 дней.

559 Один экскаватор может вырыть котлован за 24 дня, а второй – за 36 дней.

За сколько времени, работая вместе, экскаваторы выроют $\frac{5}{6}$ котлована?

560* Может ли дробь, в которой числитель меньше знаменателя, быть равной дроби, в которой числитель больше знаменателя?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать свойства дробей. Рассмотрим два основных случая.

Случай 1: Дроби с положительными числителем и знаменателем.
Это наиболее распространенное понимание дробей в школьном курсе.

Дробь, в которой числитель меньше знаменателя, называется правильной дробью. Например, $2/3$, $5/8$, $99/100$. Значение любой правильной дроби всегда меньше 1. Если мы обозначим такую дробь как $a/b$, то из условия $a < b$ (где $a$ и $b$ - положительные числа) следует, что $a/b < 1$.

Дробь, в которой числитель больше знаменателя, называется неправильной дробью. Например, $3/2$, $8/5$, $101/100$. Значение любой неправильной дроби всегда больше 1. Если мы обозначим такую дробь как $c/d$, то из условия $c > d$ (где $c$ и $d$ - положительные числа) следует, что $c/d > 1$.

Таким образом, вопрос сводится к следующему: может ли число, которое меньше 1, быть равным числу, которое больше 1? Очевидно, что это невозможно. Следовательно, в случае положительных дробей такая ситуация невозможна.

Случай 2: Если числитель или знаменатель могут быть отрицательными числами.
В этом случае условия "числитель меньше знаменателя" и "числитель больше знаменателя" не гарантируют, что одна дробь будет меньше 1, а другая больше 1. Приведем пример:

Возьмем первую дробь $a/b$. Пусть $a = -3$ и $b = 2$. Условие "числитель меньше знаменателя" выполняется, так как $-3 < 2$. Значение этой дроби равно $-3/2$.

Возьмем вторую дробь $c/d$. Пусть $c = 3$ и $d = -2$. Условие "числитель больше знаменателя" выполняется, так как $3 > -2$. Значение этой дроби равно $3/(-2)$.

Сравним значения этих двух дробей: $-3/2 = -1.5$ и $3/(-2) = -1.5$. Они равны.

Таким образом, если допускать использование отрицательных чисел, то такая ситуация возможна. Однако, поскольку вопрос задан в рамках стандартного школьного курса, наиболее вероятным является предположение, что речь идет о дробях с натуральными (положительными) числителями и знаменателями.

Ответ: Нет, не может. Если рассматривать дроби с положительными числителями и знаменателями, то дробь, у которой числитель меньше знаменателя, всегда меньше 1, а дробь, у которой числитель больше знаменателя, всегда больше 1. Число, меньшее 1, не может быть равно числу, большему 1.

560 Может ли дробь, в которой числитель меньше знаменателя, быть равной дроби, в которой числитель больше знаменателя?

511 Практическая работа

Вырежи из картона прямоугольник, прямоугольный треугольник, круг и закрепи их на стержне (рис. 83). Вращая стержень между ладонями, понаблюдай, как образуются цилиндр, конус, шар.

а) б) в) Рис. 83

a) При вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон (на рисунке она показана пунктирной линией) образуется тело вращения, которое называется цилиндром. Сторона, совпадающая с осью вращения, становится осью симметрии цилиндра и определяет его высоту $h$. Сторона прямоугольника, перпендикулярная оси вращения, описывает круг, который является основанием цилиндра, а её длина становится радиусом основания $r$.
Ответ: Цилиндр.

б) При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов образуется конус. Катет, который служит осью вращения, становится высотой конуса $h$. Второй катет при вращении образует круглое основание конуса, и его длина становится радиусом основания $r$. Гипотенуза треугольника, вращаясь вокруг оси, образует боковую (коническую) поверхность, и её называют образующей конуса $l$.
Ответ: Конус.

в) При вращении круга вокруг его диаметра, который является осью вращения, образуется шар. Поверхность, которая ограничивает шар, называется сферой. Радиус исходного круга $R$ становится радиусом шара, а центр круга — центром шара.
Ответ: Шар.

511 Практическая работа.

Вырежи из картона прямоугольник, прямоугольный треугольник, круг и закрепи их на стержне (рис. 83). Вращая стержень между ладонями, по-наблюдай, как образуются цилиндр, конус, шар.

а) б) в) Рис. 83

512 Нарисуй в масштабе 1 : 4 тело вращения и три его проекции, если оно получается в результате вращения:

а) прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см вокруг большей стороны;

б) прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего катета;

в) круга радиуса 6 см вокруг диаметра.

а) При вращении прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см вокруг большей стороны (10 см) образуется тело вращения – цилиндр.
Высота этого цилиндра $h$ будет равна большей стороне прямоугольника, а радиус основания $r$ – меньшей стороне.
Исходные размеры цилиндра: $h = 10$ см, $r = 4$ см.
Найдем размеры для чертежа в масштабе 1 : 4. Для этого все линейные размеры нужно разделить на 4.
Высота на чертеже: $h' = 10 \text{ см} / 4 = 2,5$ см.
Радиус на чертеже: $r' = 4 \text{ см} / 4 = 1$ см. Диаметр на чертеже: $d' = 2r' = 2$ см.

Три проекции цилиндра:
1. Фронтальная проекция (вид спереди) – это прямоугольник с высотой $h' = 2,5$ см и шириной, равной диаметру основания, $d' = 2$ см.
2. Горизонтальная проекция (вид сверху) – это круг с радиусом $r' = 1$ см (диаметром $d' = 2$ см).
3. Профильная проекция (вид сбоку) – это прямоугольник, идентичный фронтальной проекции, с размерами 2,5 см × 2 см.

Ответ: Тело вращения – цилиндр. В масштабе 1:4 его высота равна 2,5 см, а радиус основания – 1 см. Фронтальная и профильная проекции – прямоугольники 2,5 см × 2 см, горизонтальная проекция – круг диаметром 2 см.

б) При вращении прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего катета (6 см) образуется тело вращения – конус.
Высота конуса $h$ будет равна катету, вокруг которого происходит вращение, а радиус основания $r$ – другому катету.
Исходные размеры конуса: $h = 6$ см, $r = 8$ см.
Найдем размеры для чертежа в масштабе 1 : 4.
Высота на чертеже: $h' = 6 \text{ см} / 4 = 1,5$ см.
Радиус на чертеже: $r' = 8 \text{ см} / 4 = 2$ см. Диаметр на чертеже: $d' = 2r' = 4$ см.

Три проекции конуса:
1. Фронтальная проекция (вид спереди) – это равнобедренный треугольник с высотой $h' = 1,5$ см и основанием, равным диаметру основания конуса, $d' = 4$ см.
2. Горизонтальная проекция (вид сверху) – это круг с радиусом $r' = 2$ см (диаметром $d' = 4$ см).
3. Профильная проекция (вид сбоку) – это равнобедренный треугольник, идентичный фронтальной проекции, с высотой 1,5 см и основанием 4 см.

Ответ: Тело вращения – конус. В масштабе 1:4 его высота равна 1,5 см, а радиус основания – 2 см. Фронтальная и профильная проекции – равнобедренные треугольники с высотой 1,5 см и основанием 4 см, горизонтальная проекция – круг диаметром 4 см.

в) При вращении круга радиуса 6 см вокруг своего диаметра образуется тело вращения – шар (сфера).
Радиус шара $R$ будет равен радиусу исходного круга.
Исходный размер шара: $R = 6$ см.
Найдем размеры для чертежа в масштабе 1 : 4.
Радиус на чертеже: $R' = 6 \text{ см} / 4 = 1,5$ см. Диаметр на чертеже: $D' = 2R' = 3$ см.

Три проекции шара:
Шар симметричен со всех сторон, поэтому все три его проекции будут одинаковыми.
1. Фронтальная проекция (вид спереди) – это круг с радиусом $R' = 1,5$ см (диаметром $D' = 3$ см).
2. Горизонтальная проекция (вид сверху) – это круг с радиусом $R' = 1,5$ см (диаметром $D' = 3$ см).
3. Профильная проекция (вид сбоку) – это круг с радиусом $R' = 1,5$ см (диаметром $D' = 3$ см).

Ответ: Тело вращения – шар. В масштабе 1:4 его радиус равен 1,5 см. Все три проекции (фронтальная, горизонтальная и профильная) – это круги диаметром 3 см.

512 Нарисуй в масштабе $1 : 4$ тело вращения и три его проекции, если оно получается в результате вращения:

а) прямоугольника со сторонами 10 см и 4 см вокруг большей стороны;

б) прямоугольного треугольника с катетами 6 см и 8 см вокруг меньшего катета;

в) круга радиуса 6 см вокруг диаметра.

513 Практическая работа

а) Развёртка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник, одна из сторон которого равна длине окружности основания. Проведи эксперимент, позволяющий выявить зависимость между длиной окружности $C$ и её диаметром $d$. Для этого вырежи полоску бумаги 5 см х 27 см и сверни её в трубочку высотой 5 см. Начерти окружности с диаметрами $d_1 = 4$ см, $d_2 = 6$ см и $d_3 = 8$ см. Совмещай с ними поочерёдно круглое отверстие трубочки, отмечая положение конца полоски (рис. 84).

Рис. 84

Разверни полоску и измерь отрезки, показывающие длины окружностей $C_1$, $C_2$ и $C_3$. Найди отношение соответствующих значений $C$ и $d$ с точностью до сотых. Что ты замечаешь?

б) Вычисли с точностью до сотых среднее арифметическое полученных отношений и обозначь его $\pi$. Запиши формулу зависимости $C$ от $d$.

в) Найди с точностью до сотых разность полученного тобой числа $\pi$ и числа Архимеда $-$ $\frac{22}{7}$.

а) Для решения этой задачи мы будем использовать теоретические значения, которые можно было бы получить в ходе эксперимента. Длина окружности $C$ вычисляется по формуле $C = \pi d$, где $d$ — диаметр, а $\pi \approx 3,14159...$
1. Рассчитаем длины окружностей $C_1$, $C_2$ и $C_3$ для заданных диаметров:
Для $d_1 = 4$ см: $C_1 = \pi \cdot 4 \approx 3.1416 \cdot 4 = 12.5664$ см.
Для $d_2 = 6$ см: $C_2 = \pi \cdot 6 \approx 3.1416 \cdot 6 = 18.8496$ см.
Для $d_3 = 8$ см: $C_3 = \pi \cdot 8 \approx 3.1416 \cdot 8 = 25.1328$ см.

2. Теперь найдём отношение соответствующх значений $C$ и $d$ с точностью до сотых:
Для первой окружности: $\frac{C_1}{d_1} = \frac{12.5664}{4} = 3.1416 \approx 3.14$.
Для второй окружности: $\frac{C_2}{d_2} = \frac{18.8496}{6} = 3.1416 \approx 3.14$.
Для третьей окружности: $\frac{C_3}{d_3} = \frac{25.1328}{8} = 3.1416 \approx 3.14$.

Что можно заметить: Отношение длины окружности к её диаметру ($\frac{C}{d}$) является постоянной величиной, не зависящей от размера окружности.
Ответ: Отношение длины окружности к её диаметру для всех трёх случаев с точностью до сотых равно 3.14. Заметно, что это отношение постоянно.

б) 1. Вычислим среднее арифметическое полученных отношений:
Среднее значение = $\frac{3.14 + 3.14 + 3.14}{3} = \frac{9.42}{3} = 3.14$.

2. Обозначим это число буквой $\pi$ (пи). Таким образом, из нашего эксперимента мы получили, что $\pi \approx 3.14$.

3. Так как мы установили, что отношение $\frac{C}{d}$ постоянно и равно $\pi$, мы можем записать формулу зависимости $C$ от $d$:
$\frac{C}{d} = \pi$, откуда $C = \pi d$.
Ответ: Среднее арифметическое равно 3.14. Формула зависимости: $C = \pi d$.

в) 1. Найдём разность между полученным нами числом $\pi \approx 3.14$ и числом Архимеда $\frac{22}{7}$.
Сначала представим число Архимеда в виде десятичной дроби:
$\frac{22}{7} \approx 3.142857...$

2. Теперь найдём разность и округлим её до сотых:
Разность = $|\pi - \frac{22}{7}| \approx |3.14 - 3.142857...| = |-0.002857...| = 0.002857...$
Округляя до сотых, получаем 0.00.
Ответ: Разность с точностью до сотых равна 0.00.

513 Практическая работа.

а) Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник, одна из сторон которого равна длине окружности основания. Проведи эксперимент, позволяющий выявить зависимость между длиной окружности $C$ и ее диаметром $d$. Для этого вырежи полоску бумаги 5 см x 27 см и сверни ее в трубочку высотой 5 см. Начерти окружности с диаметрами $d_1 = 4$ см, $d_2 = 6$ см и $d_3 = 8$ см. Совмещай с ними поочередно круглое отверстие трубочки, отмечая положение конца полоски (рис. 84).

Рис. 84

Разверни полоску и измерь отрезки, показывающие длины окружностей $C_1$, $C_2$ и $C_3$. Найди отношение соответствующих значений $C$ и $d$ с точностью до сотых. Что ты замечаешь?

б) Вычисли с точностью до сотых среднее арифметическое полученных отношений и обозначь его $\pi$. Запиши формулу зависимости $C$ от $d$.

в) Найди с точностью до сотых разность полученного тобой числа $\pi$ и числа Архимеда $-$ $\frac{22}{7}$.