Страница 127, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

580 Построй математическую модель и реши её методом перебора:

На двух полках было 52 книги. Когда с первой полки взяли 40 % стоящих на ней книг, а со второй полки — $ \frac{4}{9} $ стоящих на ней книг, то на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Построение математической модели

Пусть $x$ — первоначальное количество книг на первой полке, а $y$ — первоначальное количество книг на второй полке.

По условию, всего на двух полках было 52 книги. Это позволяет составить первое уравнение:
$x + y = 52$

С первой полки взяли 40% книг, значит, на ней осталось $100\% - 40\% = 60\%$ книг. Количество оставшихся на первой полке книг равно $0.6x$.

Со второй полки взяли $\frac{4}{9}$ книг, значит, на ней осталось $1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ от первоначального количества. Количество оставшихся на второй полке книг равно $\frac{5}{9}y$.

После этого количество книг на обеих полках стало поровну. Это позволяет составить второе уравнение:
$0.6x = \frac{5}{9}y$

Поскольку количество книг может быть только целым числом, $x$ и $y$ должны быть натуральными числами.
Из выражения для оставшихся книг на первой полке $0.6x = \frac{6}{10}x = \frac{3}{5}x$ следует, что число $x$ должно быть кратно 5 (чтобы результат был целым числом).
Аналогично, из выражения $\frac{5}{9}y$ следует, что число $y$ должно быть кратно 9.

Решение методом перебора

Итак, нам необходимо найти пару натуральных чисел $x$ и $y$, для которых одновременно выполняются три условия:
1. $x + y = 52$
2. $x$ кратно 5
3. $y$ кратно 9

Будем перебирать возможные значения для $y$ (числа, кратные 9 и меньшие 52) и для каждого из них вычислять соответствующее значение $x$ по формуле $x = 52 - y$. Затем проверим, кратно ли полученное значение $x$ числу 5.

• Пусть $y = 9$. Тогда $x = 52 - 9 = 43$. Число 43 не кратно 5. Вариант не подходит.
• Пусть $y = 18$. Тогда $x = 52 - 18 = 34$. Число 34 не кратно 5. Вариант не подходит.
• Пусть $y = 27$. Тогда $x = 52 - 27 = 25$. Число 25 кратно 5. Этот вариант подходит.
• Пусть $y = 36$. Тогда $x = 52 - 36 = 16$. Число 16 не кратно 5. Вариант не подходит.
• Пусть $y = 45$. Тогда $x = 52 - 45 = 7$. Число 7 не кратно 5. Вариант не подходит.

Единственная пара чисел, удовлетворяющая всем условиям, — это $x = 25$ и $y = 27$.
Проверим, выполняется ли для этой пары равенство $0.6x = \frac{5}{9}y$:
Количество книг, оставшихся на первой полке: $0.6 \cdot 25 = 15$.
Количество книг, оставшихся на второй полке: $\frac{5}{9} \cdot 27 = 5 \cdot 3 = 15$.
$15 = 15$. Равенство верно, значит, решение найдено правильно.

Ответ: первоначально на первой полке было 25 книг, а на второй — 27 книг.

580 Построй математическую модель и реши ее методом перебора:

На двух полках было 52 книги. Когда с первой полки взяли $40\%$ стоящих на ней книг, а со второй полки – $\frac{4}{9}$ стоящих на ней книг, то на обеих полках книг стало поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Запиши число $100_{10}$ в двоичной, пятеричной, восьмиричной, двенадцатиричной системах счисления.

Для перевода числа из десятичной системы счисления в любую другую, нужно последовательно делить это число на основание новой системы счисления до тех пор, пока частное не станет равным нулю. Полученные остатки, записанные в обратном порядке, и будут являться представлением числа в новой системе счисления.

Двоичная система счисления
Переведем число $100_{10}$ в двоичную систему счисления (основание 2).
$100 \div 2 = 50$ (остаток $0$)
$50 \div 2 = 25$ (остаток $0$)
$25 \div 2 = 12$ (остаток $1$)
$12 \div 2 = 6$ (остаток $0$)
$6 \div 2 = 3$ (остаток $0$)
$3 \div 2 = 1$ (остаток $1$)
$1 \div 2 = 0$ (остаток $1$)
Записываем остатки в обратном порядке (снизу вверх): $1100100$.
Ответ: $100_{10} = 1100100_2$.

Пятеричная система счисления
Переведем число $100_{10}$ в пятеричную систему счисления (основание 5).
$100 \div 5 = 20$ (остаток $0$)
$20 \div 5 = 4$ (остаток $0$)
$4 \div 5 = 0$ (остаток $4$)
Записываем остатки в обратном порядке: $400$.
Ответ: $100_{10} = 400_5$.

Восьмиричная система счисления
Переведем число $100_{10}$ в восьмеричную систему счисления (основание 8).
$100 \div 8 = 12$ (остаток $4$)
$12 \div 8 = 1$ (остаток $4$)
$1 \div 8 = 0$ (остаток $1$)
Записываем остатки в обратном порядке: $144$.
Ответ: $100_{10} = 144_8$.

Двенадцатиричная система счисления
Переведем число $100_{10}$ в двенадцатеричную систему счисления (основание 12). В этой системе используются цифры от 0 до 9 и буквы A (для 10) и B (для 11).
$100 \div 12 = 8$ (остаток $4$)
$8 \div 12 = 0$ (остаток $8$)
Записываем остатки в обратном порядке: $84$.
Ответ: $100_{10} = 84_{12}$.

c

Запиши число $100_{10}$ в двоичной, пятеричной, восьмиричной, двенадцатиричной системах счисления.

* 582

Составь таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления и выполни действия:

a) $21021_3 + 210202_3$;

б) $102_3 \cdot 201_3$.

Троичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 3. Для записи чисел в ней используются три цифры: 0, 1 и 2.

Таблица сложения для троичной системы

Сложение в троичной системе выполняется по тем же правилам, что и в десятичной, но перенос в следующий разряд происходит, когда сумма достигает или превышает 3.

Например, $1_3 + 2_3 = 3_{10}$. Поскольку $3 = 1 \cdot 3^1 + 0 \cdot 3^0$, то в троичной системе это записывается как $10_3$. Аналогично, $2_3 + 2_3 = 4_{10} = 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 11_3$.

Таблица умножения для троичной системы

Умножение также выполняется аналогично десятичной системе.

Например, $2_3 \cdot 2_3 = 4_{10} = 1 \cdot 3^1 + 1 \cdot 3^0 = 11_3$.

Теперь выполним действия, используя эти таблицы.

а) $21021_3 + 210202_3$

Выполним сложение столбиком. Складываем цифры в каждом разряде справа налево. Если сумма равна или больше 3, происходит перенос единицы в старший разряд.
¹ ¹ ¹¹ 021021_3+ 210202_3----------- 1002000_3
Пояснение по разрядам:
1. Разряд $3^0$ (единицы): $1_3 + 2_3 = 10_3$. Пишем 0, переносим 1 в следующий разряд.
2. Разряд $3^1$ (тройки): $2_3 + 0_3 + 1 \text{(перенос)} = 10_3$. Пишем 0, переносим 1.
3. Разряд $3^2$ (девятки): $0_3 + 2_3 + 1 \text{(перенос)} = 10_3$. Пишем 0, переносим 1.
4. Разряд $3^3$: $1_3 + 0_3 + 1 \text{(перенос)} = 2_3$. Пишем 2.
5. Разряд $3^4$: $2_3 + 1_3 = 10_3$. Пишем 0, переносим 1.
6. Разряд $3^5$: Для удобства представим первое число как $021021_3$. Тогда $0 + 2_3 + 1 \text{(перенос)} = 10_3$. Пишем 10.
Сложив все разряды, получаем итоговый результат.
Ответ: $1002000_3$.

б) $102_3 \cdot 201_3$

Выполним умножение столбиком. Умножаем первое число последовательно на каждую цифру второго числа (справа налево), получая неполные произведения. Затем складываем их с учетом сдвига.
102_3 × 201_3 --------- 102 ($102_3 \cdot 1_3$) 000 ($102_3 \cdot 0_3$, со сдвигом на 1 разряд)+ 211 ($102_3 \cdot 2_3$, со сдвигом на 2 разряда) --------- 21202_3
Распишем шаги:
1. Умножаем $102_3$ на $1_3$: $102_3 \cdot 1 = 102_3$.
2. Умножаем $102_3$ на $0_3$: $102_3 \cdot 0 = 0$. Записываем $000$ со сдвигом на один разряд влево.
3. Умножаем $102_3$ на $2_3$: $2_3 \cdot 2_3 = 11_3$ (пишем 1, 1 в уме); $0_3 \cdot 2_3 + 1 = 1_3$ (пишем 1); $1_3 \cdot 2_3 = 2_3$ (пишем 2). Получаем $211_3$. Записываем со сдвигом на два разряда влево.
4. Складываем неполные произведения: $102_3 + 0000_3 + 21100_3 = 21202_3$.
Ответ: $21202_3$.

582 Составь таблицы сложения и умножения для троичной системы счисления и выполни действия:

а) $21021_3 + 210202_3$;

б) $102_3 \cdot 201_3$.

583 Закончи предложение и переведи его на математический язык.

1) Число, противоположное числу $+4$, равно ...

2) Число, противоположное числу $-2,5$, равно ...

1)

По определению, два числа называются противоположными, если они отличаются друг от друга только знаком. Для любого числа $a$ противоположным ему является число $-a$. Сумма противоположных чисел равна нулю: $a + (-a) = 0$.

Чтобы найти число, противоположное числу +4, нужно изменить его знак «+» на «-».

Законченное предложение: Число, противоположное числу +4, равно -4.

Перевод на математический язык: операция нахождения противоположного числа записывается с помощью знака «-» перед числом. Таким образом, утверждение "число, противоположное числу +4, равно -4" записывается в виде равенства:

$-(+4) = -4$

Ответ: Число, противоположное числу +4, равно -4. На математическом языке: $-(+4) = -4$.

2)

Чтобы найти число, противоположное числу -2,5, необходимо изменить его знак «-» на «+».

Законченное предложение: Число, противоположное числу -2,5, равно +2,5.

Перевод на математический язык: операция нахождения противоположного числа для -2,5 записывается как $-(-2,5)$. Минус на минус дает плюс, поэтому равенство выглядит следующим образом:

$-(-2,5) = 2,5$

Ответ: Число, противоположное числу -2,5, равно +2,5. На математическом языке: $-(-2,5) = 2,5$.

583 Закончи предложение и переведи его на математический язык:

1) Число, противоположное числу $ +4 $, равно ...

2) Число, противоположное числу $-2,5$, равно ...

584. Сравни:

а) -8 и 4;

б) -3,6 и -5;

в) -7 и 0;

г) $- \frac{2}{3}$ и $- \frac{2}{9}$.

а) Для сравнения чисел -8 и 4, нужно вспомнить правило: любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа. Число -8 является отрицательным, а число 4 — положительным. Следовательно, -8 меньше, чем 4.
Ответ: $-8 < 4$.

б) Чтобы сравнить два отрицательных числа -3,6 и -5, можно представить их на числовой оси. Чем правее расположено число, тем оно больше. Число -3,6 находится правее числа -5, следовательно, -3,6 больше, чем -5. Другой способ — сравнить их модули (абсолютные величины). Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. $|-3,6| = 3,6$ и $|-5| = 5$. Так как $3,6 < 5$, то $-3,6 > -5$.
Ответ: $-3,6 > -5$.

в) При сравнении чисел -7 и 0, применяется правило: любое отрицательное число меньше нуля. Так как -7 — отрицательное число, оно меньше 0.
Ответ: $-7 < 0$.

г) Для сравнения двух отрицательных дробей $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{2}{9}$ необходимо привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 9 это 9. Приведем дробь $-\frac{2}{3}$ к знаменателю 9, домножив числитель и знаменатель на 3:
$-\frac{2}{3} = -\frac{2 \times 3}{3 \times 3} = -\frac{6}{9}$.
Теперь сравним дроби $-\frac{6}{9}$ и $-\frac{2}{9}$. Из двух отрицательных чисел с одинаковыми знаменателями больше то, у которого числитель (по модулю) меньше. Так как $|-6| > |-2|$, то $-\frac{6}{9} < -\frac{2}{9}$. Следовательно, $-\frac{2}{3} < -\frac{2}{9}$.
Ответ: $-\frac{2}{3} < -\frac{2}{9}$.

584. Сравни:

a) -8 и 4;

б) -3,6 и -5;

в) -7 и 0;

г) $-\frac{2}{3}$ и $-\frac{2}{9}$.

585 Вычисли:

а) $0,3 - 3$;

в) $-2,4 + 0,9$;

д) $-2,9 \cdot (-0,2)$;

ж) $-4,048 : (-0,8)$;

б) $-1,4 - 5,8$;

г) $-4,6 + 4\frac{3}{5}$;

е) $1,2 : (-\frac{3}{25})$;

з) $-1,35 \cdot \frac{2}{3}$.

а) $0,3 - 3$

Чтобы из меньшего числа вычесть большее, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед результатом знак минус.

$0,3 - 3 = -(3 - 0,3) = -2,7$

Ответ: $-2,7$

б) $-1,4 - 5,8$

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и поставить перед полученным числом знак минус.

$-1,4 - 5,8 = -(1,4 + 5,8) = -7,2$

Ответ: $-7,2$

в) $-2,4 + 0,9$

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из большего модуля вычесть меньший и поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше.

$-2,4 + 0,9 = -(2,4 - 0,9) = -1,5$

Ответ: $-1,5$

г) $-4,6 + 4 \frac{3}{5}$

Для выполнения сложения преобразуем смешанную дробь в десятичную.

$4 \frac{3}{5} = 4 + \frac{3}{5} = 4 + \frac{6}{10} = 4,6$

Теперь выполним сложение:

$-4,6 + 4,6 = 0$

Ответ: $0$

д) $-2,9 \cdot (-0,2)$

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Умножим их модули.

$2,9 \cdot 0,2 = 0,58$

Ответ: $0,58$

е) $1,2 : (-\frac{3}{25})$

При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Представим десятичное число $1,2$ в виде обыкновенной дроби: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

Деление на дробь заменяется умножением на обратную ей дробь:

$\frac{6}{5} : (-\frac{3}{25}) = \frac{6}{5} \cdot (-\frac{25}{3}) = -(\frac{6 \cdot 25}{5 \cdot 3}) = -(\frac{2 \cdot 5}{1 \cdot 1}) = -10$

Ответ: $-10$

ж) $-4,048 : (-0,8)$

Частное двух отрицательных чисел является положительным числом. Разделим их модули.

Чтобы выполнить деление на десятичную дробь, перенесем запятую в делимом и делителе на один знак вправо:

$4,048 : 0,8 = 40,48 : 8 = 5,06$

Ответ: $5,06$

з) $-1,35 \cdot \frac{2}{3}$

Произведение отрицательного и положительного чисел является отрицательным числом. Представим десятичную дробь $1,35$ в виде обыкновенной дроби.

$1,35 = \frac{135}{100} = \frac{27}{20}$

Выполним умножение:

$-\frac{27}{20} \cdot \frac{2}{3} = -(\frac{27 \cdot 2}{20 \cdot 3}) = -(\frac{9 \cdot 1}{10 \cdot 1}) = -\frac{9}{10} = -0,9$

Ответ: $-0,9$

585 Вычисли:

а) $0,3 - 3;$

в) $-2,4 + 0,9;$

д) $-2,9 \cdot (-0,2);$

ж) $-4,048 : (-0,8);$

б) $-1,4 - 5,8;$

г) $-4,6 + 4 \frac{3}{5};$

е) $1,2 : \left(-\frac{3}{25}\right);$

з) $-1,35 \cdot \frac{2}{3}.$

586 Реши уравнения:

1) $-2,4 + a = -4;$

2) $-0,7b = -0,28;$

3) $8 + (-x) = -3,5;$

4) $y - 1,7 = -6,2;$

5) $2c(c + 6) = 0;$

6) $\frac{d}{-5,3} = 0,1;$

7) $|m| = 4;$

8) $\frac{3}{-k} = -3.$

1) Дано уравнение: $-2,4 + a = -4$.
Чтобы найти $a$, перенесём $-2,4$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$a = -4 + 2,4$
$a = -1,6$
Ответ: -1,6

2) Дано уравнение: $-0,7b = -0,28$.
Чтобы найти $b$, разделим обе части уравнения на $-0,7$:
$b = \frac{-0,28}{-0,7}$
$b = \frac{0,28}{0,7} = \frac{2,8}{7} = 0,4$
Ответ: 0,4

3) Дано уравнение: $8 + (-x) = -3,5$.
Раскроем скобки: $8 - x = -3,5$.
Перенесём $8$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$-x = -3,5 - 8$
$-x = -11,5$
Умножим обе части на $-1$, чтобы найти $x$:
$x = 11,5$
Ответ: 11,5

4) Дано уравнение: $y - 1,7 = -6,2$.
Чтобы найти $y$, перенесём $-1,7$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$y = -6,2 + 1,7$
$y = -4,5$
Ответ: -4,5

5) Дано уравнение: $2c(c + 6) = 0$.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю:
1) $2c = 0 \implies c = 0$
2) $c + 6 = 0 \implies c = -6$
Уравнение имеет два корня.
Ответ: 0; -6

6) Дано уравнение: $\frac{d}{-5,3} = 0,1$.
Чтобы найти $d$, умножим обе части уравнения на $-5,3$:
$d = 0,1 \times (-5,3)$
$d = -0,53$
Ответ: -0,53

7) Дано уравнение: $|m| = 4$.
Модуль числа равен 4, если само число равно 4 или -4.
$m_1 = 4$
$m_2 = -4$
Ответ: 4; -4

8) Дано уравнение: $\frac{3}{-k} = -3$.
Это пропорция, которую можно записать как $\frac{3}{-k} = \frac{-3}{1}$.
Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):
$3 \times 1 = -k \times (-3)$
$3 = 3k$
Разделим обе части на 3:
$k = 1$
Ответ: 1

586 Реши уравнения:

1) $-2.4 + a = -4;$ 3) $8 + (-x) = -3.5;$ 5) $2c(c + 6) = 0;$ 7) $|m| = 4;$

2) $-0.7b = -0.28;$ 4) $y - 1.7 = -6.2;$ 6) $\frac{d}{-5.3} = 0.1;$ 8) $\frac{2}{-k} = -3.$

587 Найди значения выражений:

a) $-2,5 + (-7,4) - (-1,2) - (+3,9) + (+0,6);$

b) $-2 \cdot 1,9 \cdot (-5) \cdot 2,5 \cdot (-0,4) \cdot 3;$

б) $-(4,8 - 1,92) - (-5,4 + 8,04) - 1,92;$

г) $\frac{-5,4 \cdot 3,9 \cdot (-0,02)}{0,42 \cdot (-0,18) \cdot (-2,6)};$

а) $-2,5 + (-7,4) - (-1,2) - (+3,9) + (+0,6)$

Сначала раскроем скобки. Сложение отрицательного числа равносильно вычитанию, вычитание отрицательного числа — сложению, а вычитание положительного — вычитанию.

$-2,5 - 7,4 + 1,2 - 3,9 + 0,6$

Сгруппируем положительные и отрицательные числа для удобства вычислений:

$(1,2 + 0,6) - (2,5 + 7,4 + 3,9)$

Выполним сложение в каждой группе:

$1,2 + 0,6 = 1,8$

$2,5 + 7,4 + 3,9 = 9,9 + 3,9 = 13,8$

Подставим результаты обратно в выражение:

$1,8 - 13,8 = -12$

Ответ: $-12$.

б) $-(4,8 - 1,92) - (-5,4 + 8,04) - 1,92$

Раскроем скобки. Если перед скобкой стоит знак «минус», то знаки всех слагаемых в скобках меняются на противоположные.

$-4,8 - (-1,92) - (-5,4) - (+8,04) - 1,92$

$-4,8 + 1,92 + 5,4 - 8,04 - 1,92$

Теперь сгруппируем слагаемые. Заметим, что $+1,92$ и $-1,92$ являются противоположными числами, и их сумма равна нулю. Сократим их.

$-4,8 + 5,4 - 8,04$

Выполним действия по порядку:

$-4,8 + 5,4 = 0,6$

$0,6 - 8,04 = -7,44$

Ответ: $-7,44$.

в) $-2 \cdot 1,9 \cdot (-5) \cdot 2,5 \cdot (-0,4) \cdot 3$

Сначала определим знак произведения. В выражении три отрицательных множителя ($-2$, $-5$, $-0,4$). Поскольку количество отрицательных множителей нечетное, результат будет отрицательным.

Теперь перемножим модули чисел, сгруппировав их для удобства вычислений:

$(2 \cdot 5) \cdot (2,5 \cdot 0,4) \cdot (1,9 \cdot 3)$

Вычислим произведения в каждой скобке:

$2 \cdot 5 = 10$

$2,5 \cdot 0,4 = 1$

$1,9 \cdot 3 = 5,7$

Теперь перемножим полученные результаты:

$10 \cdot 1 \cdot 5,7 = 57$

Учитывая, что итоговый знак должен быть отрицательным, получаем $-57$.

Ответ: $-57$.

г) $\frac{-5,4 \cdot 3,9 \cdot (-0,02)}{0,42 \cdot (-0,18) \cdot (-2,6)}$

Определим знак всего выражения. В числителе произведение двух отрицательных чисел, поэтому числитель положителен. В знаменателе произведение двух отрицательных чисел, поэтому знаменатель тоже положителен. Частное двух положительных чисел — число положительное.

Теперь вычислим значение дроби, используя модули чисел:

$\frac{5,4 \cdot 3,9 \cdot 0,02}{0,42 \cdot 0,18 \cdot 2,6}$

Выполним сокращение дроби. Удобно сокращать числа с похожими значащими цифрами:

1. Сократим $5,4$ и $0,18$: $\frac{5,4}{0,18} = \frac{540}{18} = 30$.

2. Сократим $3,9$ и $2,6$: $\frac{3,9}{2,6} = \frac{39}{26} = \frac{3 \cdot 13}{2 \cdot 13} = \frac{3}{2}$.

Подставим полученные значения в выражение:

$\frac{30 \cdot \frac{3}{2} \cdot 0,02}{0,42}$

Вычислим числитель:

$30 \cdot \frac{3}{2} \cdot 0,02 = 15 \cdot 3 \cdot 0,02 = 45 \cdot 0,02 = 0,9$

Теперь выражение имеет вид:

$\frac{0,9}{0,42}$

Чтобы избавиться от дробей, умножим числитель и знаменатель на 100:

$\frac{0,9 \cdot 100}{0,42 \cdot 100} = \frac{90}{42}$

Сократим полученную дробь на 6:

$\frac{90 \div 6}{42 \div 6} = \frac{15}{7}$

Ответ: $\frac{15}{7}$.

587 Найди значения выражений:

a) $ -2.5 + (-7.4) - (-1.2) - (+3.9) + (+0.6) $

б) $ -(4.8 - 1.92) - (-5.4 + 8.04) - 1.92 $

в) $ -2 \cdot 1.9 \cdot (-5) \cdot 2.5 \cdot (-0.4) \cdot 3 $

г) $ \frac{-5.4 \cdot 3.9 \cdot (-0.02)}{0.42 \cdot (-0.18) \cdot (-2.6)} $

588 В доме 126 квартир. Число однокомнатных квартир в $1.5$ раза больше числа двухкомнатных, а число трёхкомнатных составляет $75\%$ числа двухкомнатных. Остальные 9 квартир – четырёхкомнатные. Сколько в доме однокомнатных, двухкомнатных и трёхкомнатных квартир?

Для решения задачи обозначим количество двухкомнатных квартир через переменную $x$. Тогда, исходя из условия:

• Количество однокомнатных квартир: $1.5x$
• Количество трёхкомнатных квартир: $75\%$ от $x$, что равно $0.75x$
• Количество четырёхкомнатных квартир: 9

Всего в доме 126 квартир. Мы можем составить уравнение, сложив количество квартир всех типов:

$1.5x + x + 0.75x + 9 = 126$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$:

1. Сложим все слагаемые с $x$:

$(1.5 + 1 + 0.75)x + 9 = 126$

$3.25x + 9 = 126$

2. Перенесём 9 в правую часть уравнения, изменив знак:

$3.25x = 126 - 9$

$3.25x = 117$

3. Найдём $x$, разделив 117 на 3.25:

$x = \frac{117}{3.25} = 36$

Мы нашли, что в доме 36 двухкомнатных квартир. Теперь мы можем найти количество однокомнатных и трёхкомнатных квартир.

Сколько в доме однокомнатных квартир?

Количество однокомнатных квартир равно $1.5x$. Подставим найденное значение $x = 36$:

$1.5 \cdot 36 = 54$

Ответ: 54 однокомнатные квартиры.

Сколько в доме двухкомнатных квартир?

Количество двухкомнатных квартир мы обозначили как $x$ и уже нашли его значение.

$x = 36$

Ответ: 36 двухкомнатных квартир.

Сколько в доме трёхкомнатных квартир?

Количество трёхкомнатных квартир равно $0.75x$. Подставим $x = 36$:

$0.75 \cdot 36 = 27$

Ответ: 27 трёхкомнатных квартир.

588 В доме 126 квартир. Число однокомнатных квартир в 1,5 раза больше числа двухкомнатных, а число трехкомнатных составляет 75% числа двухкомнатных. Остальные 9 квартир – четырехкомнатные. Сколько в доме однокомнатных, двухкомнатных и трехкомнатных квартир?

589. Длина прямоугольника на 1,2 см больше ширины. Чему равны площадь и периметр прямоугольника, если:

а) длина больше ширины в 1,6 раза;

б) ширина составляет $ \frac{2}{3} $ длины;

в) длина на 30 % больше ширины;

г) ширина на 20 % меньше длины?

Обозначим длину прямоугольника как $L$, а ширину как $W$.

Из основного условия задачи известно, что длина на 1,2 см больше ширины. Это можно записать в виде уравнения:

$L = W + 1.2$

Теперь решим задачу для каждого из подпунктов, используя это основное соотношение.

а)

По условию этого пункта, длина больше ширины в 1,6 раза, то есть $L = 1.6 \cdot W$.

Мы получили систему из двух уравнений:

$\begin{cases} L = W + 1.2 \\ L = 1.6 \cdot W \end{cases}$

Приравняем правые части уравнений:

$W + 1.2 = 1.6 \cdot W$

$1.6W - W = 1.2$

$0.6W = 1.2$

$W = \frac{1.2}{0.6} = 2$ см.

Теперь найдем длину:

$L = W + 1.2 = 2 + 1.2 = 3.2$ см.

Вычислим площадь ($S$) и периметр ($P$):

$S = L \cdot W = 3.2 \cdot 2 = 6.4$ см².

$P = 2 \cdot (L + W) = 2 \cdot (3.2 + 2) = 2 \cdot 5.2 = 10.4$ см.

Ответ: площадь равна 6,4 см², периметр равен 10,4 см.

б)

По условию, ширина составляет $\frac{2}{3}$ длины, то есть $W = \frac{2}{3} \cdot L$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} L = W + 1.2 \\ W = \frac{2}{3}L \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$L = \frac{2}{3}L + 1.2$

$L - \frac{2}{3}L = 1.2$

$\frac{1}{3}L = 1.2$

$L = 1.2 \cdot 3 = 3.6$ см.

Теперь найдем ширину:

$W = L - 1.2 = 3.6 - 1.2 = 2.4$ см.

Вычислим площадь ($S$) и периметр ($P$):

$S = L \cdot W = 3.6 \cdot 2.4 = 8.64$ см².

$P = 2 \cdot (L + W) = 2 \cdot (3.6 + 2.4) = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: площадь равна 8,64 см², периметр равен 12 см.

в)

По условию, длина на 30% больше ширины. Это означает, что $L = W + 0.3W = 1.3W$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} L = W + 1.2 \\ L = 1.3W \end{cases}$

Приравняем правые части:

$W + 1.2 = 1.3W$

$1.3W - W = 1.2$

$0.3W = 1.2$

$W = \frac{1.2}{0.3} = 4$ см.

Найдем длину:

$L = W + 1.2 = 4 + 1.2 = 5.2$ см.

Вычислим площадь ($S$) и периметр ($P$):

$S = L \cdot W = 5.2 \cdot 4 = 20.8$ см².

$P = 2 \cdot (L + W) = 2 \cdot (5.2 + 4) = 2 \cdot 9.2 = 18.4$ см.

Ответ: площадь равна 20,8 см², периметр равен 18,4 см.

г)

По условию, ширина на 20% меньше длины. Это означает, что $W = L - 0.2L = 0.8L$.

Составим систему уравнений:

$\begin{cases} L = W + 1.2 \\ W = 0.8L \end{cases}$

Подставим второе уравнение в первое:

$L = 0.8L + 1.2$

$L - 0.8L = 1.2$

$0.2L = 1.2$

$L = \frac{1.2}{0.2} = 6$ см.

Найдем ширину:

$W = L - 1.2 = 6 - 1.2 = 4.8$ см.

Вычислим площадь ($S$) и периметр ($P$):

$S = L \cdot W = 6 \cdot 4.8 = 28.8$ см².

$P = 2 \cdot (L + W) = 2 \cdot (6 + 4.8) = 2 \cdot 10.8 = 21.6$ см.

Ответ: площадь равна 28,8 см², периметр равен 21,6 см.

589 Длина прямоугольника на 1,2 см больше ширины. Чему равны площадь и периметр прямоугольника, если:

а) длина больше ширины в 1,6 раза;

б) ширина составляет $\frac{2}{3}$ длины;

в) длина на 30% больше ширины;

г) ширина на 20% меньше длины?

K 536 Вырази в единицах измерения $e_1, e_2, e_3$:

а) длину отрезка AB;

$AB = 8e_1$

$AB = 4e_2$

$AB = 2e_3$

б) площадь прямоугольника ABCD;

$S_{ABCD} = 40e_1$

$S_{ABCD} = 10e_2$

$S_{ABCD} = 2.5e_3$

в) объём прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

$V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = 24e_1$

$V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = 3e_2$

$V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = 0.375e_3$

Как изменяется результат измерения величин при увеличении мерки, при уменьшении мерки?

а) длину отрезка AB;

Примем длину самого маленького деления отрезка за 1 условную единицу длины (у.е.). Весь отрезок AB состоит из 8 таких делений, следовательно, его длина равна 8 у.е.

Измерительная мерка $e_1$ равна 1 делению (1 у.е.).

Измерительная мерка $e_2$ равна 2 делениям (2 у.е.).

Измерительная мерка $e_3$ равна 4 делениям (4 у.е.).

Чтобы найти длину отрезка в заданных единицах, разделим его общую длину на длину соответствующей мерки:

Длина в единицах $e_1$: $8 \div 1 = 8$. То есть, длина AB равна $8e_1$.

Длина в единицах $e_2$: $8 \div 2 = 4$. То есть, длина AB равна $4e_2$.

Длина в единицах $e_3$: $8 \div 4 = 2$. То есть, длина AB равна $2e_3$.

Ответ: $8e_1$; $4e_2$; $2e_3$.

б) площадь прямоугольника ABCD;

Примем площадь одного маленького квадратика за 1 условную единицу площади (кв.ед.). Прямоугольник ABCD состоит из $8 \times 4 = 32$ таких квадратиков, следовательно, его площадь равна 32 кв.ед.

Измерительная мерка $e_1$ равна 1 квадратику (1 кв.ед.).

Измерительная мерка $e_2$ равна $2 \times 2 = 4$ квадратикам (4 кв.ед.).

Измерительная мерка $e_3$ равна $2 \times 4 = 8$ квадратикам (8 кв.ед.).

Чтобы найти площадь в заданных единицах, разделим её общую площадь на площадь соответствующей мерки:

Площадь в единицах $e_1$: $32 \div 1 = 32$. То есть, площадь ABCD равна $32e_1$.

Площадь в единицах $e_2$: $32 \div 4 = 8$. То есть, площадь ABCD равна $8e_2$.

Площадь в единицах $e_3$: $32 \div 8 = 4$. То есть, площадь ABCD равна $4e_3$.

Ответ: $32e_1$; $8e_2$; $4e_3$.

в) объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁;

Примем объём одного маленького кубика за 1 условную единицу объёма (куб.ед.). Параллелепипед состоит из $5 \times 4 \times 2 = 40$ таких кубиков, следовательно, его объём равен 40 куб.ед.

Измерительная мерка $e_1$ равна 1 кубику (1 куб.ед.).

Измерительная мерка $e_2$ равна $2 \times 2 \times 2 = 8$ кубикам (8 куб.ед.).

Измерительная мерка $e_3$ равна $2 \times 2 \times 3 = 12$ кубикам (12 куб.ед.).

Чтобы найти объём в заданных единицах, разделим его общий объём на объём соответствующей мерки:

Объём в единицах $e_1$: $40 \div 1 = 40$. То есть, объём равен $40e_1$.

Объём в единицах $e_2$: $40 \div 8 = 5$. То есть, объём равен $5e_2$.

Объём в единицах $e_3$: $40 \div 12 = \frac{40}{12} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}$. То есть, объём равен $3 \frac{1}{3} e_3$.

Ответ: $40e_1$; $5e_2$; $3 \frac{1}{3} e_3$.

Как изменяется результат измерения величин при увеличении мерки, при уменьшении мерки?

Анализируя полученные результаты, можно заметить, что чем больше размер единицы измерения (мерки), тем меньшее число требуется для выражения величины. И наоборот, чем меньше мерка, тем большее число получается в результате измерения.

Это означает, что между размером мерки и числовым результатом измерения существует обратная зависимость.

• При увеличении мерки результат измерения (числовое значение) уменьшается.

• При уменьшении мерки результат измерения (числовое значение) увеличивается.

Ответ: При увеличении мерки результат измерения уменьшается, а при уменьшении мерки — увеличивается.

К 536 Вырази в единицах измерения $e_1$, $e_2$, $e_3$:

а) длину отрезка $AB$;

б) площадь прямоугольника $ABCD$;

в) объем прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Как изменяется результат измерения величин при увеличении мерки, при уменьшении мерки?