Страница 136, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

577 Построй с помощью транспортира угол $ABC$, равный:

а) $58^\circ$;

б) $116^\circ$.

Проведи биссектрису угла $ABC$.

а)

1. Построение угла $ABC = 58^\circ$:
- Проведем произвольный луч $BA$.
- Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой $B$ (вершиной угла), а его основание (нулевая линия) совпало с лучом $BA$.
- На шкале транспортира найдем отметку $58^\circ$ и поставим в этом месте точку $C$.
- Соединим точку $B$ с точкой $C$, проведя луч $BC$.
- Полученный угол $\angle ABC$ равен $58^\circ$.

2. Проведение биссектрисы угла $ABC$:
- Биссектриса делит угол на два равных угла. Найдем величину половины угла: $58^\circ : 2 = 29^\circ$.
- Снова приложим транспортир к углу $\angle ABC$ (центр в точке $B$, нулевая линия на луче $BA$).
- На шкале транспортира найдем отметку $29^\circ$ и поставим точку $D$.
- Проведем луч $BD$. Этот луч и является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Ответ: Луч $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, который делится на два равных угла: $\angle ABD = \angle DBC = 29^\circ$.

б)

1. Построение угла $ABC = 116^\circ$:
- Проведем произвольный луч $BA$.
- Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой $B$, а его основание (нулевая линия) совпало с лучом $BA$.
- На шкале транспортира найдем отметку $116^\circ$ и поставим в этом месте точку $C$.
- Соединим точку $B$ с точкой $C$, проведя луч $BC$.
- Полученный угол $\angle ABC$ равен $116^\circ$.

2. Проведение биссектрисы угла $ABC$:
- Найдем величину половины угла, на которые биссектриса разделит исходный угол: $116^\circ : 2 = 58^\circ$.
- Приложим транспортир к углу $\angle ABC$ (центр в точке $B$, нулевая линия на луче $BA$).
- На шкале транспортира найдем отметку $58^\circ$ и поставим точку $D$.
- Проведем луч $BD$. Этот луч является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Ответ: Луч $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, который делится на два равных угла: $\angle ABD = \angle DBC = 58^\circ$.

577. Построй с помощью транспортира угол $ABC$, равный:

а) $58^\circ$;

б) $116^\circ$.

Проведи биссектрису угла $ABC$.

578 Построй с помощью транспортира угол $\angle CDE$, равный:

а) $72^\circ$;

б) $150^\circ$.

Раздели его на три равные части.

а)

Сначала построим угол $\angle CDE$, равный $72^\circ$. Для этого начертим луч $DE$. Приложим транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой $D$ (вершиной угла), а нулевая отметка на шкале транспортира лежала на луче $DE$. На шкале найдем отметку $72^\circ$, поставим точку $C$ и проведем луч $DC$.

Чтобы разделить полученный угол на три равные части, необходимо найти градусную меру каждой части. Для этого разделим $72^\circ$ на 3:
$72^\circ : 3 = 24^\circ$.
Следовательно, каждая из трех частей будет равна $24^\circ$.

Теперь от луча $DE$ с помощью транспортира отложим последовательно два угла. Отложим угол в $24^\circ$ и проведем луч $DF$. Затем от того же луча $DE$ отложим угол в $48^\circ$ (то есть $24^\circ + 24^\circ$) и проведем луч $DG$.

Лучи $DF$ и $DG$ разделили угол $\angle CDE$ на три равных угла: $\angle FDE = 24^\circ$, $\angle GDF = 24^\circ$ и $\angle CDG = 24^\circ$.

Ответ: Величина каждой из трех равных частей угла в $72^\circ$ составляет $24^\circ$.

б)

Аналогично построим угол $\angle CDE$, равный $150^\circ$. Начертим луч $DE$ и с помощью транспортира отложим от него угол $150^\circ$, проведя луч $DC$.

Чтобы разделить этот угол на три равные части, вычислим величину одной части:
$150^\circ : 3 = 50^\circ$.
Каждая из трех частей будет равна $50^\circ$.

Далее от луча $DE$ с помощью транспортира отложим угол в $50^\circ$ и проведем луч $DF$. Затем от луча $DE$ отложим угол в $100^\circ$ (то есть $50^\circ + 50^\circ$) и проведем луч $DG$.

В результате угол $\angle CDE$ будет разделен на три равных угла: $\angle FDE = 50^\circ$, $\angle GDF = 50^\circ$ и $\angle CDG = 50^\circ$.

Ответ: Величина каждой из трех равных частей угла в $150^\circ$ составляет $50^\circ$.

578 Построй с помощью транспортира угол $CDE$, равный:

а) $72^\circ$;

б) $150^\circ$. Раздели его на три равные части.

579 Построй с помощью транспортира угол $MNK$, если известно, что:

a) он равен $\frac{2}{9}$ развёрнутого угла;

б) 0,75 его составляет прямой угол.

а) Чтобы построить угол $MNK$, сначала нужно найти его градусную меру. Развёрнутый угол равен $180°$. По условию, угол $MNK$ равен $\frac{2}{9}$ развёрнутого угла.
Найдём величину угла $MNK$:
$∠MNK = \frac{2}{9} \cdot 180° = 2 \cdot \frac{180°}{9} = 2 \cdot 20° = 40°$.
Теперь построим угол $40°$ с помощью транспортира:
1. Проведём луч $NK$.
2. Приложим центр транспортира к началу луча — точке $N$.
3. Совместим луч $NK$ с нулевой отметкой на шкале транспортира.
4. Найдём на той же шкале отметку $40°$ и поставим точку $M$.
5. Проведём луч $NM$.
Полученный угол $MNK$ и есть искомый угол.
Ответ: $40°$.

б) Сначала найдём градусную меру угла $MNK$. Прямой угол равен $90°$. По условию, $0,75$ от угла $MNK$ составляет прямой угол. Пусть $x$ — градусная мера угла $MNK$. Тогда мы можем составить уравнение:
$0,75 \cdot x = 90°$
Выразим $x$:
$x = \frac{90°}{0,75}$
Для удобства вычислений представим десятичную дробь $0,75$ в виде обыкновенной: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
$x = 90° : \frac{3}{4} = 90° \cdot \frac{4}{3} = \frac{90° \cdot 4}{3} = 30° \cdot 4 = 120°$.
Итак, угол $MNK$ равен $120°$.
Построение с помощью транспортира аналогично пункту а), только на шаге 4 нужно найти на шкале транспортира отметку $120°$.
Ответ: $120°$.

579 Построй с помощью транспортира угол $MNK$, если известно, что:

а) он равен $\frac{2}{9}$ развернутого угла;

б) 0,75 его составляет прямой угол.

580 Построй с помощью транспортира два смежных угла, если один из этих углов:

а) на $28^\circ$ больше второго;

б) в 5 раз меньше второго;

в) составляет $25 \%$ второго;

г) на $40 \%$ больше второго;

д) на $20 \%$ меньше второго угла.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Для решения задачи обозначим величины двух смежных углов как $\alpha$ и $\beta$. Таким образом, для всех случаев будет выполняться равенство $\alpha + \beta = 180^\circ$.

Чтобы построить углы, нужно начертить прямую, выбрать на ней точку (вершину углов) и с помощью транспортира отложить от луча, исходящего из этой точки, один из найденных углов. Второй угол образуется автоматически как смежный с первым.

а)

По условию, один из углов на $28^\circ$ больше второго. Пусть $\alpha = \beta + 28^\circ$.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases}\alpha + \beta = 180^\circ \\\alpha = \beta + 28^\circ\end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое:
$(\beta + 28^\circ) + \beta = 180^\circ$
$2\beta + 28^\circ = 180^\circ$
$2\beta = 180^\circ - 28^\circ$
$2\beta = 152^\circ$
$\beta = \frac{152^\circ}{2} = 76^\circ$
Тогда $\alpha = 76^\circ + 28^\circ = 104^\circ$.
Ответ: нужно построить смежные углы $76^\circ$ и $104^\circ$.

б)

По условию, один из углов в 5 раз меньше второго. Пусть $\beta = 5\alpha$.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases}\alpha + \beta = 180^\circ \\\beta = 5\alpha\end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое:
$\alpha + 5\alpha = 180^\circ$
$6\alpha = 180^\circ$
$\alpha = \frac{180^\circ}{6} = 30^\circ$
Тогда $\beta = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.
Ответ: нужно построить смежные углы $30^\circ$ и $150^\circ$.

в)

По условию, один угол составляет 25% второго. Пусть $\alpha = 0.25\beta$ (так как $25\% = 0.25$).
Составим систему уравнений:
$\begin{cases}\alpha + \beta = 180^\circ \\\alpha = 0.25\beta\end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое:
$0.25\beta + \beta = 180^\circ$
$1.25\beta = 180^\circ$
$\beta = \frac{180^\circ}{1.25} = 144^\circ$
Тогда $\alpha = 0.25 \cdot 144^\circ = 36^\circ$.
Ответ: нужно построить смежные углы $36^\circ$ и $144^\circ$.

г)

По условию, один угол на 40% больше второго. Если угол $\beta$ принять за 100%, то угол $\alpha$ будет $100\% + 40\% = 140\%$ от $\beta$. Значит, $\alpha = 1.4\beta$.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases}\alpha + \beta = 180^\circ \\\alpha = 1.4\beta\end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое:
$1.4\beta + \beta = 180^\circ$
$2.4\beta = 180^\circ$
$\beta = \frac{180^\circ}{2.4} = 75^\circ$
Тогда $\alpha = 1.4 \cdot 75^\circ = 105^\circ$.
Ответ: нужно построить смежные углы $75^\circ$ и $105^\circ$.

д)

По условию, один угол на 20% меньше второго. Если угол $\beta$ принять за 100%, то угол $\alpha$ будет $100\% - 20\% = 80\%$ от $\beta$. Значит, $\alpha = 0.8\beta$.
Составим систему уравнений:
$\begin{cases}\alpha + \beta = 180^\circ \\\alpha = 0.8\beta\end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое:
$0.8\beta + \beta = 180^\circ$
$1.8\beta = 180^\circ$
$\beta = \frac{180^\circ}{1.8} = 100^\circ$
Тогда $\alpha = 0.8 \cdot 100^\circ = 80^\circ$.
Ответ: нужно построить смежные углы $80^\circ$ и $100^\circ$.

580 Построй с помощью транспортира два смежных угла, если один из этих углов:

а) на $28^\circ$ больше второго;

б) в 5 раз меньше второго;

в) составляет $25\%$ второго;

г) на $40\%$ больше второго;

д) на $20\%$ меньше второго угла.

581 1) Найди по рисункам, не выполняя измерений, величину угла $AOB$ (на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами).

а) $48^\circ$

б) в) $25^\circ$

2) Сколько на каждом из рисунков острых углов ($x$), прямых углов ($y$), тупых углов ($z$), развёрнутых углов ($t$)? Ответ дай в виде четырёхзначного числа $xyzt$.

1)

а) Угол $AOC$ является развёрнутым, так как его стороны $OA$ и $OC$ являются продолжениями друг друга и лежат на одной прямой. Величина развёрнутого угла равна $180^\circ$. Угол $AOC$ состоит из двух смежных углов: $\angle AOB$ и $\angle BOC$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
$\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$
Из рисунка известно, что $\angle BOC = 48^\circ$.
Тогда $\angle AOB = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$.
Ответ: $132^\circ$.

б) Угол $AOD$ является развёрнутым, и его величина равна $180^\circ$. Этот угол состоит из суммы трёх углов: $\angle AOB$, $\angle BOC$ и $\angle COD$.
$\angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 180^\circ$.
Угол $BOC$ отмечен квадратом, что означает, что это прямой угол, то есть $\angle BOC = 90^\circ$. Углы $AOB$ и $COD$ обозначены одинаковыми дугами, следовательно, они равны: $\angle AOB = \angle COD$.
Пусть $\angle AOB = x$, тогда и $\angle COD = x$. Подставим известные значения в уравнение:
$x + 90^\circ + x = 180^\circ$
$2x + 90^\circ = 180^\circ$
$2x = 180^\circ - 90^\circ$
$2x = 90^\circ$
$x = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$
Следовательно, $\angle AOB = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

в) Согласно условию, равные углы на рисунке обозначены одинаковыми дугами. На рисунке в) углы $\angle AOM$ и $\angle MOB$ обозначены одинаковыми (одиночными) дугами. Это означает, что эти углы равны: $\angle AOM = \angle MOB$.
По условию, $\angle AOM = 25^\circ$.
Следовательно, $\angle MOB$ также равен $25^\circ$.
Угол $AOB$ является суммой углов $\angle AOM$ и $\angle MOB$.
$\angle AOB = \angle AOM + \angle MOB = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ$.
Ответ: $50^\circ$.

2)

а) На данном рисунке изображены следующие углы:
- $\angle BOC = 48^\circ$ — острый угол (меньше $90^\circ$).
- $\angle AOB = 132^\circ$ — тупой угол (больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$).
- $\angle AOC = 180^\circ$ — развёрнутый угол.
Подсчитаем количество углов каждого вида:
- $x$ (острые): 1
- $y$ (прямые): 0
- $z$ (тупые): 1
- $t$ (развёрнутые): 1
Искомое четырёхзначное число $xyzt$ равно $1011$.
Ответ: 1011.

б) Найдём и классифицируем все углы, образованные лучами $OA, OB, OC, OD$:
- $\angle AOB = 45^\circ$ — острый.
- $\angle COD = 45^\circ$ — острый.
- $\angle BOC = 90^\circ$ — прямой.
- $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$ — тупой.
- $\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = 90^\circ + 45^\circ = 135^\circ$ — тупой.
- $\angle AOD = 180^\circ$ — развёрнутый.
Подсчитаем количество углов каждого вида:
- $x$ (острые): 2
- $y$ (прямые): 1
- $z$ (тупые): 2
- $t$ (развёрнутые): 1
Искомое четырёхзначное число $xyzt$ равно $2121$.
Ответ: 2121.

в) Найдём и классифицируем все углы, образованные лучами $OC, OA, OM, OB, OD$. На рисунке все малые углы ($\angle COA, \angle AOM, \angle MOB, \angle BOD$) обозначены одинаковыми дугами, значит, они равны. Так как $\angle AOM = 25^\circ$, то все четыре угла равны $25^\circ$.
Всего 5 лучей, они образуют $\frac{5 \cdot (5-1)}{2} = 10$ углов. Перечислим и классифицируем их:
1. $\angle COA = 25^\circ$ (острый)
2. $\angle AOM = 25^\circ$ (острый)
3. $\angle MOB = 25^\circ$ (острый)
4. $\angle BOD = 25^\circ$ (острый)
5. $\angle COM = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ$ (острый)
6. $\angle AOB = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ$ (острый)
7. $\angle MOD = 25^\circ + 25^\circ = 50^\circ$ (острый)
8. $\angle COB = 25^\circ + 25^\circ + 25^\circ = 75^\circ$ (острый)
9. $\angle AOD = 25^\circ + 25^\circ + 25^\circ = 75^\circ$ (острый)
10. $\angle COD = 25^\circ + 25^\circ + 25^\circ + 25^\circ = 100^\circ$ (тупой)
Подсчитаем количество углов каждого вида:
- $x$ (острые): 9
- $y$ (прямые): 0
- $z$ (тупые): 1
- $t$ (развёрнутые): 0
Искомое четырёхзначное число $xyzt$ равно $9010$.
Ответ: 9010.

581 1) Найди по рисункам, не выполняя измерений, величину угла $AOB$ (на каждом рисунке равные углы обозначены одинаковыми дугами):

a) $48^\circ$

б) $90^\circ$

в) $90^\circ$, $28^\circ$

г) $90^\circ$, $24^\circ$, $16^\circ$

д) $25^\circ$

е) $90^\circ$, $30^\circ$

2) Сколько на каждом из рисунков острых углов ($x$), прямых углов ($y$), тупых углов ($z$), развернутых углов ($t$)? Ответ дай в виде четырехзначного числа $\overline{xyzt}$.

582 В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $36^\circ$, а угол $B$ равен $84^\circ$. Биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Найди величину угла $AOC$, считая сумму углов треугольника равной $180^\circ$.

Сумма углов в треугольнике $ABC$ составляет $180^\circ$. Зная углы $\angle A = 36^\circ$ и $\angle B = 84^\circ$, мы можем найти угол $\angle C$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (36^\circ + 84^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Биссектрисы углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $O$, образуя треугольник $AOC$. Отрезок $AO$ является биссектрисой угла $A$, а отрезок $CO$ — биссектрисой угла $C$. По определению, биссектриса делит угол пополам. Найдем углы $\angle OAC$ и $\angle OCA$ в треугольнике $AOC$:
$\angle OAC = \frac{\angle A}{2} = \frac{36^\circ}{2} = 18^\circ$
$\angle OCA = \frac{\angle C}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Теперь, зная два угла треугольника $AOC$, мы можем найти третий угол, $\angle AOC$, так как сумма углов этого треугольника также равна $180^\circ$:
$\angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - (18^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$.

Ответ: $132^\circ$.

582 В треугольнике $ABC$ $\angle A$ равен $36^\circ$, а $\angle B$ равен $84^\circ$. Биссектрисы углов $\angle A$ и $C$ пересекаются в точке $O$. Найди величину $\angle AOC$, считая сумму углов треугольника равной $180^\circ$.

583 1) Построй четырёхугольник $ABCD$ по координатам его вершин: $A(-4; 0)$, $B(2; 3)$, $C(5; 0)$, $D(0; -8)$. Измерь углы четырёхугольника $ABCD$ и найди их сумму.

2) Начерти два произвольных четырёхугольника и измерь их углы. Сравни полученные результаты и сделай вывод. Можно ли распространить этот вывод на любой четырёхугольник? Почему?

3) Начерти произвольный четырёхугольник и проведи его диагональ. Сколько получилось треугольников? Как связаны между собой углы этих треугольников и углы данного четырёхугольника? Закончи предложение:

«Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырёхугольника равна ...»

Будет ли это предложение истинным для любого четырёхугольника? Почему?

1)

Для построения четырёхугольника ABCD отметим на координатной плоскости заданные точки A (–4; 0), B (2; 3), C (5; 0), D (0; –8) и соединим их последовательно отрезками.

Измерить углы можно с помощью транспортира, приложив его к чертежу, либо вычислить их, используя векторы. Проведём вычисления для точности.

Найдём векторы, образующие углы:

• Для угла A: $\vec{AD} = (0 - (-4); -8 - 0) = (4; -8)$ и $\vec{AB} = (2 - (-4); 3 - 0) = (6; 3)$.
• Для угла B: $\vec{BA} = (-6; -3)$ и $\vec{BC} = (5 - 2; 0 - 3) = (3; -3)$.
• Для угла C: $\vec{CB} = (-3; 3)$ и $\vec{CD} = (0 - 5; -8 - 0) = (-5; -8)$.
• Для угла D: $\vec{DC} = (5; 8)$ и $\vec{DA} = (-4; 8)$.

Вычислим значения углов. Например, для угла A найдём скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$:

$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = 4 \cdot 6 + (-8) \cdot 3 = 24 - 24 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, и, следовательно, $\angle A = 90^\circ$.

Аналогично вычисляем остальные углы:

• $\cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{-18 + 9}{\sqrt{45} \cdot \sqrt{18}} = \frac{-9}{\sqrt{810}} \approx -0.3162$, откуда $\angle B \approx 108.4^\circ$.
• $\cos(\angle C) = \frac{\vec{CB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{CB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{15 - 24}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{89}} = \frac{-9}{\sqrt{1602}} \approx -0.2249$, откуда $\angle C \approx 103.0^\circ$.
• $\cos(\angle D) = \frac{\vec{DC} \cdot \vec{DA}}{|\vec{DC}| \cdot |\vec{DA}|} = \frac{-20 + 64}{\sqrt{89} \cdot \sqrt{80}} = \frac{44}{\sqrt{7120}} \approx 0.5215$, откуда $\angle D \approx 58.6^\circ$.

Найдём сумму углов: $90^\circ + 108.4^\circ + 103.0^\circ + 58.6^\circ = 360^\circ$.

Ответ: $\angle A = 90^\circ$, $\angle B \approx 108.4^\circ$, $\angle C \approx 103.0^\circ$, $\angle D \approx 58.6^\circ$. Сумма углов четырёхугольника ABCD равна $360^\circ$.

2)

Начертим два произвольных выпуклых четырёхугольника, например, один общего вида и один в виде трапеции. Измерим углы каждого из них с помощью транспортира.

При измерении углов в первом четырёхугольнике мы получим значения, сумма которых будет очень близка к $360^\circ$ (например, $85^\circ, 110^\circ, 93^\circ, 72^\circ$; сумма $360^\circ$).

При измерении углов во втором четырёхугольнике (трапеции) мы также получим, что сумма его углов близка к $360^\circ$ (например, $70^\circ, 110^\circ, 110^\circ, 70^\circ$; сумма $360^\circ$).

Сравнивая результаты, можно сделать вывод, что сумма внутренних углов четырёхугольника равна $360^\circ$.

Этот вывод можно распространить на любой выпуклый четырёхугольник. Это связано с тем, что любой такой четырёхугольник можно разделить диагональю на два треугольника, а сумма углов каждого треугольника, как известно, равна $180^\circ$. Таким образом, сумма углов четырёхугольника будет равна сумме углов двух треугольников: $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Сумма углов в обоих начерченных четырёхугольниках равна $360^\circ$. Вывод: сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Этот вывод можно распространить на любой четырёхугольник, потому что его можно разбить на два треугольника.

3)

Начертим произвольный четырёхугольник, например, ABCD, и проведём в нём диагональ, например, AC.

После проведения диагонали получилось два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Углы этих треугольников и углы данного четырёхугольника связаны следующим образом:

• Угол $\angle B$ четырёхугольника равен углу $\angle B$ треугольника $\triangle ABC$.
• Угол $\angle D$ четырёхугольника равен углу $\angle D$ треугольника $\triangle ADC$.
• Угол $\angle A$ четырёхугольника состоит из двух углов: $\angle BAC$ (из $\triangle ABC$) и $\angle CAD$ (из $\triangle ADC$). То есть, $\angle A = \angle BAC + \angle CAD$.
• Угол $\angle C$ четырёхугольника состоит из двух углов: $\angle BCA$ (из $\triangle ABC$) и $\angle ACD$ (из $\triangle ADC$). То есть, $\angle C = \angle BCA + \angle ACD$.

Таким образом, сумма углов четырёхугольника ($\angle A + \angle B + \angle C + \angle D$) равна сумме всех шести углов двух треугольников ($\triangle ABC$ и $\triangle ADC$).

Закончим предложение:

«Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$».

Это предложение будет истинным для любого простого (не самопересекающегося) четырёхугольника, как выпуклого, так и невыпуклого (вогнутого). Потому что любой такой четырёхугольник можно разделить одной из его диагоналей на два треугольника. Сумма углов четырёхугольника всегда будет равна сумме углов этих двух треугольников, то есть $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Получилось два треугольника. Сумма углов четырёхугольника равна сумме углов этих двух треугольников. «Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$». Это предложение истинно для любого четырёхугольника, так как любой четырёхугольник можно разбить диагональю на два треугольника.

583 1) Построй четырехугольник $ABCD$ по координатам его вершин: $A (-4; 0)$, $B (2; 3)$, $C (5; 0)$, $D (0; -8)$. Измерь углы четырехугольника $ABCD$ и найди их сумму.

2) Начерти два произвольных четырехугольника и измерь их углы. Сравни полученные результаты и сделай вывод. Можно ли распространить этот вывод на любой четырехугольник? Почему?

3) Начерти произвольный четырехугольник и проведи его диагональ. Сколько получилось треугольников? Как связаны между собой углы этих треугольников и углы данного четырехугольника? Закончи предложение:

Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырехугольника равна ___________.

Будет ли это предложение истинным для любого четырехугольника? Почему?