Номер 583, страница 136, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 3. Геометрические величины и их измерения. 2. Измерение углов. Транспортир - номер 583, страница 136.

Условие 2023.

583 1) Построй четырёхугольник $ABCD$ по координатам его вершин: $A(-4; 0)$, $B(2; 3)$, $C(5; 0)$, $D(0; -8)$. Измерь углы четырёхугольника $ABCD$ и найди их сумму.

2) Начерти два произвольных четырёхугольника и измерь их углы. Сравни полученные результаты и сделай вывод. Можно ли распространить этот вывод на любой четырёхугольник? Почему?

3) Начерти произвольный четырёхугольник и проведи его диагональ. Сколько получилось треугольников? Как связаны между собой углы этих треугольников и углы данного четырёхугольника? Закончи предложение:

«Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырёхугольника равна ...»

Будет ли это предложение истинным для любого четырёхугольника? Почему?

Решение 2 (2023).

1)

Для построения четырёхугольника ABCD отметим на координатной плоскости заданные точки A (–4; 0), B (2; 3), C (5; 0), D (0; –8) и соединим их последовательно отрезками.

Измерить углы можно с помощью транспортира, приложив его к чертежу, либо вычислить их, используя векторы. Проведём вычисления для точности.

Найдём векторы, образующие углы:

• Для угла A: $\vec{AD} = (0 - (-4); -8 - 0) = (4; -8)$ и $\vec{AB} = (2 - (-4); 3 - 0) = (6; 3)$.
• Для угла B: $\vec{BA} = (-6; -3)$ и $\vec{BC} = (5 - 2; 0 - 3) = (3; -3)$.
• Для угла C: $\vec{CB} = (-3; 3)$ и $\vec{CD} = (0 - 5; -8 - 0) = (-5; -8)$.
• Для угла D: $\vec{DC} = (5; 8)$ и $\vec{DA} = (-4; 8)$.

Вычислим значения углов. Например, для угла A найдём скалярное произведение векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$:

$\vec{AD} \cdot \vec{AB} = 4 \cdot 6 + (-8) \cdot 3 = 24 - 24 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, и, следовательно, $\angle A = 90^\circ$.

Аналогично вычисляем остальные углы:

• $\cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{-18 + 9}{\sqrt{45} \cdot \sqrt{18}} = \frac{-9}{\sqrt{810}} \approx -0.3162$, откуда $\angle B \approx 108.4^\circ$.
• $\cos(\angle C) = \frac{\vec{CB} \cdot \vec{CD}}{|\vec{CB}| \cdot |\vec{CD}|} = \frac{15 - 24}{\sqrt{18} \cdot \sqrt{89}} = \frac{-9}{\sqrt{1602}} \approx -0.2249$, откуда $\angle C \approx 103.0^\circ$.
• $\cos(\angle D) = \frac{\vec{DC} \cdot \vec{DA}}{|\vec{DC}| \cdot |\vec{DA}|} = \frac{-20 + 64}{\sqrt{89} \cdot \sqrt{80}} = \frac{44}{\sqrt{7120}} \approx 0.5215$, откуда $\angle D \approx 58.6^\circ$.

Найдём сумму углов: $90^\circ + 108.4^\circ + 103.0^\circ + 58.6^\circ = 360^\circ$.

Ответ: $\angle A = 90^\circ$, $\angle B \approx 108.4^\circ$, $\angle C \approx 103.0^\circ$, $\angle D \approx 58.6^\circ$. Сумма углов четырёхугольника ABCD равна $360^\circ$.

2)

Начертим два произвольных выпуклых четырёхугольника, например, один общего вида и один в виде трапеции. Измерим углы каждого из них с помощью транспортира.

При измерении углов в первом четырёхугольнике мы получим значения, сумма которых будет очень близка к $360^\circ$ (например, $85^\circ, 110^\circ, 93^\circ, 72^\circ$; сумма $360^\circ$).

При измерении углов во втором четырёхугольнике (трапеции) мы также получим, что сумма его углов близка к $360^\circ$ (например, $70^\circ, 110^\circ, 110^\circ, 70^\circ$; сумма $360^\circ$).

Сравнивая результаты, можно сделать вывод, что сумма внутренних углов четырёхугольника равна $360^\circ$.

Этот вывод можно распространить на любой выпуклый четырёхугольник. Это связано с тем, что любой такой четырёхугольник можно разделить диагональю на два треугольника, а сумма углов каждого треугольника, как известно, равна $180^\circ$. Таким образом, сумма углов четырёхугольника будет равна сумме углов двух треугольников: $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Сумма углов в обоих начерченных четырёхугольниках равна $360^\circ$. Вывод: сумма углов любого выпуклого четырёхугольника равна $360^\circ$. Этот вывод можно распространить на любой четырёхугольник, потому что его можно разбить на два треугольника.

3)

Начертим произвольный четырёхугольник, например, ABCD, и проведём в нём диагональ, например, AC.

После проведения диагонали получилось два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$.

Углы этих треугольников и углы данного четырёхугольника связаны следующим образом:

• Угол $\angle B$ четырёхугольника равен углу $\angle B$ треугольника $\triangle ABC$.
• Угол $\angle D$ четырёхугольника равен углу $\angle D$ треугольника $\triangle ADC$.
• Угол $\angle A$ четырёхугольника состоит из двух углов: $\angle BAC$ (из $\triangle ABC$) и $\angle CAD$ (из $\triangle ADC$). То есть, $\angle A = \angle BAC + \angle CAD$.
• Угол $\angle C$ четырёхугольника состоит из двух углов: $\angle BCA$ (из $\triangle ABC$) и $\angle ACD$ (из $\triangle ADC$). То есть, $\angle C = \angle BCA + \angle ACD$.

Таким образом, сумма углов четырёхугольника ($\angle A + \angle B + \angle C + \angle D$) равна сумме всех шести углов двух треугольников ($\triangle ABC$ и $\triangle ADC$).

Закончим предложение:

«Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$».

Это предложение будет истинным для любого простого (не самопересекающегося) четырёхугольника, как выпуклого, так и невыпуклого (вогнутого). Потому что любой такой четырёхугольник можно разделить одной из его диагоналей на два треугольника. Сумма углов четырёхугольника всегда будет равна сумме углов этих двух треугольников, то есть $180^\circ + 180^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Получилось два треугольника. Сумма углов четырёхугольника равна сумме углов этих двух треугольников. «Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$». Это предложение истинно для любого четырёхугольника, так как любой четырёхугольник можно разбить диагональю на два треугольника.

Условие 2010-2022.

583 1) Построй четырехугольник $ABCD$ по координатам его вершин: $A (-4; 0)$, $B (2; 3)$, $C (5; 0)$, $D (0; -8)$. Измерь углы четырехугольника $ABCD$ и найди их сумму.

2) Начерти два произвольных четырехугольника и измерь их углы. Сравни полученные результаты и сделай вывод. Можно ли распространить этот вывод на любой четырехугольник? Почему?

3) Начерти произвольный четырехугольник и проведи его диагональ. Сколько получилось треугольников? Как связаны между собой углы этих треугольников и углы данного четырехугольника? Закончи предложение:

Если сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то сумма углов четырехугольника равна ___________.

Будет ли это предложение истинным для любого четырехугольника? Почему?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).