Номер 584, страница 137, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 3. Геометрические величины и их измерения. 2. Измерение углов. Транспортир - номер 584, страница 137.

Условие 2023.

584 Построй треугольник $ABC$, используя линейку с делениями и транспортир, если:

а) $AB = 5 \text{ см}$, $BC = 3,5 \text{ см}$, $\angle B = 76^\circ$;

б) $AC = 4 \text{ см}$, $\angle A = 32^\circ$, $\angle B = 58^\circ$;

в) $AB = 6 \text{ см}$, $\angle A = 47^\circ$;

г) $BC = 3 \text{ см}$, $\angle B = 110^\circ$, $\angle C = 24^\circ$.

Какие из приведённых задач имеют единственное решение?

Решение 2 (2023).

а) Для построения треугольника $ABC$ по двум сторонам $AB = 5$ см, $BC = 3,5$ см и углу между ними $\angle B = 76^\circ$ (построение по двум сторонам и углу между ними), нужно выполнить следующие шаги:
1. С помощью линейки начертить отрезок $AB$ длиной 5 см.
2. С помощью транспортира отложить от луча $BA$ угол, равный $76^\circ$, с вершиной в точке $B$.
3. На построенном луче отложить от точки $B$ отрезок $BC$ длиной 3,5 см.
4. Соединить точки $A$ и $C$ отрезком.
Полученный треугольник $ABC$ будет искомым. Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), любой другой треугольник, построенный по этим же данным, будет равен данному. Следовательно, задача имеет единственное решение.
Ответ: задача имеет единственное решение.

б) Для построения треугольника $ABC$ по стороне $AC = 4$ см и двум углам $\angle A = 32^\circ$ и $\angle B = 58^\circ$ (построение по стороне и двум углам). Сначала найдем третий угол $\angle C$, зная, что сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (32^\circ + 58^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.
Теперь задача сводится к построению треугольника по стороне $AC$ и двум прилежащим к ней углам $\angle A$ и $\angle C$.
Построение:
1. С помощью линейки начертить отрезок $AC$ длиной 4 см.
2. От луча $AC$ с помощью транспортира отложить угол, равный $32^\circ$, с вершиной в точке $A$.
3. От луча $CA$ с помощью транспортира отложить угол, равный $90^\circ$, с вершиной в точке $C$.
4. Точка пересечения построенных лучей будет вершиной $B$.
Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), задача имеет единственное решение.
Ответ: задача имеет единственное решение.

в) Даны две стороны $AB = 6$ см, $BC = 3$ см и угол $\angle A = 47^\circ$, который не является углом между этими сторонами. Попробуем построить треугольник.
1. Начертим отрезок $AB$ длиной 6 см.
2. От луча $AB$ отложим угол $\angle A = 47^\circ$. Получим луч, на котором должна лежать вершина $C$.
3. Вершина $C$ должна находиться на расстоянии 3 см от точки $B$. Это означает, что точка $C$ лежит на окружности с центром в точке $B$ и радиусом $BC = 3$ см.
Для существования треугольника необходимо, чтобы эта окружность пересекла луч, построенный в шаге 2. Найдем кратчайшее расстояние (длину высоты $h$, опущенной из точки $B$ на прямую, содержащую сторону $AC$). Это расстояние равно $h = AB \cdot \sin(\angle A) = 6 \cdot \sin(47^\circ)$.
Поскольку $\sin(47^\circ) \approx 0,731$, то $h \approx 6 \cdot 0,731 = 4,386$ см.
Так как длина стороны $BC = 3$ см меньше, чем расстояние от точки $B$ до прямой $AC$ ($3 < 4,386$), то окружность с центром в $B$ и радиусом 3 см не пересечет луч, выходящий из точки $A$. Следовательно, построить такой треугольник невозможно.
Ответ: задача не имеет решения.

г) Для построения треугольника $ABC$ по стороне $BC = 3$ см и двум прилежащим к ней углам $\angle B = 110^\circ$ и $\angle C = 24^\circ$ (построение по стороне и двум прилежащим углам).
Проверим, может ли такой треугольник существовать. Сумма двух данных углов $\angle B + \angle C = 110^\circ + 24^\circ = 134^\circ$. Так как $134^\circ < 180^\circ$, треугольник существует.
Построение:
1. С помощью линейки начертить отрезок $BC$ длиной 3 см.
2. От луча $BC$ с помощью транспортира отложить угол, равный $110^\circ$, с вершиной в точке $B$.
3. От луча $CB$ с помощью транспортира отложить угол, равный $24^\circ$, с вершиной в точке $C$.
4. Точка пересечения построенных лучей будет вершиной $A$.
Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), задача имеет единственное решение.
Ответ: задача имеет единственное решение.

Какие из приведённых задач имеют единственное решение?
Единственное решение имеют задачи, которые соответствуют признакам равенства треугольников и для которых выполняются необходимые условия существования треугольника.
- Задача а) (по двум сторонам и углу между ними) имеет единственное решение.
- Задача б) (по стороне и двум углам) имеет единственное решение.
- Задача в) не имеет решения.
- Задача г) (по стороне и двум прилежащим углам) имеет единственное решение.
Ответ: задачи а), б), г) имеют единственное решение.

Условие 2010-2022.

584 Построй треугольник ABC, используя линейку с делениями и транспортир, если:

а) $AB = 5$ см, $BC = 3,5$ см, $\angle B = 76^\circ$;

б) $AC = 4$ см, $\angle A = 32^\circ$, $\angle B = 58^\circ$;

в) $AB = 6$ см, $\angle A = 47^\circ$;

г) $BC = 3$ см, $\angle B = 110^\circ$, $\angle C = 24^\circ$.

Какие из приведенных задач имеют единственное решение?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).