Страница 139, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

597 Потренируй свой глазомер: начерти на листе бумаги без клеток 3 острых и 3 тупых угла, определи на глаз их градусную меру, а затем проверь себя, измерив углы транспортиром. Составь таблицу и занеси в неё полученные результаты (см. таблицу в № 575, с. 135).

Для выполнения этого практического задания необходимо последовательно выполнить несколько действий. Сначала следует вспомнить определения острого и тупого углов.

• Острый угол — это угол, градусная мера которого больше $0^{\circ}$ и меньше $90^{\circ}$.
• Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^{\circ}$ и меньше $180^{\circ}$.

Далее, следуя инструкции, нужно:

1. Начертить на листе бумаги без разметки 3 острых и 3 тупых угла произвольного размера.
2. Определить "на глаз" (т.е. приблизительно) градусную меру каждого начерченного угла.
3. Проверить свою оценку, измерив каждый угол с помощью транспортира.
4. Составить таблицу и записать в нее результаты: предполагаемую и точную градусную меру для каждого угла.

Поскольку это практическая работа, результаты будут индивидуальны для каждого выполняющего. Ниже приведен пример того, как может выглядеть итоговая таблица с результатами измерений.

Ответ:

Результатом выполнения задания является таблица, заполненная на основе собственных чертежей и измерений. Таблица должна содержать оценку на глаз и точное измерение транспортиром для трёх острых и трёх тупых углов, как показано в примере выше. Конкретные числовые значения в таблице у каждого будут свои.

597 Потренируй свой глазомер: начерти на листе бумаги без клеток 3 острых и 3 тупых угла, определи на глаз их градусную меру, а затем проверь себя, измерив углы транспортиром. Составь таблицу и занеси в нее полученные результаты (см. таблицу в № 575, стр. 135).

598 Начерти с помощью транспортира угол $ABC$, если известно, что:

а) биссектриса делит его на два угла, равных $54^\circ$;

б) угол $ABC$ дополняет угол, равный $32^\circ$, до прямого угла;

в) угол, смежный углу $ABC$, равен $160^\circ$;

г) угол, вертикальный углу $ABC$, равен $127^\circ$.

Чтобы начертить угол $ABC$ с помощью транспортира, сначала нужно найти его градусную меру для каждого случая.

а)
Биссектриса — это луч, который делит угол на два равных угла. По условию, биссектриса делит угол $ABC$ на два угла по $54^\circ$ каждый. Следовательно, величина угла $ABC$ равна сумме этих двух углов.
$ \angle ABC = 54^\circ + 54^\circ = 2 \cdot 54^\circ = 108^\circ $.
Построение:
1. Начертите луч $BA$.
2. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой $B$ (вершиной угла), а нулевая отметка на шкале — с лучом $BA$.
3. Найдите на шкале транспортира отметку $108^\circ$ и поставьте точку $C$.
4. Проведите луч $BC$. Полученный угол $ABC$ и будет искомым.
Ответ: $108^\circ$.

б)
Два угла дополняют друг друга до прямого угла, если их сумма равна $90^\circ$. Прямой угол равен $90^\circ$. По условию, угол $ABC$ дополняет угол $32^\circ$ до прямого.
$ \angle ABC + 32^\circ = 90^\circ $.
Отсюда находим $ \angle ABC $:
$ \angle ABC = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ $.
Построение:
1. Начертите луч $BA$.
2. Приложите транспортир с центром в точке $B$ и нулевой отметкой на луче $BA$.
3. Найдите на шкале отметку $58^\circ$ и поставьте точку $C$.
4. Проведите луч $BC$. Угол $ABC$ равен $58^\circ$.
Ответ: $58^\circ$.

в)
Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга. Сумма смежных углов равна $180^\circ$. По условию, угол, смежный с углом $ABC$, равен $160^\circ$.
$ \angle ABC + 160^\circ = 180^\circ $.
Отсюда находим $ \angle ABC $:
$ \angle ABC = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ $.
Построение:
1. Начертите луч $BA$.
2. Приложите транспортир с центром в точке $B$ и нулевой отметкой на луче $BA$.
3. Найдите на шкале отметку $20^\circ$ и поставьте точку $C$.
4. Проведите луч $BC$. Угол $ABC$ равен $20^\circ$.
Ответ: $20^\circ$.

г)
Вертикальные углы образуются при пересечении двух прямых. Вертикальные углы равны друг другу. По условию, угол, вертикальный углу $ABC$, равен $127^\circ$.
Следовательно, $ \angle ABC $ также равен $127^\circ$.
$ \angle ABC = 127^\circ $.
Построение:
1. Начертите луч $BA$.
2. Приложите транспортир с центром в точке $B$ и нулевой отметкой на луче $BA$.
3. Найдите на шкале отметку $127^\circ$ и поставьте точку $C$.
4. Проведите луч $BC$. Угол $ABC$ равен $127^\circ$.
Ответ: $127^\circ$.

598 Начерти с помощью транспортира угол $ABC$, если известно, что:
а) биссектриса делит его на два угла, равных $54^\circ$;
б) угол $ABC$ дополняет угол, равный $32^\circ$ до прямого угла;
в) угол, смежный углу $ABC$, равен $160^\circ$;
г) угол, вертикальный углу $ABC$, равен $127^\circ$.

599. Внутри прямого угла $AOB$ провели луч $OM$ так, что угол $AOM$:

а) в 4 раза больше угла $MOB$;

б) на $24^\circ$ меньше угла $MOB$;

в) составляет $50$ % угла $MOB$;

г) на $50$ % больше угла $MOB$.

Найди величину образовавшихся углов и сделай чертёж.

По условию задачи, угол $AOB$ является прямым, следовательно, его величина равна $90°$. Луч $OM$ делит этот угол на два угла: $AOM$ и $MOB$. Таким образом, для всех случаев выполняется равенство:

$∠AOM + ∠MOB = ∠AOB = 90°$

а) Угол $AOM$ в 4 раза больше угла $MOB$.

Пусть $∠MOB = x$. Тогда $∠AOM = 4x$.

Составим уравнение, исходя из того, что сумма этих углов равна $90°$:

$4x + x = 90°$

$5x = 90°$

$x = 90° / 5$

$x = 18°$

Таким образом, $∠MOB = 18°$.

Тогда $∠AOM = 4 \cdot 18° = 72°$.

Проверка: $72° + 18° = 90°$.

Чертёж:

Ответ: $∠AOM = 72°$, $∠MOB = 18°$.

б) Угол $AOM$ на $24°$ меньше угла $MOB$.

Пусть $∠MOB = x$. Тогда $∠AOM = x - 24°$.

Составим уравнение:

$(x - 24°) + x = 90°$

$2x - 24° = 90°$

$2x = 90° + 24°$

$2x = 114°$

$x = 114° / 2$

$x = 57°$

Таким образом, $∠MOB = 57°$.

Тогда $∠AOM = 57° - 24° = 33°$.

Проверка: $33° + 57° = 90°$.

Чертёж:

Ответ: $∠AOM = 33°$, $∠MOB = 57°$.

в) Угол $AOM$ составляет $50\%$ угла $MOB$.

$50\%$ — это половина, то есть $0.5$.

Пусть $∠MOB = x$. Тогда $∠AOM = 0.5x$.

Составим уравнение:

$0.5x + x = 90°$

$1.5x = 90°$

$x = 90° / 1.5$

$x = 60°$

Таким образом, $∠MOB = 60°$.

Тогда $∠AOM = 0.5 \cdot 60° = 30°$.

Проверка: $30° + 60° = 90°$.

Чертёж:

Ответ: $∠AOM = 30°$, $∠MOB = 60°$.

г) Угол $AOM$ на $50\%$ больше угла $MOB$.

Это означает, что угол $AOM$ составляет $100\% + 50\% = 150\%$ от угла $MOB$. $150\%$ — это $1.5$.

Пусть $∠MOB = x$. Тогда $∠AOM = 1.5x$.

Составим уравнение:

$1.5x + x = 90°$

$2.5x = 90°$

$x = 90° / 2.5$

$x = 36°$

Таким образом, $∠MOB = 36°$.

Тогда $∠AOM = 1.5 \cdot 36° = 54°$.

Проверка: $54° + 36° = 90°$.

Чертёж:

Ответ: $∠AOM = 54°$, $∠MOB = 36°$.

599 Внутри прямого угла $\angle AOB$ провели луч $OM$ так, что угол $\angle AOM$:

а) в 4 раза больше угла $\angle MOB$;

б) на $24^{\circ}$ меньше угла $\angle MOB$;

в) составляет $50\%$ угла $\angle MOB$;

г) на $50\%$ больше угла $\angle MOB$.

Найди величину образовавшихся углов и сделай чертеж.

600 Начерти три произвольных параллелограмма и измерь их углы. Сравни полученные результаты и сформулируй гипотезу. Почему проведённое исследование не является доказательством этой гипотезы?

Начерти три произвольных параллелограмма и измерь их углы.

Выполним задание, начертив три параллелограмма разного вида и измерив их углы с помощью транспортира. Обозначим последовательные углы параллелограмма как $ \angle A, \angle B, \angle C, \angle D $.

1. Параллелограмм 1 (остроугольный).
   Измерив углы, получаем следующие примерные значения:
   $ \angle A \approx 65^\circ $
   $ \angle B \approx 115^\circ $
   $ \angle C \approx 65^\circ $
   $ \angle D \approx 115^\circ $

2. Параллелограмм 2 (ромб, не являющийся квадратом).
   Измерив углы, получаем:
   $ \angle A \approx 50^\circ $
   $ \angle B \approx 130^\circ $
   $ \angle C \approx 50^\circ $
   $ \angle D \approx 130^\circ $

3. Параллелограмм 3 (прямоугольник).
   Измерения показывают, что все углы прямые:
   $ \angle A = 90^\circ $
   $ \angle B = 90^\circ $
   $ \angle C = 90^\circ $
   $ \angle D = 90^\circ $

Ответ: При измерении углов трёх произвольно начерченных параллелограммов были получены следующие примерные значения: 1) $ 65^\circ, 115^\circ, 65^\circ, 115^\circ $; 2) $ 50^\circ, 130^\circ, 50^\circ, 130^\circ $; 3) $ 90^\circ, 90^\circ, 90^\circ, 90^\circ $.

Сравни полученные результаты и сформулируй гипотезу.

Анализируя результаты измерений для всех трёх параллелограммов, можно выявить общие закономерности:

• Противолежащие углы равны. В каждом случае $ \angle A = \angle C $ и $ \angle B = \angle D $.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $ 180^\circ $. В каждом случае $ \angle A + \angle B \approx 180^\circ $, $ \angle B + \angle C \approx 180^\circ $, и т.д. (Например, $ 65^\circ + 115^\circ = 180^\circ $; $ 50^\circ + 130^\circ = 180^\circ $; $ 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $).
• Сумма всех углов равна $ 360^\circ $. Во всех случаях сумма четырёх углов равна $ 360^\circ $.

На основе этих наблюдений можно сформулировать следующую гипотезу о свойствах углов любого параллелограмма.

Гипотеза: Противолежащие углы параллелограмма равны, а сумма углов, прилежащих к любой его стороне, составляет $ 180^\circ $.

Ответ: Гипотеза: у параллелограмма противолежащие углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $ 180^\circ $.

Почему проведённое исследование не является доказательством этой гипотезы?

Проведённое исследование, основанное на измерении нескольких конкретных фигур, является эмпирическим (опытным) и позволяет лишь выдвинуть предположение (гипотезу), но не может считаться строгим математическим доказательством. Это объясняется следующими причинами:

1. Ограниченность выборки. Мы проверили свойство только на трёх параллелограммах. В математике существует бесконечное множество всевозможных параллелограммов. Нельзя гарантировать, что среди них не найдётся хотя бы один, для которого наша гипотеза окажется неверной. Доказательство должно охватывать все без исключения случаи.

2. Погрешность измерений. Любой измерительный прибор, включая транспортир, имеет погрешность. Наши измерения являются приблизительными. Например, реальные значения углов могли быть $ 65.1^\circ $ и $ 114.9^\circ $, но из-за неточности прибора и считывания мы получили ровные значения. Математическое доказательство требует абсолютной точности, а не приблизительного равенства.

3. Индуктивный характер вывода. Мы сделали общий вывод на основе частных примеров. Такой метод рассуждения называется индукцией. Математические доказательства строятся на основе дедукции — логического вывода общего утверждения из фундаментальных определений, аксиом и ранее доказанных теорем, который не зависит от конкретных примеров.

Ответ: Проверка утверждения на нескольких конкретных примерах не является строгим математическим доказательством, так как не гарантирует, что это утверждение будет верным для всех возможных случаев, которых бесконечно много, и к тому же измерения всегда содержат погрешность. Доказательство должно быть основано на логическом выводе из аксиом и определений.

600 Начерти три произвольных параллелограмма и измерь их углы. Сравни полученные результаты и сформулируй гипотезу. Почему проведенное исследование не является доказательством этой гипотезы?

601 Два луча, проведённые из вершины развёрнутого угла, разбивают его на 3 части пропорционально числам $1 : \frac{1}{3} : 2\frac{2}{3}$. Найди величины этих углов и сделай чертёж.

Развёрнутый угол равен $180^\circ$. Согласно условию, он разделен двумя лучами на три угла, величины которых пропорциональны числам $1$, $\frac{1}{3}$ и $2\frac{2}{3}$.

Для удобства вычислений преобразуем данное отношение в отношение целых чисел.

1. Сначала представим смешанное число $2\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби:$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.

2. Теперь отношение выглядит так: $1 : \frac{1}{3} : \frac{8}{3}$.

3. Чтобы избавиться от дробных частей, умножим все члены отношения на их общий знаменатель, который равен 3:$(1 \cdot 3) : (\frac{1}{3} \cdot 3) : (\frac{8}{3} \cdot 3)$, что даёт нам отношение $3 : 1 : 8$.

Пусть $x$ — коэффициент пропорциональности, тогда величины углов можно выразить как $3x$, $1x$ (или просто $x$) и $8x$. Сумма этих трёх углов составляет развёрнутый угол, то есть $180^\circ$. Составим и решим уравнение:

$3x + x + 8x = 180^\circ$

$12x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{12}$

$x = 15^\circ$

Теперь, зная значение $x$, найдём величину каждого угла:

Первый угол: $3x = 3 \cdot 15^\circ = 45^\circ$.
Второй угол: $x = 15^\circ$.
Третий угол: $8x = 8 \cdot 15^\circ = 120^\circ$.

Проверим, равна ли сумма углов $180^\circ$: $45^\circ + 15^\circ + 120^\circ = 60^\circ + 120^\circ = 180^\circ$. Всё верно.

Далее представлен чертёж. Развёрнутый угол AOB с вершиной в точке O разделён лучами OC и OD на три угла: $\angle AOC = 45^\circ$, $\angle COD = 15^\circ$ и $\angle DOB = 120^\circ$.

Ответ: величины этих углов равны $45^\circ$, $15^\circ$ и $120^\circ$.

601 Два луча, проведенные из вершины развернутого угла, разбивают его на 3 части пропорционально числам $1 : \frac{1}{3} : 2\frac{2}{3}$. Найди величины этих углов и сделай чертеж.

602. Периметр прямоугольника равен 12 см, одна из сторон — $x$ см, а площадь равна $S$ см². Запиши формулу зависимости $S$ от $x$. Заполни таблицу и построй график этой зависимости.

$x$: 0, 1, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 5, 6

$S$:

Выскажи гипотезу о форме прямоугольника наибольшей площади. Почему проведённое исследование нельзя считать доказательством этой гипотезы?

Запиши формулу зависимости S от x.

Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см, а другая сторона — $y$ см. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$. По условию задачи $P = 12$ см.

$12 = 2(x + y)$
$6 = x + y$

Выразим вторую сторону $y$ через $x$:

$y = 6 - x$

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = x \cdot y$. Подставим в эту формулу выражение для $y$:

$S(x) = x(6 - x) = 6x - x^2$

Так как длины сторон должны быть положительными, то $x > 0$ и $y = 6 - x > 0$, что означает $x < 6$. Следовательно, формула имеет физический смысл при $0 < x < 6$.

Ответ: $S = 6x - x^2$

Заполни таблицу и построй график этой зависимости.

Для заполнения таблицы вычислим значения площади $S$ для заданных значений $x$ по формуле $S(x) = 6x - x^2$.

• При $x = 0$: $S = 6(0) - 0^2 = 0$
• При $x = 1$: $S = 6(1) - 1^2 = 6 - 1 = 5$
• При $x = 2$: $S = 6(2) - 2^2 = 12 - 4 = 8$
• При $x = 2,5$: $S = 6(2,5) - (2,5)^2 = 15 - 6,25 = 8,75$
• При $x = 3$: $S = 6(3) - 3^2 = 18 - 9 = 9$
• При $x = 3,5$: $S = 6(3,5) - (3,5)^2 = 21 - 12,25 = 8,75$
• При $x = 4$: $S = 6(4) - 4^2 = 24 - 16 = 8$
• При $x = 5$: $S = 6(5) - 5^2 = 30 - 25 = 5$
• При $x = 6$: $S = 6(6) - 6^2 = 36 - 36 = 0$

Заполненная таблица:

Графиком зависимости $S(x) = -x^2 + 6x$ является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный). Вершина параболы соответствует максимальному значению функции. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$, где $a=-1$ и $b=6$.

$x_v = -\frac{6}{2(-1)} = 3$

Ордината вершины: $S(3) = 6(3) - 3^2 = 18 - 9 = 9$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3; 9)$. Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки из таблицы и соединить их плавной кривой, образующей параболу.

Ответ: Заполненная таблица и описание графика представлены выше.

Выскажи гипотезу о форме прямоугольника наибольшей площади.

Из таблицы и анализа графика следует, что максимальное значение площади $S=9$ см² достигается при длине одной из сторон $x=3$ см. При этом длина второй стороны $y$ будет равна:

$y = 6 - x = 6 - 3 = 3$ см.

Так как обе стороны прямоугольника равны ($x=y=3$ см), то такой прямоугольник является квадратом.

Ответ: Гипотеза: из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Почему проведённое исследование нельзя считать доказательством этой гипотезы?

Проведённое исследование, включающее заполнение таблицы и построение графика по точкам, не является строгим математическим доказательством, так как:

1. Мы проверили только конечное число значений $x$. Длина стороны может быть любым действительным числом в интервале $(0; 6)$. Мы не можем быть уверены, что между выбранными нами точками (например, при $x=2,999$) не существует значения, дающего большую площадь.
2. Построение графика по точкам дает лишь наглядное представление и может содержать неточности. Оно помогает сформулировать гипотезу, но не доказывает, что максимум функции находится именно в точке $x=3$.

Строгое доказательство требует аналитического исследования квадратичной функции $S(x) = -x^2 + 6x$ и нахождения ее максимума, что мы и сделали при определении координат вершины параболы. Само же исследование на основе таблицы является лишь эмпирической проверкой, а не формальным доказательством.

Ответ: Исследование основано на проверке лишь нескольких частных случаев (значений $x$ из таблицы), а не на анализе всех возможных значений переменной, поэтому оно не может служить строгим доказательством.

602 Периметр прямоугольника равен 12 см, одна из сторон – $x$ см, а площадь равна $S$ см^2$. Запиши формулу зависимости $S$ от $x$. Заполни таблицу и построй график этой зависимости:

$x$ | 0 | 1 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 5 | 6

$S$ | | | | | | | | |

Выскажи гипотезу о форме прямоугольника наибольшей площади. Почему проведенное исследование нельзя считать доказательством этой гипотезы?

603 Среди шестиклассников провели опрос о том, сколько времени в среднем они проводят в Интернете. Переведи в круговую диаграмму таблицу результатов этого опроса.

Проведи такой же опрос среди своих друзей и построй круговую диаграмму.

Переведи в круговую диаграмму таблицу результатов этого опроса.

Для того чтобы перевести табличные данные в круговую диаграмму, необходимо рассчитать, какую часть от целого (в данном случае, от полного круга в $360^\circ$) составляет каждая категория.

1. Найдем общее количество опрошенных шестиклассников.
Для этого сложим количество ответов из всех категорий:
$6 + 6 + 12 + 3 = 27$ человек.

2. Рассчитаем величину центрального угла для каждого сектора диаграммы.
Общее количество опрошенных (27 человек) соответствует полному кругу, то есть $360^\circ$. Угол для каждой категории вычисляется по формуле:
$Угол = \frac{\text{Количество ответов в категории}}{\text{Общее количество ответов}} \times 360^\circ$

- от 2 до 5 часов (6 ответов):
$Угол = \frac{6}{27} \times 360^\circ = \frac{2}{9} \times 360^\circ = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$.

- от 1 до 2 часов (6 ответов):
$Угол = \frac{6}{27} \times 360^\circ = \frac{2}{9} \times 360^\circ = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$.

- менее часа (12 ответов):
$Угол = \frac{12}{27} \times 360^\circ = \frac{4}{9} \times 360^\circ = 4 \times 40^\circ = 160^\circ$.

- 0 часов (3 ответа):
$Угол = \frac{3}{27} \times 360^\circ = \frac{1}{9} \times 360^\circ = 40^\circ$.

3. Проверим правильность вычислений.
Сумма всех углов должна равняться $360^\circ$:
$80^\circ + 80^\circ + 160^\circ + 40^\circ = 360^\circ$.
Расчеты верны. Теперь можно построить круговую диаграмму, используя транспортир для откладывания секторов с полученными углами.

Ответ: Для построения круговой диаграммы нужно разделить круг на четыре сектора с центральными углами: $80^\circ$ (для категории «от 2 до 5 часов»), $80^\circ$ (для категории «от 1 до 2 часов»), $160^\circ$ (для категории «менее часа») и $40^\circ$ (для категории «0 часов»).

Проведи такой же опрос среди своих друзей и построй круговую диаграмму.

Это практическое задание, которое нужно выполнить самостоятельно. Алгоритм действий аналогичен решению первой части задачи.

1. Проведи опрос. Спроси у своих друзей, сколько времени в день они в среднем проводят в Интернете. Запиши результаты в таблицу по тем же четырем категориям (от 2 до 5 часов, от 1 до 2 часов, менее часа, 0 часов).

2. Подсчитай общее количество опрошенных друзей.

3. Рассчитай угол для каждой категории по формуле, подставив свои данные:$Угол = \frac{\text{Количество друзей в категории}}{\text{Общее количество опрошенных друзей}} \times 360^\circ$.

4. Начерти круг и построй диаграмму с помощью транспортира, откладывая секторы с вычисленными углами. Подпиши каждый сектор.

Пример:
Допустим, ты опросил 10 друзей и получил такие данные:
- от 2 до 5 часов: 5 друзей $\rightarrow Угол = \frac{5}{10} \times 360^\circ = 180^\circ$
- от 1 до 2 часов: 3 друга $\rightarrow Угол = \frac{3}{10} \times 360^\circ = 108^\circ$
- менее часа: 2 друга $\rightarrow Угол = \frac{2}{10} \times 360^\circ = 72^\circ$
- 0 часов: 0 друзей $\rightarrow Угол = \frac{0}{10} \times 360^\circ = 0^\circ$
Проверка: $180^\circ + 108^\circ + 72^\circ + 0^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Для выполнения этого задания необходимо провести собственный опрос, занести данные в таблицу, рассчитать углы для каждой категории и на основе этих расчетов построить круговую диаграмму.

603 Прочитай выражения и сравни их значения, если $a = -5,4, b = 0,84$:
$|a+b|$ и $|a|+|b|$.

Сравни эти же выражения еще для нескольких значений $a$ и $b$, взятых по собственному выбору. Сформулируй гипотезу и попробуй доказать ее в общем виде.

604 Реши уравнение:

а) $5(2x + 6) - 3(x + 4) = 7x;$

б) $1,6(y - 2) - 0,4(5 - 3y) = -0,8(4y + 2).$

а) $5(2x + 6) - 3(x + 4) = 7x$

Сначала раскроем скобки в левой части уравнения, используя распределительное свойство умножения:

$5 \cdot 2x + 5 \cdot 6 - 3 \cdot x - 3 \cdot 4 = 7x$

$10x + 30 - 3x - 12 = 7x$

Теперь приведем подобные слагаемые в левой части уравнения (отдельно слагаемые с переменной $x$ и отдельно числа):

$(10x - 3x) + (30 - 12) = 7x$

$7x + 18 = 7x$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены (числа) — в другую:

$7x - 7x = -18$

$0 \cdot x = -18$

$0 = -18$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что исходное уравнение не имеет решений ни при каком значении $x$.

Ответ: нет решений.

б) $1,6(y - 2) - 0,4(5 - 3y) = -0,8(4y + 2)$

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим обе части уравнения на 10:

$10 \cdot (1,6(y - 2) - 0,4(5 - 3y)) = 10 \cdot (-0,8(4y + 2))$

$16(y - 2) - 4(5 - 3y) = -8(4y + 2)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$16y - 16 \cdot 2 - 4 \cdot 5 - 4 \cdot (-3y) = -8 \cdot 4y - 8 \cdot 2$

$16y - 32 - 20 + 12y = -32y - 16$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(16y + 12y) + (-32 - 20) = -32y - 16$

$28y - 52 = -32y - 16$

Перенесем слагаемые с переменной $y$ в левую часть уравнения, а числа — в правую, меняя их знаки на противоположные:

$28y + 32y = 52 - 16$

Сложим подобные слагаемые:

$60y = 36$

Найдем $y$, разделив обе части на 60:

$y = \frac{36}{60}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель для 36 и 60 — это 12:

$y = \frac{36 \div 12}{60 \div 12} = \frac{3}{5}$

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$y = 0,6$

Ответ: $0,6$.

604 Реши уравнения:

а) $5(2x + 6) - 3(x + 4) = 7x$;

б) $1.6(y - 2) - 0.4(5 - 3y) = -0.8(4y + 2)$.