Номер 602, страница 139, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 3. Геометрические величины и их измерения. 2. Измерение углов. Транспортир - номер 602, страница 139.

Условие 2023.

602. Периметр прямоугольника равен 12 см, одна из сторон — $x$ см, а площадь равна $S$ см². Запиши формулу зависимости $S$ от $x$. Заполни таблицу и построй график этой зависимости.

$x$: 0, 1, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 5, 6

$S$:

Выскажи гипотезу о форме прямоугольника наибольшей площади. Почему проведённое исследование нельзя считать доказательством этой гипотезы?

Решение 2 (2023).

Запиши формулу зависимости S от x.

Пусть одна сторона прямоугольника равна $x$ см, а другая сторона — $y$ см. Периметр прямоугольника $P$ вычисляется по формуле $P = 2(x + y)$. По условию задачи $P = 12$ см.

$12 = 2(x + y)$
$6 = x + y$

Выразим вторую сторону $y$ через $x$:

$y = 6 - x$

Площадь прямоугольника $S$ равна произведению его сторон: $S = x \cdot y$. Подставим в эту формулу выражение для $y$:

$S(x) = x(6 - x) = 6x - x^2$

Так как длины сторон должны быть положительными, то $x > 0$ и $y = 6 - x > 0$, что означает $x < 6$. Следовательно, формула имеет физический смысл при $0 < x < 6$.

Ответ: $S = 6x - x^2$

Заполни таблицу и построй график этой зависимости.

Для заполнения таблицы вычислим значения площади $S$ для заданных значений $x$ по формуле $S(x) = 6x - x^2$.

• При $x = 0$: $S = 6(0) - 0^2 = 0$
• При $x = 1$: $S = 6(1) - 1^2 = 6 - 1 = 5$
• При $x = 2$: $S = 6(2) - 2^2 = 12 - 4 = 8$
• При $x = 2,5$: $S = 6(2,5) - (2,5)^2 = 15 - 6,25 = 8,75$
• При $x = 3$: $S = 6(3) - 3^2 = 18 - 9 = 9$
• При $x = 3,5$: $S = 6(3,5) - (3,5)^2 = 21 - 12,25 = 8,75$
• При $x = 4$: $S = 6(4) - 4^2 = 24 - 16 = 8$
• При $x = 5$: $S = 6(5) - 5^2 = 30 - 25 = 5$
• При $x = 6$: $S = 6(6) - 6^2 = 36 - 36 = 0$

Заполненная таблица:

$x$	0	1	2	2,5	3	3,5	4	5	6
$S$	0	5	8	8,75	9	8,75	8	5	0

Графиком зависимости $S(x) = -x^2 + 6x$ является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку коэффициент при $x^2$ отрицательный). Вершина параболы соответствует максимальному значению функции. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$, где $a=-1$ и $b=6$.

$x_v = -\frac{6}{2(-1)} = 3$

Ордината вершины: $S(3) = 6(3) - 3^2 = 18 - 9 = 9$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3; 9)$. Для построения графика нужно отметить на координатной плоскости точки из таблицы и соединить их плавной кривой, образующей параболу.

Ответ: Заполненная таблица и описание графика представлены выше.

Выскажи гипотезу о форме прямоугольника наибольшей площади.

Из таблицы и анализа графика следует, что максимальное значение площади $S=9$ см² достигается при длине одной из сторон $x=3$ см. При этом длина второй стороны $y$ будет равна:

$y = 6 - x = 6 - 3 = 3$ см.

Так как обе стороны прямоугольника равны ($x=y=3$ см), то такой прямоугольник является квадратом.

Ответ: Гипотеза: из всех прямоугольников с одинаковым периметром наибольшую площадь имеет квадрат.

Почему проведённое исследование нельзя считать доказательством этой гипотезы?

Проведённое исследование, включающее заполнение таблицы и построение графика по точкам, не является строгим математическим доказательством, так как:

1. Мы проверили только конечное число значений $x$. Длина стороны может быть любым действительным числом в интервале $(0; 6)$. Мы не можем быть уверены, что между выбранными нами точками (например, при $x=2,999$) не существует значения, дающего большую площадь.
2. Построение графика по точкам дает лишь наглядное представление и может содержать неточности. Оно помогает сформулировать гипотезу, но не доказывает, что максимум функции находится именно в точке $x=3$.

Строгое доказательство требует аналитического исследования квадратичной функции $S(x) = -x^2 + 6x$ и нахождения ее максимума, что мы и сделали при определении координат вершины параболы. Само же исследование на основе таблицы является лишь эмпирической проверкой, а не формальным доказательством.

Ответ: Исследование основано на проверке лишь нескольких частных случаев (значений $x$ из таблицы), а не на анализе всех возможных значений переменной, поэтому оно не может служить строгим доказательством.

Условие 2010-2022.

602 Периметр прямоугольника равен 12 см, одна из сторон – $x$ см, а площадь равна $S$ см^2$. Запиши формулу зависимости $S$ от $x$. Заполни таблицу и построй график этой зависимости:

$x$ | 0 | 1 | 2 | 2,5 | 3 | 3,5 | 4 | 5 | 6

$S$ | | | | | | | | |

Выскажи гипотезу о форме прямоугольника наибольшей площади. Почему проведенное исследование нельзя считать доказательством этой гипотезы?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).