Страница 143, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

К 608 Приведи примеры сочетания симметрии и асимметрии из разных областей действительности.

Биология: Внешнее строение тела человека и подавляющего большинства животных обладает билатеральной (зеркальной) симметрией: у нас две руки, две ноги, два глаза, расположенные симметрично относительно центральной оси тела. Это обеспечивает равновесие и скоординированность движений. Однако на внутреннем уровне наблюдается выраженная асимметрия: сердце смещено влево, основная часть печени находится справа, желудок и селезенка — слева. Более того, существует функциональная асимметрия полушарий головного мозга, определяющая, например, будет ли человек правшой или левшой. В растительном мире лист дерева часто симметричен, но само дерево растет асимметрично, подстраиваясь под условия освещения и ветра. Ответ: Тело человека, которое внешне является симметричным, но имеет асимметричное расположение внутренних органов и функциональное разделение полушарий мозга.

Архитектура и искусство: Многие великие архитектурные сооружения, такие как Тадж-Махал или собор Парижской Богоматери, демонстрируют строгую симметрию фасадов. Симметрия создает ощущение гармонии, порядка и монументальности. Однако абсолютная симметрия может выглядеть статично и скучно, поэтому архитекторы и художники сознательно вводят асимметричные элементы для придания динамики: в здании это может быть одна башня, отличающаяся от другой, или смещенный от центра вход. В картине Леонардо да Винчи «Мона Лиза» лицо практически симметрично, но легкая асимметрия улыбки и различия в пейзаже слева и справа от фигуры делают образ живым и загадочным. Ответ: Классический дворец с симметричным фасадом, но с асимметричными элементами в декоре и внутренней планировке помещений.

Физика и химия: На микроуровне мир полон симметрии. Кристаллы — это эталон порядка, их атомы образуют симметричные кристаллические решетки. Многие молекулы, например, молекула воды ($H_2O$) или метана ($CH_4$), имеют симметричное строение. Однако эта симметрия постоянно нарушается. В реальных кристаллах всегда есть дефекты и примеси, которые являются асимметричными вкраплениями в идеальную структуру. В органической химии существует фундаментальное явление хиральности: многие молекулы, включая аминокислоты, асимметричны и существуют в виде двух зеркальных отражений («правой» и «левой» форм). При этом вся жизнь на Земле построена на «левых» аминокислотах, что является глобальным нарушением симметрии на молекулярном уровне. Ответ: Кристалл поваренной соли, обладающий симметричной кубической решеткой, но содержащий асимметричные дефекты и трещины.

Техника и быт: Многие созданные человеком объекты спроектированы симметричными. Кузов автомобиля симметричен для улучшения аэродинамики и эстетической привлекательности. Ножницы состоят из двух симметричных половинок. Однако функциональность часто требует асимметрии. Внутри симметричного автомобиля приборная панель, руль и педали расположены асимметрично, со стороны водителя. На симметричной по крою рубашке может быть асимметрично расположен нагрудный карман, а застежка на мужской и женской одежде традиционно делается на разные стороны. Ответ: Легковой автомобиль, имеющий симметричный кузов, но асимметрично расположенные органы управления в салоне.

608. Приведи примеры сочетания симметрии и асимметрии из разных областей действительности.

609. На лист бумаги капни чернилами, сложи его пополам, а потом разверни. Что можно сказать о получившихся на листе фигурах?

Когда мы капаем чернилами на лист бумаги, складываем его пополам, а затем разворачиваем, происходит следующее: мокрые чернила с одной половины листа отпечатываются на другой. В результате на листе образуются две фигуры: исходная чернильная клякса и ее отпечаток.

Эти две фигуры обладают свойством, которое в геометрии называется осевой симметрией. Линия сгиба листа бумаги является осью симметрии.

Это означает, что:

• Каждая точка исходной фигуры и соответствующая ей точка на отпечатке находятся на одинаковом расстоянии от линии сгиба.
• Если провести отрезок между любой точкой исходной фигуры и ее отражением на отпечатке, то линия сгиба будет перпендикулярна этому отрезку и будет делить его пополам.

Таким образом, одна фигура является точным зеркальным отражением другой относительно линии сгиба. Если рассматривать обе фигуры как единое целое, то эта общая фигура будет симметричной фигурой, а линия сгиба — ее осью симметрии.

Ответ: Получившиеся на листе фигуры симметричны друг другу относительно линии сгиба. Общая фигура, состоящая из исходной кляксы и ее отпечатка, обладает осевой симметрией, где осью симметрии является линия сгиба.

609 На лист бумаги капни чернилами, сложи его пополам, а потом разверни.

Что можно сказать о получившихся на листе фигурах?

610 Как ты думаешь, симметричны ли данные фигуры относительно прямой $l$?

Проверь свою гипотезу с помощью кальки.

а) $F_1$, $F_2$, $l$

б) $F_1$, $F_2$, $l$

в) $F_1$, $F_2$, $l$

а) Две фигуры $F_1$ и $F_2$ называются симметричными относительно прямой $l$, если при мысленном перегибании плоскости чертежа по этой прямой фигуры полностью совмещаются. Это значит, что каждая точка одной фигуры является отражением соответствующей точки другой фигуры. В данном случае ось симметрии $l$ — вертикальная прямая. Для симметрии относительно вертикальной оси необходимо, чтобы для любой пары соответствующих точек (по одной из каждой фигуры) выполнялось два условия: 1. Отрезок, соединяющий эти точки, должен быть перпендикулярен оси $l$ (то есть должен быть горизонтальным). 2. Ось $l$ должна делить этот отрезок пополам (то есть расстояния от точек до оси должны быть равны). Рассмотрим, например, верхние вершины треугольников $F_1$ и $F_2$. Они лежат на одной горизонтальной прямой, то есть первое условие выполняется. Однако, если измерить расстояние от верхней вершины треугольника $F_1$ до прямой $l$ и от верхней вершины треугольника $F_2$ до прямой $l$, то видно, что эти расстояния не равны. Расстояние для $F_1$ заметно меньше. Поскольку условие равенства расстояний до оси симметрии не выполняется, фигуры не симметричны.
Ответ: нет.

б) Фигуры $F_1$ и $F_2$ — это две окружности, а прямая $l$ — горизонтальная ось симметрии. Две окружности симметричны относительно прямой, если их радиусы равны, а их центры симметричны относительно этой прямой. Пусть $C_1$ — центр окружности $F_1$, а $C_2$ — центр окружности $F_2$. Чтобы точки $C_1$ и $C_2$ были симметричны относительно горизонтальной прямой $l$, нужно, чтобы отрезок $C_1C_2$ был ей перпендикулярен (то есть был вертикальным) и делился ею пополам. На рисунке видно, что центры окружностей расположены на одной вертикальной прямой, перпендикулярной оси $l$. Также визуально очевидно, что расстояние от центра $C_1$ до прямой $l$ равно расстоянию от центра $C_2$ до прямой $l$. Радиусы окружностей также выглядят одинаковыми. Следовательно, все условия симметрии для данных окружностей выполняются.
Ответ: да.

в) Фигуры $F_1$ и $F_2$ — это два прямоугольника, а прямая $l$ — наклонная ось симметрии. Рассмотрим, как осевая симметрия влияет на ориентацию фигуры. Стороны прямоугольников $F_1$ и $F_2$ расположены горизонтально и вертикально. При симметричном отражении относительно наклонной прямой, которая не параллельна и не перпендикулярна сторонам прямоугольника (как в данном случае), ориентация фигуры меняется. В частности, при отражении относительно прямой с наклоном, как у прямой $l$ (близким к $135^\circ$), горизонтальные стороны прямоугольника $F_2$ должны были бы перейти в вертикальные стороны симметричной ему фигуры, а вертикальные — в горизонтальные. Это означает, что отраженная фигура была бы "повёрнута" на $90^\circ$ по сравнению с исходной и стала бы вертикальным прямоугольником. Однако фигура $F_1$ на рисунке также является горизонтальным прямоугольником, а не вертикальным. Поскольку ориентация фигуры $F_1$ не совпадает с той, которая должна была бы получиться в результате симметричного отражения фигуры $F_2$, данные фигуры не симметричны относительно прямой $l$.
Ответ: нет.

610 Как ты думаешь, симметричны ли данные фигуры относительно прямой $l$?

Проверь свою гипотезу с помощью кальки.

а) $F_1$ $l$ $F_2$

б) $F_1$ $l$ $F_2$

в) $l$ $F_1$ $F_2$