Номер 676, страница 157, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 2. Преобразование плоскости. Равные фигуры - номер 676, страница 157.

Условие 2023.

676 На гладкой бумаге начерти равносторонний треугольник и построй его оси симметрии. Есть ли у равностороннего треугольника центр симметрии? При каких поворотах равносторонний треугольник переходит сам в себя?

Решение 2 (2023).

Построение осей симметрии равностороннего треугольника

Равносторонний треугольник — это правильный многоугольник, у которого все стороны и все углы равны. Оси симметрии — это прямые, при отражении относительно которых фигура переходит сама в себя.

У равностороннего треугольника есть три оси симметрии. Каждая ось симметрии проходит через одну из вершин треугольника и середину противоположной стороны. Таким образом, осями симметрии равностороннего треугольника являются его медианы, которые также являются его высотами и биссектрисами.

Все три оси симметрии пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной и описанной окружностей, а также центром тяжести (центроидом) треугольника.

Ответ: Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии. Каждая ось является медианой (а также высотой и биссектрисой), проведенной из вершины к противоположной стороне.

Наличие центра симметрии у равностороннего треугольника

Центр симметрии фигуры — это такая точка, что любое отражение относительно нее переводит фигуру в саму себя. Это эквивалентно повороту фигуры на $180^\circ$ вокруг этой точки.

Рассмотрим кандидата на роль центра симметрии — точку пересечения его осей симметрии (медиан). Если мы повернем треугольник на $180^\circ$ вокруг этой точки, то каждая вершина перейдет в точку, которая не является вершиной исходного треугольника. Следовательно, треугольник не перейдет сам в себя.

Таким образом, у равностороннего треугольника нет центра симметрии.

Ответ: У равностороннего треугольника нет центра симметрии.

Повороты, при которых равносторонний треугольник переходит сам в себя

Равносторонний треугольник обладает поворотной симметрией 3-го порядка. Это означает, что он совмещается сам с собой при повороте на определенные углы вокруг своего центра (точки пересечения медиан).

Полный оборот составляет $360^\circ$. Поскольку у треугольника 3 одинаковые стороны и 3 одинаковых угла, он будет совмещаться сам с собой при поворотах на углы, кратные $\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.

Такими поворотами являются:

• Поворот на $120^\circ$.
• Поворот на $240^\circ$ ($120^\circ \times 2$).
• Поворот на $360^\circ$ (или $0^\circ$), который является тождественным преобразованием и возвращает треугольник в исходное положение.

Ответ: Равносторонний треугольник переходит сам в себя при поворотах вокруг своего центра на углы $120^\circ$, $240^\circ$ и $360^\circ$.

Условие 2010-2022.

676 На гладкой бумаге начерти равносторонний треугольник и построй его оси симметрии.

Есть ли у равностороннего треугольника центр симметрии?

При каких поворотах равносторонний треугольник переходит сам в себя?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).