Номер 674, страница 157, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 4. Симметрия фигур. 2. Преобразование плоскости. Равные фигуры - номер 674, страница 157.

Условие 2023.

674 Начерти треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 4 \text{ см}$, $BC = 2 \text{ см}$, $AC = 5 \text{ см}$. Построй треугольник $A_1B_1C_1$, центрально-симметричный треугольнику $ABC$ относительно вершины $B$. Является ли точка $B$ центром симметрии четырёх-угольника $ACA_1C_1$? Как это доказать?

Решение 2 (2023).

Построение треугольника $ABC$ и центрально-симметричного ему треугольника $A_1B_1C_1$

1. Сначала построим треугольник $ABC$ по трём сторонам. С помощью линейки проведём отрезок $AC$ длиной 5 см. Затем с помощью циркуля построим окружность с центром в точке $A$ и радиусом 4 см (длина стороны $AB$), и окружность с центром в точке $C$ и радиусом 2 см (длина стороны $BC$). Точка пересечения этих двух окружностей будет вершиной $B$. Соединим точки $A$, $B$ и $C$ отрезками. Треугольник $ABC$ построен.

2. Теперь построим треугольник $A_1B_1C_1$, центрально-симметричный треугольнику $ABC$ относительно вершины $B$. Центром симметрии является точка $B$.

- Точка, симметричная вершине $A$ относительно $B$, — это точка $A_1$, для которой $B$ является серединой отрезка $AA_1$. Для её построения проведём луч $AB$ и отложим на нём от точки $B$ отрезок $BA_1$, равный отрезку $AB$. Таким образом, $AB = BA_1 = 4$ см.

- Точка, симметричная вершине $B$ относительно самой себя, — это сама точка $B$. Таким образом, вершина $B_1$ совпадает с вершиной $B$.

- Точка, симметричная вершине $C$ относительно $B$, — это точка $C_1$, для которой $B$ является серединой отрезка $CC_1$. Для её построения проведём луч $CB$ и отложим на нём от точки $B$ отрезок $BC_1$, равный отрезку $BC$. Таким образом, $BC = BC_1 = 2$ см.

3. Соединив точки $A_1$, $B_1$ (то есть $B$) и $C_1$, получим искомый треугольник $A_1BC_1$.

Ответ: Построение выполнено согласно описанным шагам.

Является ли точка B центром симметрии четырёхугольника $ACA_1C_1$?

Да, точка $B$ является центром симметрии четырёхугольника $ACA_1C_1$.

Ответ: Да, является.

Как это доказать?

Фигура симметрична относительно некоторой точки (центра симметрии), если для каждой точки фигуры симметричная ей точка также принадлежит этой фигуре. Для многоугольника это означает, что центр симметрии является точкой пересечения его диагоналей и делит их пополам.

Рассмотрим четырёхугольник $ACA_1C_1$. Его диагоналями являются отрезки $AA_1$ и $CC_1$.

1. По построению, точка $A_1$ симметрична точке $A$ относительно точки $B$. Это по определению означает, что точка $B$ является серединой отрезка $AA_1$.

2. Аналогично, по построению, точка $C_1$ симметрична точке $C$ относительно точки $B$. Это означает, что точка $B$ является серединой отрезка $CC_1$.

3. Таким образом, диагонали $AA_1$ и $CC_1$ четырёхугольника $ACA_1C_1$ пересекаются в точке $B$ и делятся этой точкой пополам.

4. Четырёхугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $ACA_1C_1$ — параллелограмм.

5. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Следовательно, точка $B$ является центром симметрии четырёхугольника (параллелограмма) $ACA_1C_1$.

Ответ: Доказательство основано на определении центральной симметрии и свойстве диагоналей параллелограмма (если диагонали четырёхугольника делят друг друга пополам в точке их пересечения, то этот четырёхугольник — параллелограмм, а точка пересечения диагоналей является его центром симметрии).

Условие 2010-2022.

674 Начерти треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 4$ см, $BC = 2$ см, $AC = 5$ см. Построй треугольник $A_1B_1C_1$, центрально-симметричный треугольнику $ABC$ относительно вершины $B$. Является ли точка $B$ центром симметрии четырехугольника $ACA_1C_1$? Как это доказать?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).