Номер 507, страница 118, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Многогранники. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 507, страница 118.

Условие 2023.

507* Кубик склеен из маленьких деревянных кубиков. В нём просверлили 6 сквозных дырок, параллельных рёбрам (рис. 71). Сколько маленьких кубиков остались неповреждёнными?

Рис. 71

Рис. 72

Решение 2 (2023).

Для решения задачи сначала определим общее количество маленьких кубиков в большом кубе. Затем мы вычислим, сколько маленьких кубиков было повреждено (просверлено), и вычтем это число из общего количества.

Шаг 1. Определение общего количества маленьких кубиков

Большой куб составлен из маленьких. Судя по рисунку, ребро большого кубика равно 4-м маленьким кубикам. Следовательно, общее количество маленьких кубиков равно:

$V_{общ} = 4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$ кубика.

Шаг 2. Определение количества поврежденных кубиков

В кубе просверлено 6 сквозных дырок в трех взаимно перпендикулярных направлениях (по 2 дырки в каждом направлении). Чтобы найти общее число поврежденных кубиков, мы посчитаем, сколько кубиков затрагивает каждая группа дырок, а затем воспользуемся принципом включений-исключений, чтобы учесть кубики, находящиеся на пересечении дырок.

• Дырки, просверленные спереди назад: 2 дырки, каждая проходит через 4 кубика. Всего $2 \times 4 = 8$ кубиков.
• Дырки, просверленные сверху вниз: 2 дырки, каждая проходит через 4 кубика. Всего $2 \times 4 = 8$ кубиков.
• Дырки, просверленные справа налево: 2 дырки, каждая проходит через 4 кубика. Всего $2 \times 4 = 8$ кубиков.

Если просто сложить эти числа, мы получим $8 + 8 + 8 = 24$ кубика. Однако некоторые кубики, находящиеся на пересечении дырок, посчитаны дважды. Найдем эти пересечения. Удобно ввести систему координат $(x, y, z)$, где $x, y, z$ принимают значения от 1 до 4. Из рисунка можно определить координаты рядов, через которые проходят дырки:

• Дырки "справа-налево" (вдоль оси X) удаляют кубики, для которых $(y,z) = (2,2)$ или $(y,z) = (3,3)$.
• Дырки "сверху-вниз" (вдоль оси Y) удаляют кубики, для которых $(x,z) = (2,3)$ или $(x,z) = (3,2)$.
• Дырки "спереди-назад" (вдоль оси Z) удаляют кубики, для которых $(x,y) = (2,2)$ или $(x,y) = (3,3)$.

Теперь найдем кубики на пересечениях двух дырок:

• Пересечение дырок направлений X и Y: кубики $(3, 2, 2)$ и $(2, 3, 3)$. Всего 2 кубика.
• Пересечение дырок направлений X и Z: кубики $(2, 2, 2)$ и $(3, 3, 3)$. Всего 2 кубика.
• Пересечение дырок направлений Y и Z: кубики $(2, 2, 3)$ и $(3, 3, 2)$. Всего 2 кубика.

Всего на пересечениях двух направлений лежат $2 + 2 + 2 = 6$ кубиков. Проверка показывает, что пересечений трех дырок нет (ни один из 6 найденных кубиков не повреждается третьей дыркой).

Общее число уникальных поврежденных кубиков по формуле включений-исключений равно:

$N_{повр} = (8 + 8 + 8) - (2 + 2 + 2) + 0 = 24 - 6 = 18$ кубиков.

Шаг 3. Определение количества неповрежденных кубиков

Чтобы найти количество неповрежденных кубиков, нужно вычесть количество поврежденных из общего количества кубиков:

$N_{неповр} = V_{общ} - N_{повр} = 64 - 18 = 46$ кубиков.

Ответ: 46

Условие 2010-2022.

C 507 Кубик склеен из маленьких деревянных кубиков. В нем просверлили 6 сквозных дырок, параллельных ребрам (рис. 71). Сколько маленьких кубиков остались неповрежденными?

Рис. 71

Рис. 72

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).