Номер 508, страница 118, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. 2. Многогранники - номер 508, страница 118.

Условие 2023.

508 На ребре $AD$ тетраэдра $ABCD$ отметили точку $M$, на ребре $AC$ – точку $N$, а на ребре $BC$ – точку $K$ (рис. 72). Построй сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$.

Рис. 72

Решение 2 (2023).

Для построения сечения тетраэдра плоскостью $\alpha$, проходящей через точки M, N и K, необходимо найти линии пересечения этой плоскости с гранями тетраэдра. Эти линии в совокупности образуют многоугольник, который и является искомым сечением. Построение выполняется методом следов.

1. Построение отрезков сечения на гранях ACD и ABC.

Точки M и N лежат на ребрах AD и AC соответственно, которые принадлежат одной грани ACD. Следовательно, отрезок MN является линией пересечения плоскости сечения $\alpha$ с гранью ACD. Аналогично, точки N и K лежат на ребрах AC и BC, принадлежащих грани ABC, поэтому отрезок NK является линией пересечения плоскости $\alpha$ с гранью ABC.

2. Построение вспомогательной точки L (точки следа).

Прямые MN и CD лежат в одной плоскости (плоскости грани ACD). Найдем точку их пересечения, продлив отрезки MN и CD до их пересечения. Обозначим эту точку L.
$L = MN \cap CD$.
Точка L принадлежит прямой MN, а значит, лежит в плоскости сечения $\alpha$. Также точка L принадлежит прямой CD, а значит, лежит в плоскости грани BCD. Таким образом, точка L является общей точкой для плоскости сечения $\alpha$ и плоскости грани BCD.

(Примечание: если прямые MN и CD окажутся параллельными, то линия пересечения плоскости сечения с плоскостью грани BCD будет проходить через точку K параллельно прямой CD).

3. Построение отрезка сечения на грани BCD.

Теперь у нас есть две точки, принадлежащие одновременно плоскости сечения $\alpha$ и плоскости грани BCD: это точка K (по условию) и точка L (по построению). Прямая, проходящая через эти две точки (прямая KL), является линией пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани BCD (следом секущей плоскости на грани BCD).
Проведем прямую KL. Эта прямая пересечет ребро BD в некоторой точке P.
$P = KL \cap BD$.
Точка P является четвертой вершиной искомого сечения, а отрезок KP — его стороной, лежащей на грани BCD.

4. Завершение построения сечения.

Точки M и P лежат на ребрах AD и BD соответственно, которые принадлежат грани ABD. Соединим точки M и P отрезком. Отрезок MP является последней стороной сечения и лежит на грани ABD.

В результате выполненных построений получен многоугольник MNKP, который является искомым сечением тетраэдра ABCD плоскостью $\alpha$.

Ответ: Искомое сечение — четырехугольник MNKP, построенный согласно описанным шагам.

Условие 2010-2022.

508 На ребре $AD$ тетраэдра $ABCD$ отметили точку $M$, на ребре $AC$ – точку $N$, а на ребре $BC$ – точку $K$ (рис. 72). Построй сечение тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, проходящей через точки $M$, $N$ и $K$.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).