Номер 448, страница 102, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 4. Замечательные точки в треугольнике - номер 448, страница 102.

Условие 2023.

448 a) В произвольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Построй окружность, описанную около треугольника $A_1B_1C_1$, и найди точки её пересечения со сторонами треугольника $ABC$. Определи свойство тех точек пересечения, которые не являются основаниями высот.

б) Найди отношения отрезков, на которые построенная окружность делит отрезки $AH$, $BH$ и $CH$, где $H$ – ортоцентр треугольника $ABC$. Что ты замечаешь?

Решение 2 (2023).

а) Построенная окружность, описанная около треугольника A₁B₁C₁ (треугольника, образованного основаниями высот), является известной в геометрии окружностью девяти точек. Эта окружность проходит через девять примечательных точек треугольника ABC:

• три основания высот (A₁, B₁, C₁);
• три середины сторон треугольника ABC (пусть это будут точки M_a, M_b, M_c);
• три середины отрезков, соединяющих ортоцентр H с вершинами треугольника ABC.

Следовательно, эта окружность пересекает стороны треугольника ABC не только в основаниях высот A₁, B₁, C₁, но и в серединах сторон M_a, M_b, M_c. Таким образом, точками пересечения окружности со стороной BC являются A₁ и M_a, со стороной AC — B₁ и M_b, со стороной AB — C₁ и M_c.

Свойство тех точек пересечения, которые не являются основаниями высот, заключается в том, что они являются серединами сторон исходного треугольника ABC.
Ответ: Точки пересечения, которые не являются основаниями высот, являются серединами сторон треугольника ABC.

б) Как было упомянуто в пункте а), окружность девяти точек проходит через середины отрезков, соединяющих ортоцентр H с вершинами треугольника A, B и C.

Пусть E_a — точка пересечения окружности с отрезком AH. По свойству окружности девяти точек, E_a является серединой отрезка AH. Следовательно, эта точка делит отрезок AH на два равных отрезка: AE_a = E_aH. Отношение этих отрезков равно $AE_a : E_aH = 1:1$.

Аналогично, окружность пересекает отрезок BH в его середине E_b, поэтому отношение отрезков равно $BE_b : E_bH = 1:1$.

И так же для отрезка CH: окружность пересекает его в середине E_c, и отношение отрезков равно $CE_c : E_cH = 1:1$.

Что можно заметить? Построенная окружность делит каждый из отрезков AH, BH и CH пополам, то есть в одном и том же отношении 1:1.
Ответ: Построенная окружность делит каждый из отрезков AH, BH и CH в отношении 1:1.

Условие 2010-2022.

448 a) В произвольном треугольнике $ABC$ провели высоты $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Построй окружность, описанную около треугольника $A_1B_1C_1$, и найди точки ее пересечения со сторонами треугольника $ABC$. Определи свойство тех точек пересечения, которые не являются основаниями высот.

б) Найди отношения отрезков, на которые построенная окружность делит отрезки $AH$, $BH$ и $CH$, где $H$ $-$ ортоцентр треугольника $ABC$. Что ты замечаешь?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).