Номер 480, страница 114, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

2. Многогранники. Параграф 2. Геометрические фигуры в пространстве. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 480, страница 114.

Условие 2023.

480 а) Сколько рёбер семиугольной пирамиды выходит из вершины, не принадлежащей основанию? Сколько у неё всего рёбер?

б) Существует ли пирамида, у которой 999 рёбер?

в) У пирамиды 100 рёбер. Какая это пирамида?

г) У пирамиды 725 вершин. Сколько вершин у основания этой пирамиды?

Решение 2 (2023).

а) В основании семиугольной пирамиды лежит многоугольник с семью углами (семиугольник), у которого 7 вершин. Вершина пирамиды, не принадлежащая основанию (также называемая вершиной или апексом), соединена рёбрами с каждой из вершин основания. Следовательно, из этой вершины выходит 7 рёбер.
Общее количество рёбер пирамиды складывается из количества рёбер в основании и количества боковых рёбер. В основании семиугольной пирамиды 7 рёбер. Количество боковых рёбер равно количеству вершин основания, то есть тоже 7. Таким образом, общее число рёбер равно $7 + 7 = 14$.
Ответ: 7 рёбер выходит из вершины, не принадлежащей основанию; всего у пирамиды 14 рёбер.

б) Для любой $n$-угольной пирамиды (пирамиды, в основании которой лежит $n$-угольник) общее число рёбер равно удвоенному числу вершин в основании. В основании $n$ рёбер и ещё $n$ боковых рёбер, соединяющих вершины основания с вершиной пирамиды. Общее число рёбер всегда равно $2n$. Это означает, что общее число рёбер любой пирамиды всегда является чётным числом. Число 999 — нечётное, поэтому пирамиды с 999 рёбрами существовать не может.
Ответ: нет, не существует.

в) Пусть в основании пирамиды лежит $n$-угольник. Тогда, как указано выше, общее число рёбер равно $2n$. По условию задачи, у пирамиды 100 рёбер. Составим уравнение: $2n = 100$. Решив его, получим $n = 100 / 2 = 50$. Это означает, что в основании пирамиды лежит многоугольник с 50 сторонами (пятидесятиугольник). Такая пирамида называется пятидесятиугольной.
Ответ: это пятидесятиугольная пирамида.

г) У $n$-угольной пирамиды $n$ вершин в основании и одна вершина, не принадлежащая основанию. Общее число вершин равно $n + 1$. По условию, у пирамиды 725 вершин. Составим уравнение: $n + 1 = 725$. Чтобы найти количество вершин в основании ($n$), решим уравнение: $n = 725 - 1 = 724$. Таким образом, у основания этой пирамиды 724 вершины.
Ответ: 724 вершины.

Условие 2010-2022.

480 а) Сколько ребер семиугольной пирамиды выходит из вершины, не принадлежащей основанию? Сколько у нее всего ребер?

б) Существует ли пирамида, у которой 999 ребер?

в) У пирамиды 100 ребер. Какая это пирамида?

г) У пирамиды 725 вершин. Сколько вершин у основания этой пирамиды?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).