Страница 96, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

415 Пусть A – значение некоторой величины, а $p$ % от $A$ составляют $B$. Построй формулу, выражающую зависимость между величинами $A$, $B$ и $p$. Вычисли по этой формуле:

a) 28 % от 45 кг;

б) число, 16 % которого составляют 80;

в) сколько процентов составляет 72 л от 2400 л.

По определению, $p$ процентов от величины $A$ — это $p$ сотых долей от $A$. Чтобы найти $p$ процентов от величины $A$, нужно умножить $A$ на дробь $\frac{p}{100}$. По условию, это значение равно $B$. Таким образом, формула, выражающая зависимость между величинами $A$, $B$ и $p$, выглядит так:

$B = \frac{A \cdot p}{100}$

Из этой основной формулы можно выразить $A$ и $p$ для решения соответствующих типов задач:

Формула для нахождения целого ($A$) по его части ($B$) и проценту ($p$): $A = \frac{B \cdot 100}{p}$

Формула для нахождения, сколько процентов ($p$) составляет число $B$ от числа $A$: $p = \frac{B \cdot 100}{A}$

Теперь вычислим значения по этой формуле.

а) Нужно найти 28 % от 45 кг. Здесь $A = 45$ кг (целое), $p = 28$ (процент). Ищем часть $B$. Используем основную формулу: $B = \frac{45 \cdot 28}{100} = \frac{1260}{100} = 12,6$ кг.
Ответ: 12,6 кг.

б) Нужно найти число, 16 % которого составляют 80. Здесь $B = 80$ (часть), $p = 16$ (процент). Ищем целое $A$. Используем формулу для нахождения $A$: $A = \frac{80 \cdot 100}{16} = \frac{8000}{16} = 500$.
Ответ: 500.

в) Нужно найти, сколько процентов составляет 72 л от 2400 л. Здесь $A = 2400$ л (целое), $B = 72$ л (часть). Ищем процент $p$. Используем формулу для нахождения $p$: $p = \frac{72 \cdot 100}{2400} = \frac{7200}{2400} = \frac{72}{24} = 3$ %.
Ответ: 3 %.

415 Пусть A – значение некоторой величины, а p% от A составляют B. Построй формулу, выражающую зависимость между величинами A, B и p. Вычисли по этой формуле:

а) 28% от 45 кг;

б) число, 16% которого составляют 80;

в) сколько процентов составляет 72 л от 2400 л.

416 Упрости выражение и найди его значение:

а) $4.8 \cdot (5a) \cdot 0.2$, если $a = 0.125$;

б) $b + 1.2b + 3b + 0.3b$, если $b = 4.04$;

в) $2.5c + 5 + 0.2c + 2.8$, если $c = 1\frac{5}{9}$;

г) $1.8(x + 5) + 6.2(x + 2) + 3.6$, если $x = 0.25$.

а) Сначала упростим выражение, используя сочетательное и переместительное свойства умножения, чтобы сгруппировать числовые множители:

$4,8 \cdot (5a) \cdot 0,2 = (4,8 \cdot 5 \cdot 0,2) \cdot a$.

Вычислим произведение в скобках. Удобнее сначала умножить $5$ на $0,2$:

$(4,8 \cdot (5 \cdot 0,2)) \cdot a = (4,8 \cdot 1) \cdot a = 4,8a$.

Теперь подставим значение $a = 0,125$ в упрощенное выражение:

$4,8a = 4,8 \cdot 0,125$.

Так как $0,125$ это $\frac{1}{8}$, то вычисление можно упростить:

$4,8 \cdot 0,125 = 4,8 \cdot \frac{1}{8} = \frac{4,8}{8} = 0,6$.

Ответ: 0,6

б) Сначала упростим выражение, сложив все подобные слагаемые. Для этого вынесем общий множитель $b$ за скобки и сложим коэффициенты:

$b + 1,2b + 3b + 0,3b = (1 + 1,2 + 3 + 0,3)b = 5,5b$.

Теперь подставим значение $b = 4,04$ в упрощенное выражение:

$5,5 \cdot 4,04 = 22,22$.

Выполним умножение в столбик:

$ \begin{array}{r} \times \\ \\ + \\ \\ \end{array} \begin{array}{r} 4,04 \\ 5,5 \\ \hline 20,20 \\ 20,20\phantom{0} \\ \hline 22,220 \\ \end{array} $

Ответ: 22,22

в) Сначала упростим выражение, сгруппировав и сложив подобные слагаемые (слагаемые с переменной $c$ и свободные члены):

$2,5c + 5 + 0,2c + 2,8 = (2,5c + 0,2c) + (5 + 2,8) = 2,7c + 7,8$.

Теперь подставим значение $c = 1\frac{5}{9}$. Для удобства вычислений переведем десятичные дроби в обыкновенные, а смешанное число в неправильную дробь:

$2,7 = \frac{27}{10}$

$7,8 = \frac{78}{10}$

$c = 1\frac{5}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 5}{9} = \frac{14}{9}$

Подставляем и вычисляем:

$2,7c + 7,8 = \frac{27}{10} \cdot \frac{14}{9} + \frac{78}{10}$.

Сначала выполним умножение, сократив дробь:

$\frac{27}{10} \cdot \frac{14}{9} = \frac{27 \cdot 14}{10 \cdot 9} = \frac{3 \cdot 14}{10} = \frac{42}{10}$.

Теперь выполним сложение:

$\frac{42}{10} + \frac{78}{10} = \frac{42 + 78}{10} = \frac{120}{10} = 12$.

Ответ: 12

г) Сначала упростим выражение. Для этого раскроем скобки, используя распределительное свойство умножения ($a(b+c) = ab + ac$), а затем приведем подобные слагаемые:

$1,8(x + 5) + 6,2(x + 2) + 3,6 = 1,8 \cdot x + 1,8 \cdot 5 + 6,2 \cdot x + 6,2 \cdot 2 + 3,6$

$= 1,8x + 9 + 6,2x + 12,4 + 3,6$.

Сгруппируем подобные слагаемые:

$= (1,8x + 6,2x) + (9 + 12,4 + 3,6)$

$= 8x + 25$.

Теперь подставим значение $x = 0,25$ в упрощенное выражение:

$8x + 25 = 8 \cdot 0,25 + 25$.

Так как $8 \cdot 0,25 = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2$, то:

$2 + 25 = 27$.

Ответ: 27

416 Упрости выражения и найди их значения:

а) $4,8 \cdot (5a) \cdot 0,2$, если $a = 0,125$;

б) $b + 1,2b + 3b + 0,3b$, если $b = 4,04$;

в) $2,5c + 5 + 0,2c + 2,8$, если $c = 1\frac{5}{9}$;

г) $1,8(x + 5) + 6,2(x + 2) + 3,6$, если $x = 0,25$.

417 Реши уравнение:

1) $0.5(x + 1.6) + 1.4(3x + 2.4) = 9.8;$

2) $8\frac{1}{3} : x = 2\frac{1}{4} : 8.1;$

3) $\frac{4x + 9}{2\frac{1}{3}} = \frac{3x}{0.5}.$

1) $0,5(x + 1,6) + 1,4(3x + 2,4) = 9,8$

Сначала раскроем скобки в уравнении, умножив множитель перед скобкой на каждое слагаемое внутри скобки:

$0,5 \cdot x + 0,5 \cdot 1,6 + 1,4 \cdot 3x + 1,4 \cdot 2,4 = 9,8$

$0,5x + 0,8 + 4,2x + 3,36 = 9,8$

Теперь сгруппируем и сложим подобные слагаемые (члены с $x$ и свободные члены):

$(0,5x + 4,2x) + (0,8 + 3,36) = 9,8$

$4,7x + 4,16 = 9,8$

Перенесем свободный член (4,16) в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$4,7x = 9,8 - 4,16$

$4,7x = 5,64$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 4,7:

$x = \frac{5,64}{4,7}$

$x = 1,2$

Ответ: $1,2$.

2) $8\frac{1}{3} : x = 2\frac{1}{4} : 8,1$

Это пропорция. Основное свойство пропорции гласит: произведение крайних членов равно произведению средних членов.

$x \cdot 2\frac{1}{4} = 8\frac{1}{3} \cdot 8,1$

Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа и десятичную дробь в неправильные дроби:

$8\frac{1}{3} = \frac{8 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{25}{3}$

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

$8,1 = 8\frac{1}{10} = \frac{81}{10}$

Подставим эти значения в уравнение:

$x \cdot \frac{9}{4} = \frac{25}{3} \cdot \frac{81}{10}$

Вычислим правую часть, сократив дроби перед умножением:

$\frac{25}{3} \cdot \frac{81}{10} = \frac{25 \cdot 81}{3 \cdot 10} = \frac{5 \cdot 27}{1 \cdot 2} = \frac{135}{2}$

Теперь уравнение выглядит так:

$x \cdot \frac{9}{4} = \frac{135}{2}$

Чтобы найти $x$, разделим правую часть на $\frac{9}{4}$ (чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь):

$x = \frac{135}{2} : \frac{9}{4} = \frac{135}{2} \cdot \frac{4}{9}$

Сократим дроби:

$x = \frac{135 \cdot 4}{2 \cdot 9} = \frac{15 \cdot 2}{1 \cdot 1} = 30$

Ответ: $30$.

3) $\frac{4x + 9}{2\frac{1}{3}} = \frac{3x}{0,5}$

Это также пропорция. Воспользуемся основным свойством пропорции (перекрестным умножением):

$(4x + 9) \cdot 0,5 = 3x \cdot 2\frac{1}{3}$

Преобразуем числа в более удобный для вычислений вид. $0,5 = \frac{1}{2}$ и $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

$(4x + 9) \cdot \frac{1}{2} = 3x \cdot \frac{7}{3}$

Упростим обе части уравнения:

$\frac{4x + 9}{2} = \frac{3x \cdot 7}{3}$

$\frac{4x + 9}{2} = 7x$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя в левой части:

$4x + 9 = 2 \cdot 7x$

$4x + 9 = 14x$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую:

$9 = 14x - 4x$

$9 = 10x$

Найдем $x$:

$x = \frac{9}{10} = 0,9$

Ответ: $0,9$.

417 Реши уравнения:

1) $0.5(x + 1.6) + 1.4(3x + 2.4) = 9.8;$

2) $8\frac{1}{3} : x = 2\frac{1}{4} : 8.1;$

3) $\frac{4x + 9}{2\frac{1}{3}} = \frac{3x}{0.5}.$

418 Докажи, что сумма трёх последовательных чётных чисел делится на 6.

Для доказательства этого утверждения, представим три последовательных чётных числа в общем виде.

Любое чётное число можно записать в виде $2n$, где $n$ — некоторое целое число.

Пусть среднее из трёх последовательных чётных чисел равно $2n$. Тогда предыдущее чётное число будет $2n - 2$, а следующее за ним — $2n + 2$.

Таким образом, наши три последовательных чётных числа это: $2n - 2$, $2n$ и $2n + 2$.

Теперь найдём их сумму:
$(2n - 2) + 2n + (2n + 2)$

Упростим полученное выражение, сгруппировав слагаемые:
$(2n + 2n + 2n) + (-2 + 2) = 6n + 0 = 6n$

Сумма трёх последовательных чётных чисел равна $6n$.

Так как $n$ — целое число, то произведение $6n$ всегда будет делиться на 6 без остатка. Это доказывает, что сумма трёх последовательных чётных чисел всегда делится на 6.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма трёх последовательных чётных чисел, представленных как $(2n-2)$, $2n$ и $(2n+2)$, равна $6n$, а это выражение очевидно делится на 6 при любом целом $n$.

418 Докажи, что сумма трех последовательных четных чисел делится на 6.

419. На сколько треугольников разбивают данный треугольник все его средние линии? Что можно сказать об образовавшихся треугольниках? Сформулируй гипотезу и проверь её, разрезав модель треугольника по средним линиям. Можно ли на основании проведённого исследования считать твою гипотезу доказанной?

На сколько треугольников разбивают данный треугольник все его средние линии?
В любом треугольнике можно провести три средние линии. Средняя линия треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Пусть дан треугольник $ABC$. Обозначим середины сторон $AB$, $BC$ и $AC$ как $D$, $E$ и $F$ соответственно. Тогда средними линиями будут отрезки $DE$, $EF$ и $DF$. Эти три отрезка образуют внутри треугольника $ABC$ центральный треугольник $DEF$, а также отсекают три треугольника по углам исходного: $ADF$, $BDE$ и $CEF$. Таким образом, всего образуется 4 треугольника.
Ответ: Три средние линии разбивают треугольник на 4 треугольника.

Что можно сказать об образовавшихся треугольниках?
Сформулируем гипотезу: все четыре образовавшихся треугольника равны между собой (конгруэнтны).
Докажем это, используя свойство средней линии. Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине.
Для треугольника $ABC$ имеем:
$DE$ - средняя линия, значит $DE = \frac{1}{2}AC$.
$EF$ - средняя линия, значит $EF = \frac{1}{2}AB$.
$DF$ - средняя линия, значит $DF = \frac{1}{2}BC$.
Теперь рассмотрим стороны каждого из четырёх малых треугольников:
1. Треугольник $ADF$: $D$ и $F$ - середины сторон $AB$ и $AC$, поэтому $AD = \frac{1}{2}AB$ и $AF = \frac{1}{2}AC$. Стороны этого треугольника равны: $\frac{1}{2}AB$, $\frac{1}{2}AC$ и $DF = \frac{1}{2}BC$.2. Треугольник $BDE$: $D$ и $E$ - середины сторон $AB$ и $BC$, поэтому $BD = \frac{1}{2}AB$ и $BE = \frac{1}{2}BC$. Стороны этого треугольника равны: $\frac{1}{2}AB$, $\frac{1}{2}BC$ и $DE = \frac{1}{2}AC$.3. Треугольник $CEF$: $E$ и $F$ - середины сторон $BC$ и $AC$, поэтому $CE = \frac{1}{2}BC$ и $CF = \frac{1}{2}AC$. Стороны этого треугольника равны: $\frac{1}{2}BC$, $\frac{1}{2}AC$ и $EF = \frac{1}{2}AB$.4. Треугольник $DEF$: его стороны, как мы уже выяснили, равны $DE = \frac{1}{2}AC$, $EF = \frac{1}{2}AB$ и $DF = \frac{1}{2}BC$.
Все четыре треугольника ($ADF$, $BDE$, $CEF$ и $DEF$) имеют одинаковый набор длин сторон: $\frac{1}{2}AB$, $\frac{1}{2}BC$, $\frac{1}{2}AC$. Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), все эти четыре треугольника равны между собой. Также каждый из них подобен исходному треугольнику $ABC$ с коэффициентом подобия $k=\frac{1}{2}$.
Ответ: Все четыре образовавшихся треугольника равны (конгруэнтны) между собой и подобны исходному треугольнику.

Сформулируй гипотезу и проверь её, разрезав модель треугольника по средним линиям.
Гипотеза: три средние линии разбивают произвольный треугольник на четыре равных (конгруэнтных) друг другу треугольника.
Проверка: возьмём бумажную модель произвольного треугольника, наметим на его сторонах середины и соединим их отрезками (средними линиями). Затем разрежем модель по этим трём линиям. Мы получим четыре маленьких треугольника. Если приложить их друг к другу (или наложить один на другой), можно будет убедиться, что они полностью совпадают по форме и размеру. Это подтверждает выдвинутую гипотезу на практике.
Ответ: Гипотеза состоит в том, что средние линии делят треугольник на четыре равных треугольника. Практическая проверка путём разрезания модели подтверждает эту гипотезу.

Можно ли на основании проведённого исследования считать твою гипотезу доказанной?
Нет, на основании только проведённого исследования (эксперимента с разрезанием модели) считать гипотезу доказанной в строгом математическом смысле нельзя. Эксперимент, даже повторенный многократно с разными моделями, является лишь эмпирической проверкой, которая показывает, что утверждение, скорее всего, верно. Он не охватывает все бесконечное множество возможных треугольников и не может исключить погрешности измерений или изготовления модели. Математическое доказательство требует строгого логического вывода, основанного на аксиомах и ранее доказанных теоремах, которое будет справедливо для абсолютно любого треугольника, а не только для конкретного рассмотренного экземпляра. Такое доказательство было приведено в ответе на второй вопрос.
Ответ: Нет, проведённое исследование является экспериментом, а не строгим математическим доказательством. Для доказательства гипотезы необходимо использовать теоретические положения геометрии, такие как свойство средней линии и признаки равенства треугольников.

419 На сколько треугольников разбивают данный треугольник все его средние линии? Что можно сказать об образовавшихся треугольниках? Сформулируй гипотезу и проверь ее, разрезав модель треугольника по средним линиям. Можно ли на основании проведенного исследования считать твою гипотезу доказанной?

420 По условию задачи № 388 вычисли сумму ежегодного налога на участки земли под индивидуальными гаражами, изображённые на рисунках.

1) $3,5 \text{ м}$

$4,2 \text{ м}$

2) $4 \text{ м}$

$6 \text{ м}$

$3 \text{ м}$

3) $8 \text{ м}$

$6 \text{ м}$

$1 \text{ м}$

$4 \text{ м}$

По условию задачи № 388, ставка ежегодного налога на землю составляет 25 рублей за 1 м². Чтобы вычислить сумму налога для каждого участка, необходимо сначала найти его площадь, а затем умножить полученное значение на налоговую ставку.

1)

Данный участок имеет форму прямоугольника со сторонами 4,2 м и 3,5 м.

1. Найдем площадь прямоугольника по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ – его стороны:

$S_1 = 4,2 \text{ м} \cdot 3,5 \text{ м} = 14,7 \text{ м}^2$.

2. Вычислим сумму налога, умножив площадь на налоговую ставку:

$14,7 \cdot 25 = 367,5$ (рублей).

Ответ: 367,5 рублей.

2)

Данный участок имеет форму треугольника.

1. Найдем длину основания треугольника, сложив длины отрезков, его составляющих: $a = 6 \text{ м} + 3 \text{ м} = 9$ м. Высота треугольника, проведенная к этому основанию, равна $h = 4$ м.

2. Найдем площадь треугольника по формуле $S = \frac{1}{2} a \cdot h$:

$S_2 = \frac{1}{2} \cdot 9 \text{ м} \cdot 4 \text{ м} = 18 \text{ м}^2$.

3. Вычислим сумму налога:

$18 \cdot 25 = 450$ (рублей).

Ответ: 450 рублей.

3)

Данный участок имеет форму трапеции.

1. Определим длины оснований и высоту трапеции. Верхнее основание $b_1 = 8$ м. Нижнее основание $b_2 = 1 \text{ м} + 8 \text{ м} + 4 \text{ м} = 13$ м. Высота $h = 6$ м.

2. Найдем площадь трапеции по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$:

$S_3 = \frac{8 \text{ м} + 13 \text{ м}}{2} \cdot 6 \text{ м} = \frac{21}{2} \cdot 6 \text{ м}^2 = 21 \cdot 3 \text{ м}^2 = 63 \text{ м}^2$.

3. Вычислим сумму налога:

$63 \cdot 25 = 1575$ (рублей).

Ответ: 1575 рублей.

420 По условию задачи № 388 вычисли сумму ежегодного налога на участки земли под индивидуальными гаражами, изображенные на рисунках:

1) Прямоугольник со сторонами 4,2 м и 3,5 м. Формула площади прямоугольника: $S = a \cdot b$

2) Треугольник с основанием (6 м + 3 м) и высотой 4 м. Формула площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$

3) Трапеция с верхним основанием 8 м, нижним основанием (1 м + 8 м + 4 м) и высотой 6 м. Формула площади трапеции: $S = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$

421 Вычисли значения дробей A и B и определи: 1) на сколько процентов A меньше, чем B; 2) на сколько процентов B больше, чем A?

A $A = \frac{(1,75 + 2\frac{1}{3}) \cdot 1\frac{5}{7}}{\frac{3}{250} : (1,23 - \frac{3}{5} \cdot 1,05) + 0,12}$

B $B = \frac{[(1\frac{1}{3})^2 + (0,5)^2] \cdot (0,6 : 0,1)^2 - (\frac{2}{5} \cdot 0,375 : 0,03)^2}{0,06 \cdot 1\frac{11}{48} + 0,06 \cdot \frac{3}{16} + 2\frac{7}{12} \cdot 0,06}$

Сначала вычислим значения дробей A и B.

Вычисление значения A:

$A = \frac{(1,75 + 2\frac{1}{3}) \cdot 1\frac{5}{7}}{\frac{3}{250} : (1,23 - \frac{3}{5} \cdot 1,05) + 0,12}$

1. Вычислим числитель. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную и смешанные числа в неправильные дроби:

$1,75 + 2\frac{1}{3} = 1\frac{3}{4} + 2\frac{1}{3} = \frac{7}{4} + \frac{7}{3} = \frac{21+28}{12} = \frac{49}{12}$.

$\frac{49}{12} \cdot 1\frac{5}{7} = \frac{49}{12} \cdot \frac{12}{7} = \frac{49}{7} = 7$.

2. Вычислим знаменатель. Сначала выполним действия в скобках:

$\frac{3}{5} \cdot 1,05 = 0,6 \cdot 1,05 = 0,63$.

$1,23 - 0,63 = 0,6$.

Теперь выполним деление и сложение:

$\frac{3}{250} : 0,6 = \frac{3}{250} : \frac{6}{10} = \frac{3}{250} \cdot \frac{10}{6} = \frac{1}{50} = 0,02$.

$0,02 + 0,12 = 0,14$.

3. Находим значение A:

$A = \frac{7}{0,14} = \frac{700}{14} = 50$.

Вычисление значения B:

$B = \frac{[(1\frac{1}{3})^2 + (0,5)^2] \cdot (0,6:0,1)^2 - (\frac{2}{5} \cdot 0,375 : 0,03)^2}{0,06 \cdot 1\frac{11}{48} + 0,06 \cdot \frac{3}{16} + 2\frac{7}{12} \cdot 0,06}$

1. Вычислим числитель. Сначала вычислим выражения в скобках и возведем в степень:

$[(1\frac{1}{3})^2 + (0,5)^2] = [(\frac{4}{3})^2 + (\frac{1}{2})^2] = [\frac{16}{9} + \frac{1}{4}] = [\frac{64+9}{36}] = \frac{73}{36}$.

$(0,6:0,1)^2 = 6^2 = 36$.

$(\frac{2}{5} \cdot 0,375 : 0,03)^2 = (0,4 \cdot 0,375 : 0,03)^2 = (0,15 : 0,03)^2 = 5^2 = 25$.

Теперь подставим полученные значения в числитель:

$\frac{73}{36} \cdot 36 - 25 = 73 - 25 = 48$.

2. Вычислим знаменатель. Вынесем общий множитель $0,06$ за скобки:

$0,06 \cdot (1\frac{11}{48} + \frac{3}{16} + 2\frac{7}{12}) = 0,06 \cdot (1\frac{11}{48} + \frac{9}{48} + 2\frac{28}{48}) = 0,06 \cdot (3\frac{11+9+28}{48}) = 0,06 \cdot (3\frac{48}{48}) = 0,06 \cdot 4 = 0,24$.

3. Находим значение B:

$B = \frac{48}{0,24} = \frac{4800}{24} = 200$.

Итак, мы получили $A=50$ и $B=200$. Теперь ответим на вопросы.

1) на сколько процентов А меньше, чем В?

Чтобы найти, на сколько процентов одно число (A) меньше другого (B), нужно их разность разделить на число, с которым сравниваем (B), и результат умножить на 100%.

Формула: $\frac{B-A}{B} \cdot 100\%$

$\frac{200-50}{200} \cdot 100\% = \frac{150}{200} \cdot 100\% = 0,75 \cdot 100\% = 75\%$.

Ответ: A меньше, чем B, на 75%.

2) на сколько процентов В больше, чем А?

Чтобы найти, на сколько процентов одно число (B) больше другого (A), нужно их разность разделить на число, с которым сравниваем (A), и результат умножить на 100%.

Формула: $\frac{B-A}{A} \cdot 100\%$

$\frac{200-50}{50} \cdot 100\% = \frac{150}{50} \cdot 100\% = 3 \cdot 100\% = 300\%$.

Ответ: B больше, чем A, на 300%.

421 Вычисли значения дробей A и B и определи: 1) на сколько процентов A меньше, чем B; 2) на сколько процентов B больше, чем A?

A

$A = \frac{(1.75 + 2\frac{1}{3}) \cdot 1\frac{5}{7}}{\frac{3}{250} : (1.23 - \frac{3}{5} \cdot 1.05) + 0.12}$

B

$B = \frac{[(\frac{1}{3})^2 + (0.5)^2] \cdot (0.6 : 0.1)^2 - (\frac{2}{5} \cdot 0.375 : 0.03)^2}{0.06 \cdot 1\frac{11}{48} + 0.06 \cdot \frac{3}{16} + 2\frac{7}{12} \cdot 0.06}$

Число 222 122 111 121 получается, если в некотором слове заменить буквы на их номера в алфавите (33 буквы). Какое это слово?

Для решения этой задачи необходимо расшифровать числовую последовательность, заменив числа на соответствующие им буквы русского алфавита. В русском алфавите 33 буквы, поэтому номера букв могут быть как однозначными, так и двузначными числами (в диапазоне от 1 до 33).

Исходное число 222 122 111 121 представляет собой непрерывную последовательность цифр: 222122111121. Эту последовательность необходимо разбить на отдельные числа-коды букв так, чтобы получилось осмысленное слово.

Проанализируем последовательность цифр 222122111121. Разбиение на коды букв возможно единственным способом, который приводит к существующему слову:
• Первое число 22 ($22 \le 33$). Это 22-я буква алфавита — Ф.
• Следующее число 21 ($21 \le 33$). Это 21-я буква — У.
• Далее снова 22 ($22 \le 33$). Это 22-я буква — Ф.
• Затем 1 ($1 \le 33$). Это 1-я буква — А.
• Следующее число 11 ($11 \le 33$). Это 11-я буква — Й.
• Далее 12 ($12 \le 33$). Это 12-я буква — К.
• Последнее число 1 ($1 \le 33$). Это 1-я буква — А.

Соединив полученные буквы по порядку, мы получаем искомое слово.

Ответ: ФУФАЙКА.

Число 222122111121 получается, если в некотором слове заменить буквы на их номера в алфавите (33 буквы). Какое это слово?

423* Найди все такие двузначные числа, которые делятся на каждую из цифр в их записи.

Пусть искомое двузначное число можно представить в виде $10a + b$, где $a$ — цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. Согласно условию, число $10a + b$ должно делиться на каждую из своих цифр: на $a$ и на $b$.

Поскольку $a$ является первой цифрой двузначного числа, $a$ не может быть нулём, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Условие делимости на цифру $b$ означает, что и $b$ не может быть равно нулю, так как деление на ноль не определено. Следовательно, $b \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$.

Сформулируем условия математически:
1. Число $10a + b$ должно делиться на $a$. Так как слагаемое $10a$ всегда делится на $a$, то для выполнения этого условия необходимо, чтобы и слагаемое $b$ делилось на $a$.
2. Число $10a + b$ должно делиться на $b$. Так как слагаемое $b$ всегда делится на $b$, то для выполнения этого условия необходимо, чтобы и слагаемое $10a$ делилось на $b$.

Таким образом, мы ищем все пары ненулевых цифр $(a, b)$, для которых $b$ кратно $a$, и $10a$ кратно $b$. Проведём последовательный перебор всех возможных значений $a$ от 1 до 9.
Для $a=1$: $b$ должно быть кратно 1, а $10$ должно быть кратно $b$. Этим условиям удовлетворяют $b=1, 2, 5$. Получаем числа: 11, 12, 15.
Для $a=2$: $b$ должно быть кратно 2 ($b \in \{2, 4, 6, 8\}$), а $20$ должно быть кратно $b$. Подходят $b=2, 4$. Получаем числа: 22, 24.
Для $a=3$: $b$ должно быть кратно 3 ($b \in \{3, 6, 9\}$), а $30$ должно быть кратно $b$. Подходят $b=3, 6$. Получаем числа: 33, 36.
Для $a=4$: $b$ должно быть кратно 4 ($b \in \{4, 8\}$), а $40$ должно быть кратно $b$. Подходят $b=4, 8$. Получаем числа: 44, 48.
Для $a=5$: $b$ должно быть кратно 5 ($b=5$), а $50$ должно быть кратно $b$. Подходит $b=5$. Получаем число: 55.
Для $a=6$: $b$ должно быть кратно 6 ($b=6$), а $60$ должно быть кратно $b$. Подходит $b=6$. Получаем число: 66.
Для $a=7$: $b$ должно быть кратно 7 ($b=7$), а $70$ должно быть кратно $b$. Подходит $b=7$. Получаем число: 77.
Для $a=8$: $b$ должно быть кратно 8 ($b=8$), а $80$ должно быть кратно $b$. Подходит $b=8$. Получаем число: 88.
Для $a=9$: $b$ должно быть кратно 9 ($b=9$), а $90$ должно быть кратно $b$. Подходит $b=9$. Получаем число: 99.

Объединив все найденные числа, получаем итоговый ответ.
Ответ: 11, 12, 15, 22, 24, 33, 36, 44, 48, 55, 66, 77, 88, 99.

423. Найди все такие двузначные числа, которые делятся на каждую из цифр в их записи.

K 423 Запиши данные изменения в виде суммы рациональных чисел и выполни действия:

а) доход 5 р. и расход 8 р.;

б) расход 30 р. и расход 40 р.;

в) расход 2 тыс. р. и доход 7 тыс. р.;

г) уменьшение температуры на 6 $^\circ\text{C}$ и увеличение на 2 $^\circ\text{C}$;

д) уменьшение температуры на 3 $^\circ\text{C}$ и уменьшение на 9 $^\circ\text{C}$;

е) увеличение уровня воды в реке на 25 мм и уменьшение на 40 мм;

ж) из автобуса вышли 7 человек, а вошли 6 человек;

з) со склада увезли 4 т картофеля, а привезли 10 т.

а) Доход в 5 р. можно представить как положительное число $+5$, а расход в 8 р. — как отрицательное число $-8$. Сумма этих изменений будет равна: $(+5) + (-8) = 5 - 8 = -3$. Ответ: $-3$

б) Расход в 30 р. и расход в 40 р. — это два отрицательных изменения: $-30$ и $-40$. Сумма этих изменений будет равна: $(-30) + (-40) = -30 - 40 = -70$. Ответ: $-70$

в) Расход в 2 тыс. р. — это $-2$, а доход в 7 тыс. р. — это $+7$. Сумма этих изменений будет равна: $(-2) + (+7) = -2 + 7 = 5$. Ответ: $5$

г) Уменьшение температуры на 6 °C — это $-6$, а увеличение на 2 °C — это $+2$. Сумма этих изменений будет равна: $(-6) + (+2) = -6 + 2 = -4$. Ответ: $-4$

д) Уменьшение температуры на 3 °C и уменьшение на 9 °C — это два отрицательных изменения: $-3$ и $-9$. Сумма этих изменений будет равна: $(-3) + (-9) = -3 - 9 = -12$. Ответ: $-12$

е) Увеличение уровня воды на 25 мм — это $+25$, а уменьшение на 40 мм — это $-40$. Сумма этих изменений будет равна: $(+25) + (-40) = 25 - 40 = -15$. Ответ: $-15$

ж) Из автобуса вышли 7 человек — это изменение $-7$. Вошли 6 человек — это изменение $+6$. Сумма этих изменений будет равна: $(-7) + (+6) = -7 + 6 = -1$. Ответ: $-1$

з) Со склада увезли 4 т картофеля — это $-4$, а привезли 10 т — это $+10$. Сумма этих изменений будет равна: $(-4) + (+10) = -4 + 10 = 6$. Ответ: $6$

К 423 Запиши данные изменения в виде суммы рациональных чисел и выполни действия:

а) доход 5 р. и расход 8 р.: $5 + (-8)$

б) расход 30 р. и расход 40 р.: $(-30) + (-40)$

в) расход 2 тыс. р. и доход 7 тыс. р.: $(-2) + 7$

г) уменьшение температуры на 6 °С и увеличение на 2 °С: $(-6) + 2$

д) уменьшение температуры на 3 °С и уменьшение на 9 °С: $(-3) + (-9)$

е) увеличение уровня воды в реке на 25 мм и уменьшение на 40 мм: $25 + (-40)$

ж) из автобуса вышли 7 человек, а вошли 6 человек: $(-7) + 6$

з) со склада увезли 4 т картофеля, а привезли 10 т.: $(-4) + 10$

424 Придумай ситуацию, математической моделью которой может служить данное выражение, и найди ответ:

a) $ (-9) + (+4) $;

б) $ (+6) + (+3) $;

в) $ (-5) + (-2) $;

г) $ (-1) + (+7) $.

а) Ситуация: Температура воздуха утром была -9 градусов по Цельсию. Днем она повысилась на 4 градуса. Какой стала температура воздуха днем?
Решение: Чтобы найти итоговую температуру, нужно к начальному значению прибавить его изменение. Сложение чисел с разными знаками: из большего модуля вычитаем меньший и ставим знак числа с большим модулем.
$(-9) + (+4) = - (9 - 4) = -5$.
Днем температура стала -5 градусов.
Ответ: -5.

б) Ситуация: На первом этаже в лифт зашли 6 человек. На втором этаже зашли еще 3 человека. Сколько всего человек стало в лифте?
Решение: Чтобы найти общее количество людей, нужно сложить две группы людей.
$(+6) + (+3) = 6 + 3 = 9$.
В лифте стало 9 человек.
Ответ: 9.

в) Ситуация: Предприниматель в первый месяц работы понес убыток в 5 тысяч рублей. Во второй месяц он также понес убыток, но уже в 2 тысячи рублей. Какой общий финансовый результат предпринимателя за два месяца?
Решение: Чтобы найти общий результат, нужно сложить убытки за оба месяца (убыток можно представить отрицательным числом). Сложение двух отрицательных чисел: складываем их модули и ставим знак минус.
$(-5) + (-2) = - (5 + 2) = -7$.
Общий убыток составил 7 тысяч рублей.
Ответ: -7.

г) Ситуация: Утром на парковке был занят один уровень под землей (уровень -1). В течение дня на парковку приехали автомобили и заняли еще 7 уровней вверх. На каком уровне теперь находится самый верхний занятый автомобиль?
Решение: Чтобы найти конечный уровень, нужно к начальному уровню (-1) прибавить изменение (+7).
$(-1) + (+7) = 7 - 1 = 6$.
Самый верхний занятый автомобиль находится на 6-м этаже.
Ответ: 6.

424 Придумай ситуацию, математической моделью которой может служить данное выражение, и найди ответ:

а) $(-9) + (+4)$;

б) $(+6) + (+3)$;

в) $(-5) + (-2)$;

г) $(-1) + (+7)$.

425. Выполни сложение чисел с помощью координатной прямой:

а) $(-3) + (+8);$

б) $(-1) + (-4);$

в) $(-6) + (+4);$

г) $(-2) + (+5) + (-3).$

а) Для того чтобы найти сумму чисел $ (-3) + (+8) $ с помощью координатной прямой, нужно найти на ней точку с координатой -3. Затем, так как второе слагаемое (+8) является положительным числом, нужно от точки -3 переместиться на 8 единичных отрезков вправо. Переместившись от -3 на 8 единиц вправо, мы окажемся в точке с координатой 5.
Математически это выглядит так: $ (-3) + (+8) = -3 + 8 = 5 $.
Ответ: 5

б) Чтобы найти сумму $ (-1) + (-4) $, начнем с точки -1 на координатной прямой. Так как второе слагаемое (-4) является отрицательным, мы перемещаемся от точки -1 на 4 единичных отрезка влево. Переместившись от -1 на 4 единицы влево, мы попадем в точку с координатой -5.
Математически это выглядит так: $ (-1) + (-4) = -1 - 4 = -5 $.
Ответ: -5

в) Чтобы найти сумму $ (-6) + (+4) $, находим на координатной прямой точку -6. Второе слагаемое (+4) положительное, поэтому мы перемещаемся от точки -6 на 4 единичных отрезка вправо. В результате мы окажемся в точке с координатой -2.
Математически это выглядит так: $ (-6) + (+4) = -6 + 4 = -2 $.
Ответ: -2

г) Для нахождения суммы $ (-2) + (+5) + (-3) $ выполним сложение последовательно.
1. Сначала сложим $ (-2) + (+5) $. На координатной прямой от точки -2 переместимся на 5 единичных отрезков вправо (так как +5 — положительное число). Мы попадем в точку 3.
2. Теперь к полученному результату, числу 3, прибавим -3. От точки 3 на координатной прямой переместимся на 3 единичных отрезка влево (так как -3 — отрицательное число). Мы вернемся в точку 0.
Математически это выглядит так: $ (-2) + (+5) + (-3) = (3) + (-3) = 0 $.
Ответ: 0

425 Выполни сложение чисел с помощью координатной прямой:

а) $-3 + (+8);$

б) $-1 + (-4);$

в) $-6 + (+4);$

г) $-2 + (+5) + (-3).$

426 Что больше: 1) сумма двух положительных чисел или одно из них; 2) сумма двух отрицательных чисел или одно из них?

1) сумма двух положительных чисел или одно из них

Чтобы ответить на этот вопрос, возьмем два произвольных положительных числа, например, $a$ и $b$. По определению, положительные числа больше нуля, что означает $a > 0$ и $b > 0$.

Нам необходимо сравнить их сумму, то есть $a + b$, с каждым из этих чисел в отдельности.

Сравним сумму $a + b$ с первым числом $a$. Так как $b$ — положительное число ($b > 0$), то прибавляя его к $a$, мы получим число, которое заведомо больше $a$. Формально, если к обеим частям неравенства $b > 0$ прибавить $a$, знак неравенства не изменится: $a + b > a + 0$, что равносильно $a + b > a$.

Точно так же сравним сумму $a + b$ со вторым числом $b$. Так как $a$ — положительное число ($a > 0$), то прибавляя его к $b$, мы получим число, которое больше $b$. Формально: $a + b > 0 + b$, что равносильно $a + b > b$.

Таким образом, сумма двух положительных чисел всегда больше каждого из слагаемых.

Например, если взять числа 10 и 3, их сумма равна $10 + 3 = 13$. Мы видим, что $13 > 10$ и $13 > 3$.

Ответ: Сумма двух положительных чисел всегда больше любого из них.

2) сумма двух отрицательных чисел или одно из них

Теперь рассмотрим два произвольных отрицательных числа, например, $c$ и $d$. По определению, отрицательные числа меньше нуля, то есть $c < 0$ и $d < 0$.

Нам нужно сравнить их сумму $c + d$ с каждым из этих чисел.

Сравним сумму $c + d$ с первым числом $c$. Так как $d$ — отрицательное число ($d < 0$), то прибавление его к $c$ даст нам число, которое будет меньше $c$. На числовой прямой это означает сдвиг влево. Формально, если к обеим частям неравенства $d < 0$ прибавить $c$, знак неравенства не изменится: $c + d < c + 0$, что равносильно $c + d < c$.

Аналогично, сравним сумму $c + d$ со вторым числом $d$. Так как $c$ — отрицательное число ($c < 0$), то прибавляя его к $d$, мы получим число, которое будет меньше $d$. Формально: $c + d < 0 + d$, что равносильно $c + d < d$.

Таким образом, сумма двух отрицательных чисел всегда меньше каждого из слагаемых. Это означает, что любое из двух исходных отрицательных чисел будет больше их суммы.

Например, если взять числа -4 и -9, их сумма равна $(-4) + (-9) = -13$. Мы видим, что $-4 > -13$ и $-9 > -13$.

Ответ: Любое из двух отрицательных чисел больше, чем их сумма.

426 Что больше: 1) сумма двух положительных чисел или одно из них; 2) сумма двух отрицательных чисел или одно из них?

427 Найди результат действия, ориентируясь на некоторую практическую ситуацию, и проверь полученный ответ с помощью координатной прямой. Что общего в примерах каждого столбика? Сделай вывод.

a) $(+2) + (+3)$

$(-5) + (-1)$

$(-3) + (-4)$

$(-2) + (-7)$

б) $(-3) + (+4)$

$(-1) + (+5)$

$(+4) + (-2)$

$(+6) + (-3)$

в) $(+2) + (-5)$

$(+1) + (-3)$

$(-4) + (+3)$

$(-6) + (+1)$

г) $(-4) + (+4)$

$(+1) + (-1)$

$(-5) + (+5)$

$(+2) + (-2)$

а)

$(+2) + (+3)$. Практическая ситуация: температура воздуха была $+2$°C, а затем повысилась на $3$°C. Новая температура стала $2 + 3 = 5$°C. На координатной прямой: от точки $2$ двигаемся на $3$ единицы вправо и попадаем в точку $5$. Таким образом, $(+2) + (+3) = +5$. Ответ: $+5$.

$(-5) + (-1)$. Практическая ситуация: у вас был долг $5$ у.е., и вы взяли в долг еще $1$ у.е. Ваш общий долг составил $5 + 1 = 6$ у.е., то есть $-6$. На координатной прямой: от точки $-5$ двигаемся на $1$ единицу влево и попадаем в точку $-6$. Таким образом, $(-5) + (-1) = -6$. Ответ: $-6$.

$(-3) + (-4)$. Практическая ситуация: температура воздуха была $-3$°C, а затем понизилась еще на $4$°C. Новая температура стала $-3 - 4 = -7$°C. На координатной прямой: от точки $-3$ двигаемся на $4$ единицы влево и попадаем в точку $-7$. Таким образом, $(-3) + (-4) = -7$. Ответ: $-7$.

$(-2) + (-7)$. Практическая ситуация: водолаз опустился на глубину $2$ метра (точка $-2$), а затем опустился еще на $7$ метров. Он оказался на глубине $2 + 7 = 9$ метров (точка $-9$). На координатной прямой: от точки $-2$ двигаемся на $7$ единиц влево и попадаем в точку $-9$. Таким образом, $(-2) + (-7) = -9$. Ответ: $-9$.

Что общего: Во всех примерах этого столбика складываются числа с одинаковыми знаками (два положительных или два отрицательных).

б)

$(-3) + (+4)$. Практическая ситуация: на счету было $-3$ у.е. (долг), счет пополнили на $4$ у.е. На счету стал $1$ у.е. На координатной прямой: от точки $-3$ двигаемся на $4$ единицы вправо и попадаем в точку $1$. Таким образом, $(-3) + (+4) = +1$. Ответ: $+1$.

$(-1) + (+5)$. Практическая ситуация: температура была $-1$°C, а потом потеплело на $5$°C. Стало $+4$°C. На координатной прямой: от точки $-1$ двигаемся на $5$ единиц вправо и попадаем в точку $4$. Таким образом, $(-1) + (+5) = +4$. Ответ: $+4$.

$(+4) + (-2)$. Практическая ситуация: у вас было $4$ яблока, $2$ яблока вы отдали. Осталось $2$ яблока. На координатной прямой: от точки $4$ двигаемся на $2$ единицы влево и попадаем в точку $2$. Таким образом, $(+4) + (-2) = +2$. Ответ: $+2$.

$(+6) + (-3)$. Практическая ситуация: лифт был на $6$ этаже, а спустился на $3$ этажа вниз. Он оказался на $3$ этаже. На координатной прямой: от точки $6$ двигаемся на $3$ единицы влево и попадаем в точку $3$. Таким образом, $(+6) + (-3) = +3$. Ответ: $+3$.

Что общего: Во всех примерах этого столбика складываются числа с разными знаками. Модуль положительного слагаемого больше модуля отрицательного, поэтому результат положителен.

в)

$(+2) + (-5)$. Практическая ситуация: температура была $+2$°C, а потом похолодало на $5$°C. Стало $-3$°C. На координатной прямой: от точки $2$ двигаемся на $5$ единиц влево и попадаем в точку $-3$. Таким образом, $(+2) + (-5) = -3$. Ответ: $-3$.

$(+1) + (-3)$. Практическая ситуация: на счету была $1$ у.е., списали $3$ у.е. На счету стало $-2$ у.е. (долг). На координатной прямой: от точки $1$ двигаемся на $3$ единицы влево и попадаем в точку $-2$. Таким образом, $(+1) + (-3) = -2$. Ответ: $-2$.

$(-4) + (+3)$. Практическая ситуация: долг был $4$ у.е., вы вернули $3$ у.е. Остался долг в $1$ у.е. ($-1$). На координатной прямой: от точки $-4$ двигаемся на $3$ единицы вправо и попадаем в точку $-1$. Таким образом, $(-4) + (+3) = -1$. Ответ: $-1$.

$(-6) + (+1)$. Практическая ситуация: водолаз был на глубине $6$ метров (точка $-6$), а поднялся на $1$ метр. Его глубина стала $5$ метров (точка $-5$). На координатной прямой: от точки $-6$ двигаемся на $1$ единицу вправо и попадаем в точку $-5$. Таким образом, $(-6) + (+1) = -5$. Ответ: $-5$.

Что общего: Во всех примерах этого столбика складываются числа с разными знаками. Модуль отрицательного слагаемого больше модуля положительного, поэтому результат отрицателен.

г)

$(-4) + (+4)$. Практическая ситуация: у вас был долг $4$ у.е., и вы его вернули. Долга не стало. На координатной прямой: от точки $-4$ двигаемся на $4$ единицы вправо и попадаем в точку $0$. Таким образом, $(-4) + (+4) = 0$. Ответ: $0$.

$(+1) + (-1)$. Практическая ситуация: вы сделали $1$ шаг вперед, а потом $1$ шаг назад. Вы вернулись в исходную точку. На координатной прямой: от точки $1$ двигаемся на $1$ единицу влево и попадаем в точку $0$. Таким образом, $(+1) + (-1) = 0$. Ответ: $0$.

$(-5) + (+5)$. Практическая ситуация: температура была $-5$°C, а затем потеплело на $5$°C. Стало $0$°C. На координатной прямой: от точки $-5$ двигаемся на $5$ единиц вправо и попадаем в точку $0$. Таким образом, $(-5) + (+5) = 0$. Ответ: $0$.

$(+2) + (-2)$. Практическая ситуация: лифт поднялся на $2$ этажа, а потом спустился на $2$ этажа. Он вернулся на исходный этаж. На координатной прямой: от точки $2$ двигаемся на $2$ единицы влево и попадаем в точку $0$. Таким образом, $(+2) + (-2) = 0$. Ответ: $0$.

Что общего: Во всех примерах этого столбика складываются противоположные числа (числа с одинаковыми модулями, но разными знаками).

Вывод:

1. Сумма двух чисел с одинаковыми знаками имеет тот же знак, что и слагаемые, а ее модуль равен сумме модулей слагаемых.

2. Сумма двух чисел с разными знаками имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем, а ее модуль равен разности большего и меньшего модулей слагаемых.

3. Сумма двух противоположных чисел равна нулю.

427 Найди результат действия, ориентируясь на некоторую практическую ситуацию, и проверь полученный ответ с помощью координатной прямой. Что общего в примерах каждого столбика? Сделай вывод.

a) $(+2) + (+3)$
$(-5) + (-1)$
$(-3) + (-4)$
$(-2) + (-7)$

б) $(-3) + (+4)$
$(-1) + (+5)$
$(+4) + (-2)$
$(+6) + (-3)$

в) $(+2) + (-5)$
$(+1) + (-3)$
$(-4) + (+3)$
$(-6) + (+1)$

г) $(-4) + (+4)$
$(+1) + (-1)$
$(-5) + (+5)$
$(+2) + (-2)$