Страница 95, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

407 Найти, от какой величины:

a) $75\%$ составляют 4,5 см;

б) $8,4\%$ составляют 17,22 кг;

в) $25\%$ составляют $a$ л;

г) $200\%$ составляют $b$ мин.

а) Чтобы найти величину, от которой 75% составляют 4,5 см, нужно данное значение (4,5 см) разделить на долю, которую оно составляет от целого. Проценты для этого переводятся в десятичную дробь.

75% = 0,75

Пусть искомая величина равна $x$. Тогда:

$x = 4,5 : 0,75$

$x = 450 : 75$

$x = 6$ см.

Ответ: 6 см.

б) Чтобы найти величину, от которой 8,4% составляют 17,22 кг, нужно данное значение (17,22 кг) разделить на соответствующую долю.

8,4% = 0,084

Пусть искомая величина равна $x$. Тогда:

$x = 17,22 : 0,084$

$x = 17220 : 84$

$x = 205$ кг.

Ответ: 205 кг.

в) Чтобы найти величину, от которой 25% составляют $a$ л, нужно данное значение ($a$ л) разделить на соответствующую долю.

25% = 0,25

Пусть искомая величина равна $x$. Тогда:

$x = a : 0,25$

$x = a : \frac{1}{4}$

$x = 4a$ л.

Ответ: $4a$ л.

г) Чтобы найти величину, от которой 200% составляют $b$ мин, нужно данное значение ($b$ мин) разделить на соответствующую долю.

200% = 2

Пусть искомая величина равна $x$. Тогда:

$x = b : 2$

$x = \frac{b}{2}$ мин.

Ответ: $\frac{b}{2}$ мин.

407 Найти, от какой величины:

а) 75% составляют 4,5 см;

б) 8,4% составляют 17,22 кг;

в) 25% составляют $a$ л;

г) 200% составляют $b$ мин.

408 1) В городе N легковых машин повышенной проходимости около 2,8 тыс., что соответствует $7 \%$ от числа всех легковых машин. Сколько всего легковых машин в городе N?

2) При использовании антифриза в системе охлаждения автомобиля образуется осадок и расход топлива возрастает на $10 \%$. Какой расход топлива будет после удаления осадка, если до удаления он составляет 8,5 л на 100 км? Ответ округли с точностью до 0,1.

1) Пусть $x$ — это общее количество легковых машин в городе N. Из условия известно, что 2,8 тысячи машин, то есть 2800 машин, составляют 7% от общего числа. Чтобы найти общее число (100%), можно составить пропорцию или разделить известное количество на долю, которую оно составляет.
Выразим 7% в виде десятичной дроби: $7\% = 0,07$.
Теперь найдем общее количество машин $x$:
$x = \frac{2800}{0,07} = \frac{280000}{7} = 40000$ машин.
Поскольку в условии дано число в тысячах, представим ответ в той же форме: $40000 \text{ машин} = 40 \text{ тысяч машин}$.
Ответ: 40 тысяч машин.

2) Пусть $y$ — это расход топлива после удаления осадка, то есть первоначальный расход. Согласно условию, из-за осадка расход топлива возрос на 10%, и его значение составило 8,5 л на 100 км. Это значит, что 8,5 л/100 км — это 110% от первоначального расхода.
Составим уравнение:
$y \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 8,5$
$y \cdot 1,1 = 8,5$
Теперь найдем первоначальный расход $y$:
$y = \frac{8,5}{1,1} = \frac{85}{11} \approx 7,7272...$
В условии требуется округлить ответ с точностью до 0,1. Смотрим на вторую цифру после запятой (2). Так как $2 < 5$, округляем в меньшую сторону.
$y \approx 7,7$ л/100 км.
Ответ: 7,7 л/100 км.

408 1) В городе $N$ легковых машин повышенной проходимости около 2,8 тыс., что соответствует 7% от числа всех легковых машин. Сколько всего легковых машин в городе $N$?

2) При использовании воды в системе охлаждения автомобиля образуется накипь и расход топлива возрастает на 10%. Какой расход топлива будет после удаления накипи, если до ее удаления он составляет 8,5 литра на 100 км? Ответ округли с точностью до 0,1.

409 Сколько процентов составляют:

a) 42 км от 120 км;

б) 36 от 45;

в) 45 от 36;

г) $x$ от $y$?

а) Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно первое число (часть) разделить на второе (целое) и результат умножить на 100.
В данном случае, чтобы узнать, сколько процентов 42 км составляют от 120 км, выполним следующие действия:
$ \frac{42}{120} \cdot 100\% $
Сначала разделим 42 на 120:
$ 42 \div 120 = 0,35 $
Теперь умножим результат на 100, чтобы получить проценты:
$ 0,35 \cdot 100\% = 35\% $
Ответ: 35%.

б) Найдем, какой процент составляет число 36 от числа 45.
Для этого разделим 36 на 45 и умножим на 100:
$ \frac{36}{45} \cdot 100\% $
Дробь $ \frac{36}{45} $ можно сократить на 9:
$ \frac{36 \div 9}{45 \div 9} = \frac{4}{5} $
Теперь умножим полученную дробь на 100%:
$ \frac{4}{5} \cdot 100\% = 0,8 \cdot 100\% = 80\% $
Ответ: 80%.

в) Найдем, какой процент составляет число 45 от числа 36.
В этом случае число, которое мы ищем (часть), больше числа, от которого мы ищем (целое). Поэтому результат будет больше 100%.
Разделим 45 на 36 и умножим на 100:
$ \frac{45}{36} \cdot 100\% $
Сократим дробь $ \frac{45}{36} $ на 9:
$ \frac{45 \div 9}{36 \div 9} = \frac{5}{4} $
Теперь умножим полученную дробь на 100%:
$ \frac{5}{4} \cdot 100\% = 1,25 \cdot 100\% = 125\% $
Ответ: 125%.

г) Для того чтобы выразить, сколько процентов составляет число $x$ от числа $y$, используется общая формула.
В этой формуле $x$ выступает в роли части, а $y$ — в роли целого. Отношение части к целому, умноженное на 100, дает искомый процент.
Формула:
$ \frac{x}{y} \cdot 100\% $
Ответ: $ \frac{x}{y} \cdot 100\% $.

409 Сколько процентов составляют:

a) 42 км от 120 км;

б) 36 от 45;

в) 45 от 36;

г) $x$ от $y$?

410 1) В течение недели супермаркет получил 1 200 000 р. дохода. Из них 500 000 р. составил доход от продажи продовольственных товаров. Сколько процентов составил доход от продажи непродовольственных товаров? Ответ округли с точностью до десятых.

2) В городе $N$ имеется 30 государственных предприятий, 70 открытых акционерных обществ, 30 закрытых акционерных обществ и 20 обществ с ограниченной ответственностью. На сколько процентов государственных предприятий меньше, чем предприятий других форм собственности?

1)

Сначала найдем доход от продажи непродовольственных товаров. Для этого вычтем из общего дохода доход от продажи продовольственных товаров:

$1\ 200\ 000 - 500\ 000 = 700\ 000$ р.

Теперь найдем, какую часть составляет доход от непродовольственных товаров от общего дохода, и выразим это в процентах. Общий доход (1 200 000 р.) принимаем за 100%.

$\frac{700\ 000}{1\ 200\ 000} \cdot 100\% = \frac{7}{12} \cdot 100\% \approx 0,58333... \cdot 100\% \approx 58,333...\%$

Округлим полученный результат с точностью до десятых:

$58,333...\% \approx 58,3\%$

Ответ: 58,3%.

2)

Найдем общее количество предприятий других (не государственных) форм собственности:

$70\ (ОАО) + 30\ (ЗАО) + 20\ (ООО) = 120$ предприятий.

Количество государственных предприятий равно 30.

Чтобы найти, на сколько процентов государственных предприятий меньше, чем предприятий других форм собственности, мы принимаем количество предприятий других форм (120) за 100% и вычисляем процентную разницу.

Сначала найдем разницу в количестве предприятий:

$120 - 30 = 90$ предприятий.

Теперь найдем, какой процент составляет эта разница от количества предприятий других форм собственности:

$\frac{90}{120} \cdot 100\% = \frac{3}{4} \cdot 100\% = 0,75 \cdot 100\% = 75\%$

Таким образом, государственных предприятий на 75% меньше, чем предприятий других форм собственности.

Ответ: 75%.

410 1) В течение недели супермаркет получил 1 200 000 р. дохода. Из них 500 000 р. составил доход от продажи продовольственных товаров. Сколько процентов составил доход от продажи непродовольственных товаров? Ответ округли с точностью до десятых.

2) В городе N имеется 30 государственных предприятий, 70 открытых акционерных обществ, 30 закрытых акционерных обществ и 20 обществ с ограниченной ответственностью. На сколько процентов государственных предприятий меньше, чем предприятий других форм собственности?

411 Как изменилась температура воздуха, если она:

а) сначала увеличилась на $25\%$, а потом уменьшилась на $40\%$;

б) сначала уменьшилась на $60\%$, а потом увеличилась на $80\%$;

в) сначала увеличилась на $5\%$, а потом на $20\%$;

г) сначала уменьшилась на $10\%$, а потом на $30\%$?

а) Пусть начальная температура воздуха равна $T$. Увеличение на 25% означает, что новая температура составит $T \cdot (1 + \frac{25}{100}) = 1.25T$. Затем эта новая температура уменьшилась на 40%, то есть конечная температура стала равной $1.25T \cdot (1 - \frac{40}{100}) = 1.25T \cdot 0.6 = 0.75T$. Чтобы найти общее изменение в процентах, вычтем из конечного значения начальное и разделим на начальное: $\frac{0.75T - T}{T} \cdot 100\% = -0.25 \cdot 100\% = -25\%$. Знак минус означает уменьшение.
Ответ: температура уменьшилась на 25%.

б) Пусть начальная температура воздуха равна $T$. Уменьшение на 60% означает, что новая температура составит $T \cdot (1 - \frac{60}{100}) = 0.4T$. Затем эта новая температура увеличилась на 80%, то есть конечная температура стала равной $0.4T \cdot (1 + \frac{80}{100}) = 0.4T \cdot 1.8 = 0.72T$. Общее изменение в процентах: $\frac{0.72T - T}{T} \cdot 100\% = -0.28 \cdot 100\% = -28\%$. Знак минус означает уменьшение.
Ответ: температура уменьшилась на 28%.

в) Пусть начальная температура воздуха равна $T$. Увеличение на 5% означает, что новая температура составит $T \cdot (1 + \frac{5}{100}) = 1.05T$. Затем эта новая температура увеличилась еще на 20%, то есть конечная температура стала равной $1.05T \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 1.05T \cdot 1.2 = 1.26T$. Общее изменение в процентах: $\frac{1.26T - T}{T} \cdot 100\% = 0.26 \cdot 100\% = 26\%$.
Ответ: температура увеличилась на 26%.

г) Пусть начальная температура воздуха равна $T$. Уменьшение на 10% означает, что новая температура составит $T \cdot (1 - \frac{10}{100}) = 0.9T$. Затем эта новая температура уменьшилась еще на 30%, то есть конечная температура стала равной $0.9T \cdot (1 - \frac{30}{100}) = 0.9T \cdot 0.7 = 0.63T$. Общее изменение в процентах: $\frac{0.63T - T}{T} \cdot 100\% = -0.37 \cdot 100\% = -37\%$. Знак минус означает уменьшение.
Ответ: температура уменьшилась на 37%.

411 Как изменилась температура воздуха, если она:

а) сначала увеличилась на $25\%$, а потом уменьшилась на $40\%$;

б) сначала уменьшилась на $60\%$, а потом увеличилась на $80\%$;

в) сначала увеличилась на $5\%$, а потом на $20\%$;

г) сначала уменьшилась на $10\%$, а потом на $30\%$ ?

412 В магазине цены сначала были повышены на $10 \text{\%}$, а потом снижены на $10 \text{\%}$. Как изменились цены?

Как изменились цены?

Чтобы определить, как изменились цены, давайте проследим за изменением стоимости товара, приняв его первоначальную цену за $x$.

1. Повышение цены на 10%

Первоначальная цена $x$ соответствует 100%. После повышения на 10% новая цена составит $100\% + 10\% = 110\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую цену, умножим $x$ на коэффициент 1.1:

Новая цена = $x \cdot (1 + \frac{10}{100}) = x \cdot 1.1 = 1.1x$

2. Снижение цены на 10%

Теперь снижение на 10% применяется к новой, повышенной цене $1.1x$. Эта цена ($1.1x$) теперь принимается за 100%. После снижения на 10% итоговая цена составит $100\% - 10\% = 90\%$ от цены $1.1x$. Чтобы найти итоговую цену, умножим $1.1x$ на коэффициент 0.9:

Итоговая цена = $1.1x \cdot (1 - \frac{10}{100}) = 1.1x \cdot 0.9 = 0.99x$

3. Сравнение итоговой и первоначальной цен

Первоначальная цена была $x$ (или $1x$), а итоговая стала $0.99x$.

Чтобы найти общее изменение в процентах, сравним итоговый коэффициент с начальным (который равен 1):

$(1 - 0.99) \cdot 100\% = 0.01 \cdot 100\% = 1\%$

Поскольку итоговая цена ($0.99x$) меньше первоначальной ($x$), это означает, что цены в итоге снизились.

Ответ: цены снизились на 1%.

412 В магазине цены сначала были повышены на 10%, а потом снижены на 10%. Как изменились цены?

413 1) Верно ли, что для приготовления 150 г 12%-го раствора потребуется больше соли, чем для приготовления 120 г 15%-го раствора?

2) Свежая малина содержит 85 % воды, а сушёная – 20 %. Сколько сушёной малины получится из 36 кг свежей?

1)

Чтобы проверить верность утверждения, необходимо рассчитать массу соли, требуемую для приготовления каждого раствора, и сравнить полученные значения.

Масса вещества в растворе вычисляется по формуле: $m_{вещества} = m_{раствора} \cdot C$, где $C$ — массовая доля вещества (концентрация).

1. Рассчитаем массу соли для приготовления 150 г 12%-го раствора:
Массовая доля соли составляет 12% или 0.12.
$m_{соли1} = 150 \text{ г} \cdot 0.12 = 18$ г.

2. Рассчитаем массу соли для приготовления 120 г 15%-го раствора:
Массовая доля соли составляет 15% или 0.15.
$m_{соли2} = 120 \text{ г} \cdot 0.15 = 18$ г.

3. Сравним полученные массы:
$18 \text{ г} = 18 \text{ г}$.
Для приготовления обоих растворов требуется одинаковое количество соли. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

2)

При сушке ягод испаряется вода, но масса сухого вещества (всего, что не является водой) остается неизменной. Решим задачу, основываясь на массе сухого вещества.

1. Найдем содержание сухого вещества в свежей малине.
Если воды 85%, то сухого вещества: $100\% - 85\% = 15\%$.

2. Вычислим массу сухого вещества в 36 кг свежей малины.
$m_{сух.в-ва} = 36 \text{ кг} \cdot \frac{15}{100} = 36 \cdot 0.15 = 5.4$ кг.

3. Найдем содержание сухого вещества в сушёной малине.
Если воды 20%, то сухого вещества: $100\% - 20\% = 80\%$.

4. Масса сухого вещества, равная 5.4 кг, составляет 80% от общей массы сушёной малины. Пусть $x$ — искомая масса сушёной малины. Тогда можно составить уравнение:
$x \cdot \frac{80}{100} = 5.4$
$0.8x = 5.4$
$x = \frac{5.4}{0.8} = \frac{54}{8} = 6.75$ кг.

Ответ: 6.75 кг.

413 1) Верно ли, что для приготовления $150 \text{ г} 12\%$-го раствора потребуется больше соли, чем для приготовления $120 \text{ г} 15\%$-го раствора?

2) Свежая малина содержит $85\%$ воды, а сушеная – $20\%$. Сколько сушеной малины получится из $36 \text{ кг}$ свежей?

414 Предприятию было выделено для сотрудников 120 садовых участков. Из них $25 \, \%$ участков ещё не освоено, а на освоенных участках построены деревянные и кирпичные дома (по одному на участке). Сколько построено кирпичных домов, если их число составляет $20 \, \%$ от числа деревянных домов? Какой процент составляет число участков с кирпичными домами от числа всех выделенных участков?

Сколько построено кирпичных домов, если их число составляет 20 % от числа деревянных домов?

1. Сначала найдем общее количество освоенных участков. Всего было выделено 120 участков, из них 25% не освоено. Найдем количество неосвоенных участков:

$120 \cdot \frac{25}{100} = 120 \cdot 0,25 = 30$ (участков)

2. Теперь найдем количество освоенных участков, на которых построены дома:

$120 - 30 = 90$ (участков)

Таким образом, всего построено 90 домов (деревянных и кирпичных).

3. Пусть $x$ — это количество деревянных домов. Тогда количество кирпичных домов, которое составляет 20% от числа деревянных, будет равно $0,2x$.

4. Сумма деревянных и кирпичных домов равна общему числу освоенных участков. Составим и решим уравнение:

$x + 0,2x = 90$

$1,2x = 90$

$x = \frac{90}{1,2} = \frac{900}{12} = 75$

Итак, построено 75 деревянных домов.

5. Найдем количество кирпичных домов:

$75 \cdot 0,2 = 15$ (домов)

Проверка: $75 + 15 = 90$. Верно.

Ответ: построено 15 кирпичных домов.

Какой процент составляет число участков с кирпичными домами от числа всех выделенных участков?

1. Количество участков с кирпичными домами равно 15.

2. Общее число всех выделенных участков равно 120.

3. Чтобы найти, какой процент составляет одно число от другого, нужно первое число разделить на второе и умножить на 100%.

$\frac{15}{120} \cdot 100\% = \frac{1}{8} \cdot 100\% = 12,5\%$

Ответ: 12,5%.

414 Предприятию было выделено для сотрудников 120 садовых участков. Из них 25% участков еще не освоено, а на освоенных участках построены деревянные и кирпичные дома (по одному на участке). Сколько построено кирпичных домов, если их число составляет 20% от числа деревянных домов? Какой процент составляет число участков с кирпичными домами от числа всех выделенных участков?

411 Костя решал пример на черновике, затем переписал его в тетрадь, но забыл расставить скобки. Расставь скобки в Костином примере так, чтобы получилось верное равенство:

$0.3 \div 0.6 - 0.8 \cdot 0.5 - 0.9 = 0.12$

Для того чтобы равенство было верным, необходимо правильно расставить скобки, которые изменят порядок выполнения действий. Исходное выражение без скобок:

$0,3 : 0,6 - 0,8 \cdot 0,5 - 0,9 = 0,5 - 0,4 - 0,9 = -0,8$

Результат не совпадает с $0,12$, значит, скобки необходимы.

Решение

Чтобы получить в результате $0,12$, необходимо сгруппировать числа и знаки следующим образом:

$(0,3 : 0,6 - 0,8) \cdot (0,5 - 0,9) = 0,12$

Проверка

Выполним вычисления по действиям в соответствии с расставленными скобками:

1. Сначала выполняем действия в первой скобке. Первым будет деление:

$0,3 : 0,6 = 0,5$

2. Затем вычитание в первой скобке:

$0,5 - 0,8 = -0,3$

3. Теперь выполняем действие во второй скобке:

$0,5 - 0,9 = -0,4$

4. Наконец, перемножаем результаты, полученные в скобках:

$(-0,3) \cdot (-0,4) = 0,12$

В результате получилось верное равенство:

$0,12 = 0,12$

Ответ: $(0,3 : 0,6 - 0,8) \cdot (0,5 - 0,9) = 0,12$

411 Костя решал пример на черновике, затем переписал его в тетрадь, но забыл расставить скобки. Расставь скобки в Костином примере так, чтобы получилось верное равенство:

$0,3 : 0,6 - 0,8 \cdot 0,5 - 0,9 = 0,12.$

C 412 Найди площадь фигуры, составленной из 9 квадратов (рис. 31), если её периметр равен 32 см.

Рис. 31

Для решения задачи необходимо найти сторону одного квадрата, из которых составлена фигура. Обозначим сторону квадрата как $a$.

1. Определим периметр фигуры через сторону квадрата $a$.
Периметр — это сумма длин всех внешних сторон фигуры. Рассмотрим фигуру на рис. 31 и посчитаем, из скольких отрезков длиной $a$ состоит её периметр. Фигура симметрична. Внешняя граница каждого из четырёх "лучей" креста состоит из 4 отрезков. Например, верхний правый угол фигуры состоит из вертикального отрезка длиной $a$ и горизонтального отрезка длиной $a$. Весь периметр состоит из 16 таких отрезков.
Можно посчитать и по-другому, обойдя всю фигуру по контуру:

• Верхняя грань: 2 отрезка.
• Правая грань: состоит из 5 отрезков (вертикальный, горизонтальный, вертикальный, горизонтальный, вертикальный), общая длина которых $a+a+2a+a+a = 6a$. Это неверный подсчет.

• Верхняя сторона: 2 отрезка.
• Правая сторона (сверху вниз): 1 отрезок вниз, 1 отрезок влево, 2 отрезка вниз, 1 отрезок вправо, 1 отрезок вниз.
• Нижняя сторона (справа налево): 2 отрезка.
• Левая сторона (снизу вверх): 1 отрезок вверх, 1 отрезок вправо, 2 отрезка вверх, 1 отрезок влево, 1 отрезок вверх.

Общее число отрезков: $2 + (1+1+2+1+1) + 2 + (1+1+2+1+1) = 2+6+2+6 = 16$.Таким образом, периметр фигуры $P$ равен $16a$.

2. Найдем длину стороны одного квадрата $a$.
По условию, периметр фигуры равен 32 см.
$P = 16a = 32$ см
Отсюда находим $a$:
$a = 32 / 16 = 2$ см.

3. Найдем площадь фигуры.
Площадь одного квадрата со стороной $a=2$ см равна:
$S_{кв} = a^2 = 2^2 = 4$ см².
По условию, фигура составлена из 9 таких квадратов. Следовательно, общая площадь фигуры $S$ равна:
$S = 9 \times S_{кв} = 9 \times 4 = 36$ см².

Ответ: 36 см².

C 412 Найди площадь фигуры, составленной из 9 квадратов (рис. 31), если ее периметр равен 32 см.

Рис. 31

413 Найди последнюю цифру числа

$111 \cdot 222 \cdot 333 \cdot 444 \cdot 555 \cdot 666.$

Чтобы найти последнюю цифру произведения, достаточно найти последнюю цифру произведения последних цифр каждого из множителей.

В данном случае нам нужно найти последнюю цифру произведения чисел: $111 \cdot 222 \cdot 333 \cdot 444 \cdot 555 \cdot 666$.

Последние цифры этих чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и 6.

Теперь найдем последнюю цифру произведения этих последних цифр: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6$.

В этом произведении есть множитель 5 (от числа 555) и четные множители 2, 4, 6 (от чисел 222, 444, 666). Произведение любого четного числа на 5 всегда оканчивается на 0. Например, $2 \cdot 5 = 10$.

Поскольку в произведении $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6$ есть сомножители 2 и 5, результат этого произведения будет оканчиваться на 0.

$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

Следовательно, последняя цифра исходного произведения $111 \cdot 222 \cdot 333 \cdot 444 \cdot 555 \cdot 666$ также будет 0.

Ответ: 0

413 Найди последнюю цифру числа:

$111 \cdot 222 \cdot 333 \cdot 444 \cdot 555 \cdot 666$

414 В магазине после снижения цен на яблоки их продали за день на $50\%$ больше, чем продавали в день до снижения цен. Выручка за день возросла при этом на $12,5\%$. На сколько процентов была снижена цена?

Для решения задачи введем переменные, описывающие состояние до и после снижения цены.

До снижения цены:

• $P_1$ – первоначальная цена за единицу товара (яблок).
• $Q_1$ – первоначальное количество проданного товара за день.
• $R_1$ – первоначальная выручка за день.

Выручка рассчитывается как произведение цены на количество: $R_1 = P_1 \times Q_1$.

После снижения цены:

• $P_2$ – новая цена за единицу товара.
• $Q_2$ – новое количество проданного товара за день.
• $R_2$ – новая выручка за день.

Новая выручка: $R_2 = P_2 \times Q_2$.

Исходя из условий задачи, установим связи между старыми и новыми значениями.

Количество проданных яблок увеличилось на 50%, следовательно, новое количество составляет 150% от старого:
$Q_2 = Q_1 + 0,5 \times Q_1 = 1,5 \times Q_1$

Выручка за день возросла на 12,5%, следовательно, новая выручка составляет 112,5% от старой:
$R_2 = R_1 + 0,125 \times R_1 = 1,125 \times R_1$

Теперь подставим эти соотношения в формулу для новой выручки $R_2 = P_2 \times Q_2$:
$1,125 \times R_1 = P_2 \times (1,5 \times Q_1)$

Заменим $R_1$ на его эквивалент $P_1 \times Q_1$:
$1,125 \times (P_1 \times Q_1) = 1,5 \times P_2 \times Q_1$

Поскольку количество проданных яблок $Q_1$ не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $Q_1$:
$1,125 \times P_1 = 1,5 \times P_2$

Теперь найдем, какую часть составляет новая цена $P_2$ от первоначальной цены $P_1$:
$P_2 = \frac{1,125}{1,5} \times P_1$
$P_2 = 0,75 \times P_1$

Это означает, что новая цена составляет 75% от старой. Чтобы найти, на сколько процентов была снижена цена, нужно найти разницу между 100% и 75%:
Процент снижения = $100\% - 75\% = 25\%$

Либо можно рассчитать по формуле процентного изменения:
Процент снижения $= \frac{P_1 - P_2}{P_1} \times 100\% = \frac{P_1 - 0,75 \times P_1}{P_1} \times 100\% = \frac{0,25 \times P_1}{P_1} \times 100\% = 0,25 \times 100\% = 25\%$

Ответ: цена была снижена на 25%.

414 В магазине после снижения цен на яблоки их продали за день на 50% больше, чем продавали в день до снижения цен. Выручка за день возросла при этом на 12,5%. На сколько процентов была снижена цена?

415 Прямоугольный кусок волшебной кожи («шаг-реневая кожа») исполняет любые желания своеговладельца, но после каждого исполнения желанияон уменьшается на половину своей длины и на однутреть ширины. После исполнения 5 желаний онимел площадь $12 \text{ см}^2$, а после двух желаний егоширина была $9 \text{ см}$. Какой была его длина послеисполнения первого желания?

Обозначим начальную длину прямоугольного куска кожи как $L_0$, а начальную ширину как $W_0$.
Согласно условию, после каждого исполнения желания длина уменьшается на половину (то есть умножается на $\frac{1}{2}$), а ширина уменьшается на одну треть (то есть умножается на $\frac{2}{3}$).
Таким образом, после $n$ желаний длина $L_n$ и ширина $W_n$ будут равны:
$L_n = L_0 \cdot (\frac{1}{2})^n$
$W_n = W_0 \cdot (\frac{2}{3})^n$

1. Найдем начальную ширину кожи ($W_0$)
По условию, после двух желаний ширина кожи стала 9 см, то есть $W_2 = 9$ см. Используем формулу для ширины при $n=2$:
$W_2 = W_0 \cdot (\frac{2}{3})^2 = W_0 \cdot \frac{4}{9} = 9$
Отсюда находим начальную ширину $W_0$:
$W_0 = 9 \cdot \frac{9}{4} = \frac{81}{4} = 20,25$ см.

2. Найдем начальную длину кожи ($L_0$)
Известно, что после пяти желаний площадь кожи составила 12 см², то есть $S_5 = 12$ см². Площадь после 5 желаний равна $S_5 = L_5 \cdot W_5$.
Выразим $L_5$ и $W_5$ через начальные размеры:
$L_5 = L_0 \cdot (\frac{1}{2})^5 = L_0 \cdot \frac{1}{32}$
$W_5 = W_0 \cdot (\frac{2}{3})^5 = \frac{81}{4} \cdot \frac{32}{243} = \frac{81 \cdot 32}{4 \cdot 243} = \frac{1 \cdot 8}{1 \cdot 3} = \frac{8}{3}$ см.
Теперь подставим эти значения в формулу для площади:
$S_5 = (L_0 \cdot \frac{1}{32}) \cdot \frac{8}{3} = 12$
$L_0 \cdot \frac{8}{96} = 12$
$L_0 \cdot \frac{1}{12} = 12$
Отсюда находим начальную длину $L_0$:
$L_0 = 12 \cdot 12 = 144$ см.

3. Найдем длину кожи после исполнения первого желания ($L_1$)
Вопрос задачи — найти длину кожи после исполнения первого желания, то есть $L_1$.
Используем формулу для длины при $n=1$ и найденное значение $L_0$:
$L_1 = L_0 \cdot \frac{1}{2} = 144 \cdot \frac{1}{2} = 72$ см.
Ответ: 72 см.

415 Прямоугольный кусок волшебной кожи («шагреневая кожа») исполняет любые желания своего владельца, но после каждого исполнения желания он уменьшается на половину своей длины и на одну треть ширины. После исполнения 5 желаний он имел площадь $12 \text{ см}^2$, а после двух желаний его ширина была 9 см. Какой была его длина после исполнения первого желания?