Номер 415, страница 95, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 3. Задачи на построение - номер 415, страница 95.

Условие 2023.

415 Прямоугольный кусок волшебной кожи («шаг-реневая кожа») исполняет любые желания своеговладельца, но после каждого исполнения желанияон уменьшается на половину своей длины и на однутреть ширины. После исполнения 5 желаний онимел площадь $12 \text{ см}^2$, а после двух желаний егоширина была $9 \text{ см}$. Какой была его длина послеисполнения первого желания?

Решение 2 (2023).

Обозначим начальную длину прямоугольного куска кожи как $L_0$, а начальную ширину как $W_0$.
Согласно условию, после каждого исполнения желания длина уменьшается на половину (то есть умножается на $\frac{1}{2}$), а ширина уменьшается на одну треть (то есть умножается на $\frac{2}{3}$).
Таким образом, после $n$ желаний длина $L_n$ и ширина $W_n$ будут равны:
$L_n = L_0 \cdot (\frac{1}{2})^n$
$W_n = W_0 \cdot (\frac{2}{3})^n$

1. Найдем начальную ширину кожи ($W_0$)
По условию, после двух желаний ширина кожи стала 9 см, то есть $W_2 = 9$ см. Используем формулу для ширины при $n=2$:
$W_2 = W_0 \cdot (\frac{2}{3})^2 = W_0 \cdot \frac{4}{9} = 9$
Отсюда находим начальную ширину $W_0$:
$W_0 = 9 \cdot \frac{9}{4} = \frac{81}{4} = 20,25$ см.

2. Найдем начальную длину кожи ($L_0$)
Известно, что после пяти желаний площадь кожи составила 12 см², то есть $S_5 = 12$ см². Площадь после 5 желаний равна $S_5 = L_5 \cdot W_5$.
Выразим $L_5$ и $W_5$ через начальные размеры:
$L_5 = L_0 \cdot (\frac{1}{2})^5 = L_0 \cdot \frac{1}{32}$
$W_5 = W_0 \cdot (\frac{2}{3})^5 = \frac{81}{4} \cdot \frac{32}{243} = \frac{81 \cdot 32}{4 \cdot 243} = \frac{1 \cdot 8}{1 \cdot 3} = \frac{8}{3}$ см.
Теперь подставим эти значения в формулу для площади:
$S_5 = (L_0 \cdot \frac{1}{32}) \cdot \frac{8}{3} = 12$
$L_0 \cdot \frac{8}{96} = 12$
$L_0 \cdot \frac{1}{12} = 12$
Отсюда находим начальную длину $L_0$:
$L_0 = 12 \cdot 12 = 144$ см.

3. Найдем длину кожи после исполнения первого желания ($L_1$)
Вопрос задачи — найти длину кожи после исполнения первого желания, то есть $L_1$.
Используем формулу для длины при $n=1$ и найденное значение $L_0$:
$L_1 = L_0 \cdot \frac{1}{2} = 144 \cdot \frac{1}{2} = 72$ см.
Ответ: 72 см.

Условие 2010-2022.

415 Прямоугольный кусок волшебной кожи («шагреневая кожа») исполняет любые желания своего владельца, но после каждого исполнения желания он уменьшается на половину своей длины и на одну треть ширины. После исполнения 5 желаний он имел площадь $12 \text{ см}^2$, а после двух желаний его ширина была 9 см. Какой была его длина после исполнения первого желания?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).