Номер 418, страница 98, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 4. Замечательные точки в треугольнике - номер 418, страница 98.

Условие 2023.

418 Построй ортоцентр треугольника $ABC$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Решение 2 (2023).

Ортоцентр треугольника — это точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на прямую, содержащую противоположную сторону. Для нахождения ортоцентра достаточно построить две такие прямые и найти их точку пересечения, так как третья прямая, содержащая высоту, обязательно пройдет через эту же точку.

а) треугольник ABC остроугольный

В остроугольном треугольнике все три высоты пересекаются в одной точке, которая лежит внутри треугольника. Эта точка и является ортоцентром.
Порядок построения:
1. Из вершины A опускаем перпендикуляр (высоту) на сторону BC.
2. Из вершины B опускаем перпендикуляр (высоту) на сторону AC.
3. Точка пересечения H этих двух высот является искомым ортоцентром.

Ответ: Ортоцентр остроугольного треугольника находится внутри треугольника и является точкой пересечения его высот.

б) треугольник ABC прямоугольный

Пусть в треугольнике ABC угол C — прямой ($\angle C = 90^\circ$). Стороны AC и BC, образующие прямой угол, называются катетами.
Так как катеты взаимно перпендикулярны, то катет AC является высотой, опущенной из вершины A на прямую BC. Аналогично, катет BC является высотой, опущенной из вершины B на прямую AC.
Эти две высоты (катеты AC и BC) пересекаются в вершине C. Следовательно, ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной прямого угла.

Ответ: Ортоцентр прямоугольного треугольника совпадает с вершиной его прямого угла.

в) треугольник ABC тупоугольный

Пусть в треугольнике ABC угол B — тупой. В этом случае две из трех высот (проведенные из вершин острых углов) будут опущены на продолжения сторон, и их основания будут лежать вне отрезков, являющихся сторонами треугольника. Ортоцентр будет лежать вне треугольника.
Порядок построения:
1. Проводим прямую, содержащую высоту из вершины A. Для этого из точки A опускаем перпендикуляр на прямую, содержащую сторону BC (перпендикуляр упадет на продолжение стороны BC).
2. Проводим прямую, содержащую высоту из вершины C. Для этого из точки C опускаем перпендикуляр на прямую, содержащую сторону AB (перпендикуляр упадет на продолжение стороны AB).
3. Точка пересечения H этих двух прямых и будет ортоцентром.

Ответ: Ортоцентр тупоугольного треугольника находится вне треугольника и является точкой пересечения прямых, содержащих его высоты.

Условие 2010-2022.

418. Построй ортоцентр треугольника $ABC$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный.

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).