Номер 417, страница 98, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 4. Замечательные точки в треугольнике - номер 417, страница 98.

Условие 2023.

417. Построй окружность, вписанную в треугольник $ABC$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Решение 2 (2023).

Для построения окружности, вписанной в треугольник, необходимо найти ее центр и радиус. Центром вписанной окружности является точка пересечения биссектрис углов треугольника (инцентр). Радиусом является длина перпендикуляра, опущенного из инцентра на любую из сторон треугольника. Алгоритм построения не зависит от вида треугольника (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

а) остроугольный

Рассмотрим построение на примере остроугольного треугольника $ABC$.

Порядок построения:

1. Начертим произвольный остроугольный треугольник $ABC$.

2. С помощью циркуля и линейки построим биссектрисы двух любых углов, например, $\angle A$ и $\angle B$. Для построения биссектрисы угла $A$, с центром в вершине $A$ проведем дугу произвольного радиуса, пересекающую стороны $AB$ и $AC$. Из полученных точек пересечения проведем две дуги одинакового радиуса до их взаимного пересечения. Луч, соединяющий вершину $A$ с этой точкой пересечения дуг, является биссектрисой.

3. Точку пересечения биссектрис обозначим $O$. Эта точка является центром искомой вписанной окружности.

4. Для нахождения радиуса построим перпендикуляр из точки $O$ на любую из сторон, например, на сторону $AC$. Для этого из точки $O$ проведем дугу, пересекающую сторону $AC$ в двух точках. Из этих двух точек проведем новые дуги одинакового радиуса до их пересечения. Прямая, соединяющая точку $O$ и новую точку пересечения, будет перпендикулярна стороне $AC$. Обозначим точку пересечения перпендикуляра со стороной $AC$ как $H$.

5. Длина отрезка $OH$ является радиусом $r$ вписанной окружности.

6. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = OH$. Эта окружность будет касаться всех трех сторон треугольника $ABC$ и является вписанной.

Ответ: Построена окружность, вписанная в остроугольный треугольник, путем нахождения центра в точке пересечения биссектрис и радиуса как длины перпендикуляра от центра к стороне.

б) прямоугольный

Построение вписанной окружности для прямоугольного треугольника $ABC$ (например, с прямым углом $\angle C$) выполняется по тому же самому алгоритму.

1. Начертим прямоугольный треугольник $ABC$.

2. Построим биссектрисы двух любых углов (например, острых углов $\angle A$ и $\angle B$).

3. Найдем точку их пересечения $O$ — это и будет центр вписанной окружности.

4. Определим радиус $r$, построив перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на любую сторону (например, на катет $BC$).

5. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = OH$.

Ответ: Искомая окружность, вписанная в прямоугольный треугольник, построена согласно общему алгоритму.

в) тупоугольный

Построение вписанной окружности для тупоугольного треугольника $ABC$ (например, с тупым углом $\angle B$) также выполняется по стандартному алгоритму. Важно отметить, что центр вписанной окружности, в отличие от центра описанной, всегда лежит внутри треугольника, независимо от его вида.

1. Начертим тупоугольный треугольник $ABC$.

2. Построим биссектрисы двух любых углов (например, $\angle A$ и $\angle C$).

3. Найдем точку их пересечения $O$ — инцентр.

4. Определим радиус $r$, построив перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на любую из сторон (например, на сторону $AC$).

5. Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r = OH$.

Ответ: Искомая окружность, вписанная в тупоугольный треугольник, построена по общему для всех треугольников алгоритму.

Условие 2010-2022.

417 Построй окружность, вписанную в треугольник $ABC$, если треугольник $ABC$:

a) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).