Номер 414, страница 95, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Задачи на построение. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. Глава 4. Геометрия. Часть 3 - номер 414, страница 95.

Условие 2023.

414 В магазине после снижения цен на яблоки их продали за день на $50\%$ больше, чем продавали в день до снижения цен. Выручка за день возросла при этом на $12,5\%$. На сколько процентов была снижена цена?

Решение 2 (2023).

Для решения задачи введем переменные, описывающие состояние до и после снижения цены.

До снижения цены:

• $P_1$ – первоначальная цена за единицу товара (яблок).
• $Q_1$ – первоначальное количество проданного товара за день.
• $R_1$ – первоначальная выручка за день.

Выручка рассчитывается как произведение цены на количество: $R_1 = P_1 \times Q_1$.

После снижения цены:

• $P_2$ – новая цена за единицу товара.
• $Q_2$ – новое количество проданного товара за день.
• $R_2$ – новая выручка за день.

Новая выручка: $R_2 = P_2 \times Q_2$.

Исходя из условий задачи, установим связи между старыми и новыми значениями.

Количество проданных яблок увеличилось на 50%, следовательно, новое количество составляет 150% от старого:
$Q_2 = Q_1 + 0,5 \times Q_1 = 1,5 \times Q_1$

Выручка за день возросла на 12,5%, следовательно, новая выручка составляет 112,5% от старой:
$R_2 = R_1 + 0,125 \times R_1 = 1,125 \times R_1$

Теперь подставим эти соотношения в формулу для новой выручки $R_2 = P_2 \times Q_2$:
$1,125 \times R_1 = P_2 \times (1,5 \times Q_1)$

Заменим $R_1$ на его эквивалент $P_1 \times Q_1$:
$1,125 \times (P_1 \times Q_1) = 1,5 \times P_2 \times Q_1$

Поскольку количество проданных яблок $Q_1$ не равно нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $Q_1$:
$1,125 \times P_1 = 1,5 \times P_2$

Теперь найдем, какую часть составляет новая цена $P_2$ от первоначальной цены $P_1$:
$P_2 = \frac{1,125}{1,5} \times P_1$
$P_2 = 0,75 \times P_1$

Это означает, что новая цена составляет 75% от старой. Чтобы найти, на сколько процентов была снижена цена, нужно найти разницу между 100% и 75%:
Процент снижения = $100\% - 75\% = 25\%$

Либо можно рассчитать по формуле процентного изменения:
Процент снижения $= \frac{P_1 - P_2}{P_1} \times 100\% = \frac{P_1 - 0,75 \times P_1}{P_1} \times 100\% = \frac{0,25 \times P_1}{P_1} \times 100\% = 0,25 \times 100\% = 25\%$

Ответ: цена была снижена на 25%.

Условие 2010-2022.

414 В магазине после снижения цен на яблоки их продали за день на 50% больше, чем продавали в день до снижения цен. Выручка за день возросла при этом на 12,5%. На сколько процентов была снижена цена?

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).