Номер 416, страница 98, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 4. Замечательные точки в треугольнике - номер 416, страница 98.

Условие 2023.

416. Построй окружность, описанную около треугольника $ABC$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный;

б) прямоугольный;

в) тупоугольный.

Решение 2 (2023).

Центром окружности, описанной около любого треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Эта точка (называемая циркумцентром) равноудалена от всех трех вершин треугольника.

Общий алгоритм построения описанной окружности для треугольника $ABC$ с помощью циркуля и линейки:

1. Построить серединный перпендикуляр к стороне $AB$. Для этого из точек $A$ и $B$ как из центров провести две дуги окружности одинакового радиуса (больше половины длины отрезка $AB$). Прямая, проходящая через точки пересечения этих дуг, является серединным перпендикуляром.
2. Аналогично построить серединный перпендикуляр к стороне $BC$.
3. Найти точку $O$ — точку пересечения этих двух перпендикуляров. Эта точка и будет центром описанной окружности.
4. Провести окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным расстоянию от точки $O$ до любой из вершин треугольника (например, $OA$).

Расположение центра описанной окружности зависит от типа треугольника.

а) остроугольный

Для построения описанной окружности около остроугольного треугольника $ABC$ выполним следующие шаги:

1. Начертим остроугольный треугольник $ABC$.
2. Построим серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$.
3. Обозначим точку их пересечения буквой $O$. В остроугольном треугольнике центр описанной окружности всегда находится внутри треугольника.
4. Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$. Эта окружность пройдет также через вершины $B$ и $C$.

Ответ: Центр описанной окружности остроугольного треугольника лежит внутри треугольника. Построение выполняется путем нахождения точки пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

б) прямоугольный

Для построения описанной окружности около прямоугольного треугольника $ABC$ (с прямым углом при вершине $C$) выполним следующие шаги:

1. Начертим прямоугольный треугольник $ABC$.
2. Построим серединные перпендикуляры к катетам $AC$ и $BC$.
3. Обозначим точку их пересечения буквой $O$. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда лежит на середине гипотенузы $AB$. Таким образом, можно упростить построение, просто найдя середину гипотенузы.
4. Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA = OB = OC$.

Ответ: Центр описанной окружности прямоугольного треугольника находится на середине его гипотенузы. Построение сводится к нахождению середины гипотенузы.

в) тупоугольный

Для построения описанной окружности около тупоугольного треугольника $ABC$ (с тупым углом при вершине $C$) выполним следующие шаги:

1. Начертим тупоугольный треугольник $ABC$.
2. Построим серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $BC$. Для этого может потребоваться продлить стороны за пределы треугольника.
3. Обозначим точку их пересечения буквой $O$. В тупоугольном треугольнике центр описанной окружности всегда находится вне треугольника.
4. Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R = OA$. Эта окружность пройдет также через вершины $B$ и $C$.

Ответ: Центр описанной окружности тупоугольного треугольника лежит вне треугольника. Построение выполняется путем нахождения точки пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Условие 2010-2022.

416. Построй окружность, описанную около треугольника $ABC$, если треугольник $ABC$:

а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).