Страница 90, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник часть 1, 2, 3 Дорофеев, Петерсон

381 1) Имеются два раствора соли массой 80 г и 120 г. В первом растворе содержится 12 г соли, а во втором – 15 г соли. Чему равна концентрация этих растворов? Какой будет концентрация, если оба эти раствора смешать?

2) Смешали 200 г 10%-го сахарного сиропа и 300 г 20%-го сахарного сиропа. Чему равна концентрация полученной смеси?

1)

Концентрация раствора (массовая доля) вычисляется как отношение массы растворенного вещества к общей массе раствора, выраженное в процентах. Формула для вычисления концентрации $C$:

$C = \frac{m_{вещества}}{m_{раствора}} \cdot 100\%$

Найдем концентрацию первого раствора:

Масса раствора $m_{раствора1} = 80$ г.

Масса соли $m_{соли1} = 12$ г.

$C_1 = \frac{12}{80} \cdot 100\% = 0,15 \cdot 100\% = 15\%$

Найдем концентрацию второго раствора:

Масса раствора $m_{раствора2} = 120$ г.

Масса соли $m_{соли2} = 15$ г.

$C_2 = \frac{15}{120} \cdot 100\% = \frac{1}{8} \cdot 100\% = 0,125 \cdot 100\% = 12,5\%$

Теперь найдем концентрацию смеси, если смешать оба раствора. Для этого нужно найти общую массу соли и общую массу раствора.

Общая масса раствора:

$m_{общ\_раствора} = m_{раствора1} + m_{раствора2} = 80 \text{ г} + 120 \text{ г} = 200 \text{ г}$

Общая масса соли:

$m_{общ\_соли} = m_{соли1} + m_{соли2} = 12 \text{ г} + 15 \text{ г} = 27 \text{ г}$

Концентрация полученной смеси:

$C_{смеси} = \frac{m_{общ\_соли}}{m_{общ\_раствора}} \cdot 100\% = \frac{27}{200} \cdot 100\% = 0,135 \cdot 100\% = 13,5\%$

Ответ: концентрация первого раствора – 15%, второго – 12,5%. Концентрация смеси – 13,5%.

2)

Для нахождения концентрации полученной смеси необходимо сначала вычислить массу сахара в каждом из сиропов, затем сложить эти массы, чтобы получить общую массу сахара, и разделить ее на общую массу смеси.

1. Найдем массу сахара в первом сиропе:

$m_{сахара1} = 200 \text{ г} \cdot 10\% = 200 \cdot 0,10 = 20 \text{ г}$

2. Найдем массу сахара во втором сиропе:

$m_{сахара2} = 300 \text{ г} \cdot 20\% = 300 \cdot 0,20 = 60 \text{ г}$

3. Найдем общую массу сахара и общую массу смеси:

Общая масса сахара: $m_{общ\_сахара} = m_{сахара1} + m_{сахара2} = 20 \text{ г} + 60 \text{ г} = 80 \text{ г}$

Общая масса смеси: $m_{смеси} = 200 \text{ г} + 300 \text{ г} = 500 \text{ г}$

4. Вычислим концентрацию полученной смеси:

$C_{смеси} = \frac{m_{общ\_сахара}}{m_{смеси}} \cdot 100\% = \frac{80}{500} \cdot 100\% = 0,16 \cdot 100\% = 16\%$

Ответ: концентрация полученной смеси равна 16%.

381 1) Имеются два раствора соли массой 80 г и 120 г. В первом растворе содержится 12 г соли, а во втором – 15 г соли. Чему равна концентрация этих растворов? Какой будет концентрация, если оба эти раствора смешать?

2) Смешали 200 г 10%-го сахарного сиропа и 300 г 20%-го сахарного сиропа. Чему равна концентрация полученной смеси?

382 1) Какое количество сухого вещества содержится в 150 г $3\%$-го водного раствора этого вещества? В каком количестве $8\%$-го раствора содержится такое же количество этого вещества?

2) Какое количество $8\%$-го водного раствора сухого вещества надо взять, чтобы его можно было развести водой до получения 100 г $3\%$-го раствора этого же вещества?

1) Сначала найдем количество сухого вещества в 150 г 3%-го раствора. Для этого умножим массу раствора на процентное содержание вещества, выраженное в виде десятичной дроби:
$m_{\text{вещества}} = m_{\text{раствора}} \times \text{концентрация} = 150 \text{ г} \times \frac{3}{100} = 150 \times 0.03 = 4.5 \text{ г}$.
Теперь найдем, в каком количестве 8%-го раствора содержится 4.5 г этого же вещества. Пусть $x$ — это искомая масса 8%-го раствора. Тогда масса сухого вещества в нем равна $x \times 8\%$. Составим уравнение:
$x \times \frac{8}{100} = 4.5$
$x \times 0.08 = 4.5$
$x = \frac{4.5}{0.08} = \frac{450}{8} = 56.25 \text{ г}$.
Ответ: в 150 г 3%-го раствора содержится 4,5 г сухого вещества; такое же количество вещества содержится в 56,25 г 8%-го раствора.

2) При разбавлении раствора водой масса сухого вещества в нем не меняется. Сначала найдем, сколько сухого вещества содержится в конечном растворе — 100 г 3%-го раствора.
$m_{\text{вещества}} = 100 \text{ г} \times \frac{3}{100} = 3 \text{ г}$.
Это же количество сухого вещества (3 г) должно было содержаться в исходном 8%-ом растворе. Пусть $y$ — это искомая масса 8%-го раствора. Составим уравнение:
$y \times \frac{8}{100} = 3$
$y \times 0.08 = 3$
$y = \frac{3}{0.08} = \frac{300}{8} = 37.5 \text{ г}$.
Следовательно, нужно взять 37,5 г 8%-го раствора.
Ответ: 37,5 г.

382 1) Какое количество сухого вещества содержится в 150 граммах 3%-го водного раствора этого вещества? В каком количестве 8%-го раствора содержится такое же количество этого вещества?

2) Какое количество 8%-го водного раствора сухого вещества надо взять, чтобы его можно было развести водой до получения 100 граммов 3%-го раствора этого же вещества?

383 1) Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов воды надо выпарить из 80 кг морской воды, чтобы концентрация соли в ней увеличилась до 20 %?

2) Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 20 кг морской, чтобы концентрация соли в ней уменьшилась с 3 % до 2 %?

1)

Ключевым моментом в решении этой задачи является то, что при выпаривании воды масса соли в растворе не изменяется.
Сначала определим массу соли в исходных 80 кг морской воды с концентрацией 5%.
Масса соли = Общая масса × Концентрация соли
$m_{соли} = 80 \text{ кг} \times 5\% = 80 \times 0.05 = 4$ кг.

После выпаривания некоторого количества воды, эти 4 кг соли будут составлять 20% от новой, уменьшенной массы морской воды. Пусть новая масса воды — $m_2$.
$4 \text{ кг} = m_2 \times 20\%$
$4 = m_2 \times 0.20$
Теперь найдем новую массу раствора:
$m_2 = \frac{4}{0.20} = 20$ кг.

Чтобы найти, сколько килограммов воды надо выпарить, нужно вычесть новую массу раствора из первоначальной:
Масса выпаренной воды = $80 \text{ кг} - 20 \text{ кг} = 60$ кг.

Ответ: 60 кг.

2)

В этой задаче масса соли также остается неизменной, меняется только общее количество воды.
Найдем массу соли в исходных 20 кг морской воды с концентрацией 3%.
$m_{соли} = 20 \text{ кг} \times 3\% = 20 \times 0.03 = 0.6$ кг.

После добавления пресной воды, эти 0.6 кг соли будут составлять 2% от новой, увеличенной массы раствора. Пусть новая масса раствора — $m_2$.
$0.6 \text{ кг} = m_2 \times 2\%$
$0.6 = m_2 \times 0.02$
Найдем новую массу раствора:
$m_2 = \frac{0.6}{0.02} = 30$ кг.

Чтобы найти, сколько килограммов пресной воды надо добавить, вычтем первоначальную массу раствора из новой:
Масса добавленной воды = $30 \text{ кг} - 20 \text{ кг} = 10$ кг.

Ответ: 10 кг.

383 1) Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов воды надо выпарить из 80 кг морской воды, чтобы концентрация соли в ней увеличилась до 20%?

2) Сколько килограммов пресной воды надо добавить к 20 кг морской, чтобы концентрация соли в ней уменьшилась с 3% до 2% ?

384 1) При выполнении работы по математике 15 $%$ учеников класса вовсе не справились с задачей, 25 $%$ учеников допустили ошибки, а остальные 24 человека решили её верно. Сколько учеников класса выполняли работу?

2) Сочинение по русскому языку писали 90 выпускников школы. Им было предложено три темы: по произведениям Пушкина, по произведениям Маяковского и свободная тема. Первую тему выбрали на 40 $%$ учеников больше, чем вторую, а третью – на 50 $%$ больше, чем первую. Сколько учеников писали сочинение по каждой теме?

1) Пусть общее количество учеников в классе равно $x$.
Сначала найдем, какой процент учеников не справился с работой или допустил ошибки. Для этого сложим проценты этих двух групп:
$15\% + 25\% = 40\%$
Это означает, что $40\%$ учеников класса либо не решили задачу, либо решили ее с ошибками.
Остальные ученики решили задачу верно. Найдем их процент от общего числа учеников:
$100\% - 40\% = 60\%$
Из условия задачи мы знаем, что число учеников, решивших задачу верно, составляет 24 человека. Таким образом, 24 человека — это $60\%$ от всего класса.
Составим пропорцию, чтобы найти общее количество учеников ($x$):
$24$ ученика — $60\%$
$x$ учеников — $100\%$
Отсюда $x = \frac{24 \cdot 100}{60} = \frac{2400}{60} = 40$.
Таким образом, всего в классе было 40 учеников.
Ответ: работу выполняли 40 учеников.

2) Всего сочинение писали 90 выпускников.
Пусть $x$ — количество учеников, которые выбрали вторую тему (по произведениям Маяковского).
Тогда первую тему (по произведениям Пушкина) выбрали на $40\%$ учеников больше, чем вторую. Это составляет $x + 0.4x = 1.4x$ учеников.
Третью тему (свободную) выбрали на $50\%$ больше, чем первую. Это составляет $1.4x + 0.5 \cdot (1.4x) = 1.4x + 0.7x = 2.1x$ учеников.
Сумма учеников, выбравших все три темы, равна 90. Составим и решим уравнение:
$x + 1.4x + 2.1x = 90$
$4.5x = 90$
$x = \frac{90}{4.5} = 20$
Итак, 20 учеников выбрали вторую тему (Маяковский).
Теперь найдем количество учеников для остальных тем:
Первая тема (Пушкин): $1.4x = 1.4 \cdot 20 = 28$ учеников.
Третья тема (свободная): $2.1x = 2.1 \cdot 20 = 42$ ученика.
Проверим: $20 + 28 + 42 = 90$.
Ответ: 28 учеников выбрали тему по произведениям Пушкина, 20 учеников — по произведениям Маяковского и 42 ученика — свободную тему.

384 1) При выполнении работы по математике $15\%$ учеников класса вовсе не справились с задачей, $25\%$ учеников допустили ошибки, а остальные 24 человека решили ее верно. Сколько учеников класса выполняли работу?

2) Сочинение по русскому языку писали 90 выпускников школы. Им было предложено три темы: по произведениям Пушкина, по произведениям Маяковского и свободная тема. Первую тему выбрали на $40\%$ учеников больше, чем вторую, а третью – на $50\%$ больше, чем первую. Сколько учеников писали сочинение по каждой теме?

385 В традиционном лыжном марафоне жителей города $N$ участвовало в 1,5 раза больше любителей лыжного спорта, чем профессиональных спортсменов. Среди любителей призёрами стали 20 % от числа участников-любителей, а среди профессионалов – 90 % от числа участников-профессионалов. Сколько процентов от всех участников соревнований стали призёрами лыжного марафона?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — количество профессиональных спортсменов, принявших участие в марафоне.

По условию, любителей лыжного спорта было в 1,5 раза больше. Следовательно, количество участников-любителей равно $1.5x$.

Теперь найдем общее количество участников марафона. Для этого сложим количество профессионалов и любителей:

Общее число участников = $x + 1.5x = 2.5x$.

Далее вычислим количество призёров в каждой из групп.

Среди любителей призёрами стали 20% от их числа. Найдём это количество:

Количество призёров-любителей = $1.5x \cdot \frac{20}{100} = 1.5x \cdot 0.2 = 0.3x$.

Среди профессионалов призёрами стали 90% от их числа. Найдём это количество:

Количество призёров-профессионалов = $x \cdot \frac{90}{100} = x \cdot 0.9 = 0.9x$.

Теперь найдём общее количество призёров, сложив призёров из обеих групп:

Общее число призёров = $0.3x + 0.9x = 1.2x$.

Наконец, чтобы определить, какой процент от всех участников соревнований стали призёрами, нужно разделить общее количество призёров на общее количество участников и умножить результат на 100%.

Процент призёров = $\frac{\text{Общее число призёров}}{\text{Общее число участников}} \cdot 100\% = \frac{1.2x}{2.5x} \cdot 100\%$.

Переменная $x$ в числителе и знаменателе сокращается:

$\frac{1.2}{2.5} \cdot 100\% = 0.48 \cdot 100\% = 48\%$.

Ответ: 48%

385 В традиционном лыжном марафоне жителей города N участвовало в 1,5 раза больше любителей лыжного спорта, чем профессиональных спортсменов. Среди любителей призерами стали 20% от числа участников-любителей, а среди профессионалов – 90% от числа участников-профессионалов. Сколько процентов от всех участников соревнований стали призерами лыжного марафона?

386 Все 16 тыс. жителей на острове положительно относятся к спорту. 75 % из них занимаются спортом активно. Из пассивных любителей спорта 20 % от их числа являются заядлыми болельщиками, но только 10 % этих болельщиков не пропускают ни одного выступления любимого спортсмена или команды. Сколько жителей на острове являются пассивными любителями спорта, притом заядлыми болельщиками, но считающими возможным пропустить некоторые из любимых соревнований?

Для решения задачи выполним следующие действия:

1. Определим общее количество жителей на острове, которые положительно относятся к спорту. По условию, это 16 тысяч, то есть 16 000 человек.

2. Найдем количество активных любителей спорта. Они составляют 75% от общего числа.

$16000 \cdot \frac{75}{100} = 16000 \cdot 0,75 = 12000$ человек.

3. Рассчитаем количество пассивных любителей спорта. Это все остальные, кто положительно относится к спорту, но не занимается им активно.

$16000 - 12000 = 4000$ человек.

4. Из числа этих пассивных любителей 20% являются заядлыми болельщиками. Найдем их количество:

$4000 \cdot \frac{20}{100} = 4000 \cdot 0,2 = 800$ человек.

5. По условию, 10% из этих заядлых болельщиков не пропускают ни одного выступления. Следовательно, остальные считают возможным пропустить некоторые соревнования. Эта группа составляет $100\% - 10\% = 90\%$ от числа заядлых болельщиков.

6. Найдем количество жителей, которые являются пассивными любителями спорта и заядлыми болельщиками, но могут пропустить соревнования:

$800 \cdot \frac{90}{100} = 800 \cdot 0,9 = 720$ человек.

Ответ: 720

386 Все 16 тысяч жителей на острове положительно относятся к спорту. 75% из них занимаются спортом активно. Из пассивных любителей спорта 20% от их числа являются заядлыми болельщиками, но только 10% этих болельщиков не пропускают ни одного выступления любимого спортсмена или команды. Сколько жителей на острове являются пассивными любителями спорта, притом заядлыми болельщиками, но считающими возможным пропустить некоторые из любимых соревнований?

398 Сравни числа:

а) 2 и -4,5;

б) -1,8 и -1,6;

в) -95,3 и 0,24;

г) -59,9 и -60;

д) $-\frac{1}{9}$ и $-\frac{1}{7}$;

е) 2,6 и -6,2;

ж) $-\frac{7}{8}$ и $-\frac{8}{9}$;

з) -0,2 и -0,03;

и) $-2\frac{4}{15}$ и $-3\frac{2}{15}$;

к) -0,806 и -7,5;

л) $-\frac{5}{6}$ и $-\frac{11}{14}$;

м) -4,009 и -4,01.

а) Сравниваем числа $2$ и $-4,5$. Любое положительное число больше любого отрицательного. Следовательно, $2 > -4,5$.
Ответ: $2 > -4,5$.

б) Сравниваем отрицательные числа $-1,8$ и $-1,6$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним модули: $|-1,8| = 1,8$ и $|-1,6| = 1,6$. Так как $1,6 < 1,8$, то $-1,6 > -1,8$.
Ответ: $-1,8 < -1,6$.

в) Сравниваем числа $-95,3$ и $0,24$. Любое отрицательное число меньше любого положительного. Следовательно, $-95,3 < 0,24$.
Ответ: $-95,3 < 0,24$.

г) Сравниваем отрицательные числа $-59,9$ и $-60$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним модули: $|-59,9| = 59,9$ и $|-60| = 60$. Так как $59,9 < 60$, то $-59,9 > -60$.
Ответ: $-59,9 > -60$.

д) Сравниваем отрицательные дроби $-\frac{1}{9}$ и $-\frac{1}{7}$. Сначала сравним их модули: $\frac{1}{9}$ и $\frac{1}{7}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $7 < 9$, то $\frac{1}{7} > \frac{1}{9}$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-\frac{1}{9} > -\frac{1}{7}$.
Ответ: $-\frac{1}{9} > -\frac{1}{7}$.

е) Сравниваем числа $2,6$ и $-6,2$. Любое положительное число больше любого отрицательного. Следовательно, $2,6 > -6,2$.
Ответ: $2,6 > -6,2$.

ж) Сравниваем отрицательные дроби $-\frac{7}{8}$ и $-\frac{8}{9}$. Сначала сравним их модули: $\frac{7}{8}$ и $\frac{8}{9}$. Приведем дроби к общему знаменателю $72$: $\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 9}{8 \cdot 9} = \frac{63}{72}$ и $\frac{8}{9} = \frac{8 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{64}{72}$. Так как $63 < 64$, то $\frac{63}{72} < \frac{64}{72}$, значит $\frac{7}{8} < \frac{8}{9}$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-\frac{7}{8} > -\frac{8}{9}$.
Ответ: $-\frac{7}{8} > -\frac{8}{9}$.

з) Сравниваем отрицательные числа $-0,2$ и $-0,03$. Сравним их модули: $|-0,2| = 0,2$ и $|-0,03| = 0,03$. Так как $0,2 = 0,20$ и $0,20 > 0,03$, то $|-0,2| > |-0,03|$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, следовательно, $-0,2 < -0,03$.
Ответ: $-0,2 < -0,03$.

и) Сравниваем отрицательные смешанные числа $-2\frac{4}{15}$ и $-3\frac{2}{15}$. Сравним их модули: $2\frac{4}{15}$ и $3\frac{2}{15}$. Так как целая часть первого числа ($2$) меньше целой части второго числа ($3$), то $2\frac{4}{15} < 3\frac{2}{15}$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-2\frac{4}{15} > -3\frac{2}{15}$.
Ответ: $-2\frac{4}{15} > -3\frac{2}{15}$.

к) Сравниваем отрицательные числа $-0,806$ и $-7,5$. Сравним их модули: $|-0,806| = 0,806$ и $|-7,5| = 7,5$. Так как $0,806 < 7,5$, то из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше. Следовательно, $-0,806 > -7,5$.
Ответ: $-0,806 > -7,5$.

л) Сравниваем отрицательные дроби $-\frac{5}{6}$ и $-\frac{11}{14}$. Сначала сравним их модули: $\frac{5}{6}$ и $\frac{11}{14}$. Приведем дроби к общему знаменателю $42$: $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{35}{42}$ и $\frac{11}{14} = \frac{11 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{33}{42}$. Так как $35 > 33$, то $\frac{35}{42} > \frac{33}{42}$, значит $\frac{5}{6} > \frac{11}{14}$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-\frac{5}{6} < -\frac{11}{14}$.
Ответ: $-\frac{5}{6} < -\frac{11}{14}$.

м) Сравниваем отрицательные числа $-4,009$ и $-4,01$. Сравним их модули: $|-4,009| = 4,009$ и $|-4,01| = 4,01$. Уравняем количество знаков после запятой: $4,01 = 4,010$. Так как $4,009 < 4,010$, то $|-4,009| < |-4,01|$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше, следовательно, $-4,009 > -4,01$.
Ответ: $-4,009 > -4,01$.

398 Сравни числа:

а) 2 и -4,5;

б) -1,8 и -1,6;

в) -95,3 и 0,24;

г) -59,9 и -60;

д) $- \frac{1}{9}$ и $- \frac{1}{7}$;

е) 2,6 и -6,2;

ж) $- \frac{7}{8}$ и $- \frac{8}{9}$;

з) -0,2 и -0,03;

и) $-2 \frac{4}{15}$ и $-3 \frac{2}{15}$;

к) -0,806 и -7,5;

л) $- \frac{5}{6}$ и $- \frac{11}{14}$;

м) -4,009 и -4,01.

399. Какие числа соответствуют точкам $A, B, C, D$ и $E$ координатной прямой? Запиши эти числа:

а) в порядке возрастания;

б) в порядке убывания.

Для начала определим цену одного деления на координатной прямой. Отрезок от 0 до 1 разделен на 4 равные части. Следовательно, цена одного деления равна $1 : 4 = \frac{1}{4}$.

Теперь найдем координаты каждой точки, считая количество делений от начала отсчета (точки 0):

• Точка A находится на 12 делений правее нуля. Её координата: $A(12 \cdot \frac{1}{4}) = A(\frac{12}{4}) = A(3)$.
• Точка B находится на 5 делений правее нуля (на одно деление правее 1). Её координата: $B(5 \cdot \frac{1}{4}) = B(\frac{5}{4})$.
• Точка C находится на 2 деления левее нуля. Её координата: $C(-2 \cdot \frac{1}{4}) = C(-\frac{2}{4}) = C(-\frac{1}{2})$.
• Точка E находится на 3 деления левее нуля. Её координата: $E(-3 \cdot \frac{1}{4}) = E(-\frac{3}{4})$.
• Точка D находится на 4 деления левее нуля. Её координата: $D(-4 \cdot \frac{1}{4}) = D(-\frac{4}{4}) = D(-1)$.

Таким образом, точкам A, B, C, D и E соответствуют числа $3$, $\frac{5}{4}$, $-\frac{1}{2}$, $-1$ и $-\frac{3}{4}$.

а) в порядке возрастания;

Расположим эти числа от наименьшего к наибольшему. Сначала идут отрицательные числа, затем положительные. Сравнивая числа, получаем следующий порядок: $-1 < -\frac{3}{4} < -\frac{1}{2} < \frac{5}{4} < 3$.
Ответ: $-1; -\frac{3}{4}; -\frac{1}{2}; \frac{5}{4}; 3$.

б) в порядке убывания.

Расположим эти числа от наибольшего к наименьшему, то есть в порядке, обратном предыдущему: $3 > \frac{5}{4} > -\frac{1}{2} > -\frac{3}{4} > -1$.
Ответ: $3; \frac{5}{4}; -\frac{1}{2}; -\frac{3}{4}; -1$.

399 Какие числа соответствуют точкам $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$ координатной прямой? Запиши эти числа:

а) в порядке возрастания;

б) в порядке убывания.

Расположи числа в порядке возрастания, сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй слова. Что они означают?

1) 8,5; -2,19; -2,9; -15; $-9\frac{1}{3}$; -16,4; 3; -9,2.

Я Ц Е Р А Т И П

2) -7,8; -60; 0; $-52\frac{4}{7}$; -0,4; -39,6; 7,2; 5,6; $-18\frac{6}{7}$; -21,5.

Н О С К О Р Ь Т Ж У

1)

Чтобы расположить числа в порядке возрастания, сравним их. Для удобства сравнения, представим смешанное число в виде десятичной дроби: $-9\frac{1}{3} \approx -9,33$.

Исходные числа и соответствующие им буквы:

$8,5$ (Я); $-2,19$ (Ц); $-2,9$ (Е); $-15$ (Р); $-9\frac{1}{3}$ (А); $-16,4$ (Т); $3$ (И); $-9,2$ (П).

Сначала расположим отрицательные числа. Чем больше модуль отрицательного числа, тем оно меньше. Сравним их:

$-16,4 < -15 < -9\frac{1}{3} \approx -9,33 < -9,2 < -2,9 < -2,19$

Теперь добавим положительные числа:

$-16,4 < -15 < -9\frac{1}{3} < -9,2 < -2,9 < -2,19 < 3 < 8,5$

Сопоставим буквы отсортированным числам:

• $-16,4 \rightarrow$ Т
• $-15 \rightarrow$ Р
• $-9\frac{1}{3} \rightarrow$ А
• $-9,2 \rightarrow$ П
• $-2,9 \rightarrow$ Е
• $-2,19 \rightarrow$ Ц
• $3 \rightarrow$ И
• $8,5 \rightarrow$ Я

Получилось слово ТРАПЕЦИЯ. Трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие не параллельны (боковые стороны).

Ответ: ТРАПЕЦИЯ.

2)

Расположим числа в порядке возрастания. Для удобства сравнения, представим смешанные числа в виде десятичных дробей:

$-52\frac{4}{7} \approx -52,57$

$-18\frac{6}{7} \approx -18,86$

Исходные числа и соответствующие им буквы:

$-7,8$ (Н); $-60$ (О); $0$ (С); $-52\frac{4}{7}$ (К); $-0,4$ (О); $-39,6$ (Р); $7,2$ (Ь); $5,6$ (Т); $-18\frac{6}{7}$ (Ж); $-21,5$ (У).

Сравним числа и расположим их в порядке от меньшего к большему:

$-60 < -52\frac{4}{7} < -39,6 < -21,5 < -18\frac{6}{7} < -7,8 < -0,4 < 0 < 5,6 < 7,2$

Сопоставим буквы отсортированным числам:

• $-60 \rightarrow$ О
• $-52\frac{4}{7} \rightarrow$ К
• $-39,6 \rightarrow$ Р
• $-21,5 \rightarrow$ У
• $-18\frac{6}{7} \rightarrow$ Ж
• $-7,8 \rightarrow$ Н
• $-0,4 \rightarrow$ О
• $0 \rightarrow$ С
• $5,6 \rightarrow$ Т
• $7,2 \rightarrow$ Ь

Получилось слово ОКРУЖНОСТЬ. Окружность — это замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра).

Ответ: ОКРУЖНОСТЬ.

400 Расположи числа в порядке возрастания, сопоставь им соответствующие буквы и расшифруй слова. Что они означают?

1) 8,5; -2,19; -2,9; -15; $-9\frac{1}{3}$; -16,4; 3; -9,2.

Я Ц Е Р А Т И П

2) -7,8; -60; 0; $-52\frac{4}{7}$; -0,4; -39,6; 7,2; 5,6; $-18\frac{6}{7}$; -21,5.

Н О С К О Р Ь Т Ж У

401 Поставь вместо звёздочки знак > или знак <:

а) $0 * -8,3$;

б) $-3,9 * 2,7$;

в) $-5,18 * -5,4$;

г) $2 \frac{5}{7} * 2 \frac{8}{11}$;

д) $-0,048 * -0,05$;

е) $1 \frac{4}{9} * -1,4$;

ж) $-9 \frac{7}{16} * -9 \frac{5}{12}$;

з) $-21,3 * 0$;

и) $-2,318 * -2,6$.

а) Сравниваем числа $0$ и $-8,3$. Ноль всегда больше любого отрицательного числа.
Ответ: $0 > -8,3$.

б) Сравниваем числа $-3,9$ и $2,7$. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.
Ответ: $-3,9 < 2,7$.

в) Сравниваем два отрицательных числа: $-5,18$ и $-5,4$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним модули чисел: $|-5,18| = 5,18$ и $|-5,4| = 5,4$. Так как $5,18 < 5,4$, то $-5,18 > -5,4$.
Ответ: $-5,18 > -5,4$.

г) Сравниваем два положительных смешанных числа $2\frac{5}{7}$ и $2\frac{8}{11}$. Так как их целые части равны, сравним дробные части: $\frac{5}{7}$ и $\frac{8}{11}$. Для этого приведем дроби к общему знаменателю $7 \times 11 = 77$.
$\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 11}{7 \cdot 11} = \frac{55}{77}$
$\frac{8}{11} = \frac{8 \cdot 7}{11 \cdot 7} = \frac{56}{77}$
Поскольку $\frac{55}{77} < \frac{56}{77}$, то и $2\frac{5}{7} < 2\frac{8}{11}$.
Ответ: $2\frac{5}{7} < 2\frac{8}{11}$.

д) Сравниваем два отрицательных числа: $-0,048$ и $-0,05$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним модули чисел: $|-0,048| = 0,048$ и $|-0,05| = 0,05$. Для удобства сравнения запишем $0,05$ как $0,050$. Так как $0,048 < 0,050$, то $-0,048 > -0,05$.
Ответ: $-0,048 > -0,05$.

е) Сравниваем числа $1\frac{4}{9}$ и $-1,4$. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Ответ: $1\frac{4}{9} > -1,4$.

ж) Сравниваем два отрицательных смешанных числа $-9\frac{7}{16}$ и $-9\frac{5}{12}$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Целые части модулей равны, поэтому сравним дробные части: $\frac{7}{16}$ и $\frac{5}{12}$. Приведем их к общему знаменателю, который равен $48$.
$\frac{7}{16} = \frac{7 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{21}{48}$
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{20}{48}$
Так как $\frac{21}{48} > \frac{20}{48}$, то $|-9\frac{7}{16}| > |-9\frac{5}{12}|$. Следовательно, $-9\frac{7}{16} < -9\frac{5}{12}$.
Ответ: $-9\frac{7}{16} < -9\frac{5}{12}$.

з) Сравниваем числа $-21,3$ и $0$. Любое отрицательное число всегда меньше нуля.
Ответ: $-21,3 < 0$.

и) Сравниваем два отрицательных числа: $-2,318$ и $-2,6$. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Сравним модули чисел: $|-2,318| = 2,318$ и $|-2,6| = 2,6$. Так как $2,318 < 2,6$, то $-2,318 > -2,6$.
Ответ: $-2,318 > -2,6$.

401 Поставь вместо звездочки знак > или знак < :

а) $0 * -8,3;$

б) $-3,9 * 2,7;$

в) $-5,18 * -5,4;$

г) $2\frac{5}{7} * 2\frac{8}{11};$

д) $-0,048 * -0,05;$

е) $1\frac{4}{9} * -1,4;$

ж) $-9\frac{7}{16} * -9\frac{5}{12};$

з) $-21,3 * 0;$

и) $-2,318 * -2,6.$

402 Прочитай неравенство и запиши множество его целых решений:

1) $x < 2$;

2) $x \leq -3$;

3) $x > -5$;

4) $x \geq -1,4$;

5) $-2 \leq x < 4$;

6) $-3 \leq x \leq 1$;

7) $-5 < x \leq -0,5$;

8) $-2,7 < x < 2,7$.

1) Неравенство $x < 2$ читается как "икс меньше двух". Его целыми решениями являются все целые числа, которые строго меньше 2. На числовой оси это числа, расположенные левее 2.
Множество целых решений: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1\}$.
Ответ: $\{..., -3, -2, -1, 0, 1\}$

2) Неравенство $x \le -3$ читается как "икс меньше или равен минус трём". Его целыми решениями являются все целые числа, которые меньше или равны -3. На числовой оси это число -3 и все целые числа левее него.
Множество целых решений: $\{..., -5, -4, -3\}$.
Ответ: $\{..., -5, -4, -3\}$

3) Неравенство $x > -5$ читается как "икс больше минус пяти". Его целыми решениями являются все целые числа, которые строго больше -5. На числовой оси это числа, расположенные правее -5.
Множество целых решений: $\{-4, -3, -2, -1, 0, ...\}$.
Ответ: $\{-4, -3, -2, -1, 0, ...\}$

4) Неравенство $x \ge -1,4$ читается как "икс больше или равен минус одной целой четырём десятым". Его целыми решениями являются все целые числа, которые больше или равны -1,4. Первое целое число, удовлетворяющее этому условию, это -1.
Множество целых решений: $\{-1, 0, 1, 2, ...\}$.
Ответ: $\{-1, 0, 1, 2, ...\}$

5) Неравенство $-2 \le x < 4$ читается как "икс больше или равен минус двум и меньше четырёх". Его целыми решениями являются все целые числа, которые находятся в промежутке от -2 (включительно) до 4 (не включая).
Множество целых решений: $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.
Ответ: $\{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$

6) Неравенство $-3 \le x \le 1$ читается как "икс больше или равен минус трём и меньше или равен одному". Его целыми решениями являются все целые числа, которые находятся в промежутке от -3 (включительно) до 1 (включительно).
Множество целых решений: $\{-3, -2, -1, 0, 1\}$.
Ответ: $\{-3, -2, -1, 0, 1\}$

7) Неравенство $-5 < x \le -0,5$ читается как "икс больше минус пяти и меньше или равен минус ноль целых пяти десятым". Его целыми решениями являются все целые числа, которые находятся в промежутке от -5 (не включая) до -0,5 (включительно).
Множество целых решений: $\{-4, -3, -2, -1\}$.
Ответ: $\{-4, -3, -2, -1\}$

8) Неравенство $-2,7 < x < 2,7$ читается как "икс больше минус двух целых семи десятых и меньше двух целых семи десятых". Его целыми решениями являются все целые числа, которые находятся в промежутке от -2,7 (не включая) до 2,7 (не включая).
Множество целых решений: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
Ответ: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$

402 Прочитай неравенство и запиши множество его целых решений:

1) $x < 2$;

2) $x \le -3$;

3) $x > -5$;

4) $x \ge -1,4$;

5) $-2 \le x < 4$;

6) $-3 \le x \le 1$;

7) $-5 < x \le -0,5$;

8) $-2,7 < x < 2,7$.

403 Известно, что $a$ и $b$ – положительные числа, а $m$ и $n$ – отрицательные.

Сравни:

а) $0$ и $a$;

б) $0$ и $m$;

в) $-n$ и $0$;

г) $a$ и $n$;

д) $m$ и $b$;

е) $n$ и $-m$;

ж) $-a$ и $b$;

з) $-m$ и $-a$;

и) $-b$ и $-n$;

к) $a$ и $|a|$;

л) $|m|$ и $m$;

м) $|-n|$ и $-n$.

По условию задачи дано: $a > 0$, $b > 0$, $m < 0$, $n < 0$.

а) 0 и a

Так как $a$ — положительное число, по определению оно больше нуля.
Ответ: $0 < a$.

б) 0 и m

Так как $m$ — отрицательное число, по определению оно меньше нуля.
Ответ: $0 > m$.

в) -n и 0

Так как $n$ — отрицательное число ($n < 0$), то число $-n$ является ему противоположным и, следовательно, положительным. Любое положительное число больше нуля.
Ответ: $-n > 0$.

г) a и n

Число $a$ положительное ($a > 0$), а число $n$ отрицательное ($n < 0$). Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Ответ: $a > n$.

д) m и b

Число $m$ отрицательное ($m < 0$), а число $b$ положительное ($b > 0$). Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного числа.
Ответ: $m < b$.

е) n и -m

Число $n$ отрицательное ($n < 0$). Так как $m$ — отрицательное число ($m < 0$), то $-m$ — положительное число ($-m > 0$). Отрицательное число $n$ меньше положительного числа $-m$.
Ответ: $n < -m$.

ж) -a и b

Так как $a$ — положительное число ($a > 0$), то $-a$ — отрицательное число ($-a < 0$). Число $b$ является положительным ($b > 0$). Отрицательное число $-a$ меньше положительного числа $b$.
Ответ: $-a < b$.

з) -m и -a

Так как $m$ — отрицательное число ($m < 0$), то $-m$ — положительное число ($-m > 0$). Так как $a$ — положительное число ($a > 0$), то $-a$ — отрицательное число ($-a < 0$). Положительное число $-m$ больше отрицательного числа $-a$.
Ответ: $-m > -a$.

и) -b и -n

Так как $b$ — положительное число ($b > 0$), то $-b$ — отрицательное число ($-b < 0$). Так как $n$ — отрицательное число ($n < 0$), то $-n$ — положительное число ($-n > 0$). Отрицательное число $-b$ меньше положительного числа $-n$.
Ответ: $-b < -n$.

к) a и |a|

Так как $a$ — положительное число ($a > 0$), модуль положительного числа равен самому числу.
Ответ: $a = |a|$.

л) |m| и m

Так как $m$ — отрицательное число ($m < 0$), его модуль $|m|$ является противоположным ему положительным числом ( $|m| = -m > 0$). Положительное число $|m|$ всегда больше отрицательного числа $m$.
Ответ: $|m| > m$.

м) |-n| и -n

Так как $n$ — отрицательное число ($n < 0$), то $-n$ — положительное число ($-n > 0$). Модуль положительного числа равен самому этому числу.
Ответ: $|-n| = -n$.

403 Известно, что $a$ и $b$ - положительные числа, а $m$ и $n$ - отрицательные.

Сравни:

а) $0$ и $a$;

б) $0$ и $m$;

в) $-n$ и $0$;

г) $a$ и $n$;

д) $m$ и $b$;

е) $n$ и $-m$;

ж) $-a$ и $b$;

з) $-m$ и $-a$;

и) $-b$ и $-n$;

к) $a$ и $|a|$;

л) $|m|$ и $m$;

м) $|-n|$ и $-n$.

404 Найди множество чисел, удовлетворяющих условию, и запиши его, если возможно, с помощью двойного неравенства:

1) $|x| < 3;$

2) $|x| \le 4;$

3) $|x| < 1,5;$

4) $|x| \le 2,8;$

5) $|x| < a$, где $a > 0;$

6) $|x| \le b$, где $b \ge 0;$

7) $|x| < c$, где $c < 0;$

8) $|x| \le d$, где $d \le 0.$

1) Неравенство $|x| < 3$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой меньше 3. Этому условию удовлетворяют все числа, расположенные между -3 и 3, не включая концы интервала. В виде двойного неравенства это записывается как:
$-3 < x < 3$.
Ответ: $-3 < x < 3$.

2) Неравенство $|x| \le 4$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой меньше или равно 4. Этому условию удовлетворяют все числа, расположенные между -4 и 4, включая сами эти числа. В виде двойного неравенства это записывается как:
$-4 \le x \le 4$.
Ответ: $-4 \le x \le 4$.

3) Неравенство $|x| < 1,5$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой меньше 1,5. Этому условию удовлетворяют все числа, расположенные между -1,5 и 1,5, не включая концы интервала. В виде двойного неравенства это записывается как:
$-1.5 < x < 1.5$.
Ответ: $-1.5 < x < 1.5$.

4) Неравенство $|x| \le 2,8$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на числовой прямой меньше или равно 2,8. Этому условию удовлетворяют все числа, расположенные между -2,8 и 2,8, включая сами эти числа. В виде двойного неравенства это записывается как:
$-2.8 \le x \le 2.8$.
Ответ: $-2.8 \le x \le 2.8$.

5) Дано неравенство $|x| < a$, где $a > 0$. Так как $a$ — положительное число, это неравенство эквивалентно тому, что $x$ находится между $-a$ и $a$. Запись в виде двойного неравенства:
$-a < x < a$.
Ответ: $-a < x < a$.

6) Дано неравенство $|x| \le b$, где $b \ge 0$. Так как $b$ — неотрицательное число, это неравенство эквивалентно тому, что $x$ находится между $-b$ и $b$, включая концы. Запись в виде двойного неравенства:
$-b \le x \le b$.
Ответ: $-b \le x \le b$.

7) Дано неравенство $|x| < c$, где $c < 0$. Модуль любого числа $|x|$ является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$. Так как по условию $c$ — отрицательное число, неравенство $|x| < c$ не может быть выполнено ни для какого значения $x$, потому что неотрицательное число не может быть меньше отрицательного. Следовательно, множество решений пусто. Записать его с помощью двойного неравенства невозможно.
Ответ: нет решений.

8) Дано неравенство $|x| \le d$, где $d \le 0$. Необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: $d < 0$. Модуль любого числа $|x| \ge 0$. Неотрицательное число не может быть меньше или равно отрицательному числу $d$. Следовательно, в этом случае решений нет.
Случай 2: $d = 0$. Неравенство принимает вид $|x| \le 0$. Так как $|x| \ge 0$, единственное возможное решение — это $|x| = 0$, что означает $x = 0$.
Таким образом, если $d < 0$, решений нет, а если $d = 0$, решением является $x=0$. Записать общее решение для $d \le 0$ с помощью одного двойного неравенства невозможно.
Ответ: если $d < 0$, то решений нет; если $d = 0$, то $x = 0$.

404 Найди множество чисел, удовлетворяющих условию, и запиши его, если возможно, с помощью двойного неравенства:

1) $|x| < 3;$

2) $|x| \le 4;$

3) $|x| < 1,5;$

4) $|x| \le 2,8;$

5) $|x| < a,$ где $a > 0;$

6) $|x| \le b,$ где $b \ge 0;$

7) $|x| < c,$ где $c < 0;$

8) $|x| \le d,$ где $d \le 0.$

380 Построй треугольник $ABC$ по стороне $b$ и прилежащему к ней углу $A$. Является ли решение однозначным? Всегда ли оно возможно? Какие виды треугольников могут получиться?

1) $b$

$A$

2) $b$

$A$

В задаче даны два элемента треугольника: сторона $b$ (подразумевается сторона $AC$) и прилежащий к ней угол $A$. Для однозначного построения треугольника необходимо знать три элемента (например, две стороны и угол между ними, или сторону и два прилежащих к ней угла).

Построение будет выглядеть так:

1. Строим луч с началом в точке $A$.
2. От этого луча откладываем заданный угол $A$, получая второй луч.
3. На первом луче от точки $A$ откладываем отрезок $AC$, равный по длине стороне $b$.
4. Третья вершина $B$ должна лежать на втором луче.

Так как положение точки $B$ на втором луче не определено, задача имеет бесконечно много решений. Теперь проанализируем каждый случай, представленный на рисунке.

В этом случае задан острый угол $A$ ($0° < A < 90°$).

Является ли решение однозначным?
Нет, решение не является однозначным. Как было показано выше, мы можем выбрать любую точку $B$ (отличную от $A$) на втором луче, исходящем из вершины $A$. Каждое такое положение точки $B$ будет определять новый треугольник $ABC$. Таким образом, существует бесконечно много треугольников, удовлетворяющих условию.

Всегда ли оно возможно?
Да, построение возможно всегда, при условии, что длина стороны $b$ больше нуля ($b > 0$), а угол $A$ является допустимым для треугольника, то есть $0° < A < 180°$. В данном случае угол $A$ острый, поэтому условие выполняется.

Какие виды треугольников могут получиться?
Поскольку угол $A$ острый, вид треугольника будет зависеть от углов $B$ и $C$. Их сумма равна $B + C = 180° - A$.

• Можно получить прямоугольный треугольник. Для этого нужно, чтобы либо $\angle B = 90°$, либо $\angle C = 90°$. Оба варианта возможны при определенном выборе положения точки $B$.
• Можно получить тупоугольный треугольник. Например, если выбрать точку $B$ очень далеко от точки $A$ на луче, то угол $C$ будет очень маленьким, а угол $B$ будет стремиться к $180° - A$. Так как $A$ — острый, то $180° - A$ — тупой. Следовательно, можно получить треугольник с тупым углом $B$.
• Можно получить остроугольный треугольник. Это возможно, если выбрать точку $B$ так, чтобы все три угла ($A, B, C$) были острыми.

Таким образом, если заданный угол $A$ острый, можно построить треугольник любого вида.

Ответ: Решение не является однозначным. Оно возможно всегда, если $b > 0$ и $0° < A < 180°$. Могут получиться остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники.

В этом случае задан тупой угол $A$ ($90° < A < 180°$).

Является ли решение однозначным?
Нет, решение не является однозначным по той же причине, что и в первом случае. Положение точки $B$ на луче не зафиксировано, что порождает бесконечное множество возможных треугольников.

Всегда ли оно возможно?
Да, построение возможно всегда при тех же условиях: длина стороны $b > 0$ и угол $A$ находится в пределах от $0°$ до $180°$. В данном случае угол $A$ тупой, поэтому условие выполняется.

Какие виды треугольников могут получиться?
Поскольку в треугольнике может быть только один тупой угол, а нам уже дан тупой угол $A$, то два других угла, $B$ и $C$, обязательно должны быть острыми. Сумма углов в треугольнике равна $180°$, значит $B + C = 180° - A$. Так как $A > 90°$, то $B + C < 90°$, из чего следует, что и $\angle B < 90°$, и $\angle C < 90°$.
Таким образом, любой построенный треугольник будет тупоугольным.

Ответ: Решение не является однозначным. Оно возможно всегда, если $b > 0$ и $0° < A < 180°$. Могут получиться только тупоугольные треугольники.

380 Построй треугольник $ABC$ по стороне $b$ и прилежащему к ней углу $A$. Является ли решение однозначным? Всегда ли оно возможно? Какие виды треугольников могут получиться?

1) $b$

$A$

2) $b$

$A$

381 Построй треугольник $ABC$ по стороне $b$ и двум прилежащим к ней углам $A$ и $C$. Сколько различных треугольников можно построить по этим данным? Определяется ли треугольник этими элементами единственным образом?

1) $b$

$A$

$C$

2) $b$

$A$

$C$

Задача сводится к построению треугольника по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Для того чтобы такой треугольник существовал, необходимо и достаточно, чтобы сумма двух данных углов была меньше 180 градусов, так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусам.

1)

В данном случае нам даны сторона b и два острых угла A и C.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую и отложим на ней отрезок AC, равный по длине данной стороне b.
2. От луча AC в одной полуплоскости отложим угол, равный данному углу A, с вершиной в точке A.
3. От луча CA в той же полуплоскости отложим угол, равный данному углу C, с вершиной в точке C.
4. Лучи, являющиеся сторонами построенных углов, пересекутся в некоторой точке B.

Полученный треугольник ABC и будет искомым.

Анализ:

Сумма двух острых углов всегда меньше $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Следовательно, условие существования треугольника $\angle A + \angle C < 180^\circ$ всегда выполняется. Лучи, построенные на шагах 2 и 3, обязательно пересекутся. Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), все треугольники, построенные по этим данным, будут равны между собой. Это означает, что треугольник определяется этими элементами единственным образом.

Ответ: По этим данным можно построить только один треугольник. Треугольник определяется этими элементами единственным образом.

2)

В данном случае нам даны сторона b, острый угол A и тупой угол C.

Построение выполняется аналогично первому случаю.

Анализ:

Здесь необходимо проверить условие существования треугольника: $\angle A + \angle C < 180^\circ$. Поскольку угол C — тупой ($> 90^\circ$), эта сумма может быть как меньше, так и больше или равна 180 градусам.

• Если $\angle A + \angle C < 180^\circ$, то лучи, построенные из точек A и C, пересекутся в одной точке B. По второму признаку равенства треугольников такой треугольник будет единственным.
• Если $\angle A + \angle C \ge 180^\circ$, то лучи, построенные из точек A и C, не пересекутся в нужной полуплоскости (они будут параллельны или расходящимися). В этом случае построить треугольник невозможно.

Таким образом, возможность построения и единственность треугольника зависят от выполнения условия $\angle A + \angle C < 180^\circ$.

Ответ: Если сумма данных углов A и C меньше 180°, то можно построить один-единственный треугольник. Если их сумма равна или больше 180°, то построить треугольник нельзя. В случае, если построение возможно, треугольник определяется данными элементами единственным образом.

381 Построй треугольник $ABC$ по стороне $b$ и двум прилежащим к ней углам $A$ и $C$. Сколько различных треугольников можно построить по этим данным? Определяется ли треугольник этими элементами единственным образом?

1) 2)

382 Построй треугольник ABC по двум сторонам $a$ и $b$ и углу $A$, прилежащему к стороне $b$. Является ли решение однозначным?

1) $a$

$b$

$A$

2) $a$

$b$

$A$

Для построения треугольника $ABC$ по двум сторонам $a$, $b$ и углу $A$, прилежащему к стороне $b$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Провести произвольный луч и обозначить его начало как точку $A$.
2. От этого луча отложить угол, равный данному углу $A$. Пусть второй луч этого угла будет $l$.
3. На луче $l$ отложить отрезок $AC$, равный по длине данному отрезку $b$.
4. Построить окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным длине данного отрезка $a$.
5. Точки пересечения этой окружности с первым построенным лучом (не $l$) будут являться возможными положениями вершины $B$.

Однозначность решения зависит от количества точек пересечения окружности и луча. Проанализируем два случая, представленные на изображении.

В этом случае длина стороны $a$ меньше длины стороны $b$ ($a < b$), а угол $A$ — острый. При выполнении описанного выше построения, окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$ может пересечь луч, на котором лежит сторона $AB$, в двух различных точках ($B_1$ и $B_2$). Это произойдет, если длина стороны $a$ будет больше, чем высота треугольника $h$, опущенная из вершины $C$ на прямую $AB$ ($h = b \cdot \sin A$). Таким образом, при условии $b \cdot \sin A < a < b$, можно построить два разных треугольника: $\Delta AB_1C$ и $\Delta AB_2C$. Оба треугольника будут удовлетворять заданным условиям. Следовательно, в данном случае решение не является однозначным.

Ответ: Нет, в данном случае решение не является однозначным. Если $b \cdot \sin A < a < b$, то существует два различных треугольника, удовлетворяющих условию задачи.

В этом случае длина стороны $a$ больше длины стороны $b$ ($a > b$), а угол $A$ — острый. Выполним то же самое построение. Окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$ пересечет прямую, содержащую искомую сторону $AB$, в двух токах. Однако, поскольку $a > b$, только одна из этих точек пересечения будет лежать на луче, выходящем из точки $A$. Вторая точка пересечения окажется на продолжении этого луча за вершиной $A$, и треугольник, построенный с этой вершиной, не будет иметь заданный угол $A$. Таким образом, существует только одно возможное решение.

Ответ: Да, в данном случае решение является однозначным. Можно построить только один такой треугольник.

382 Построй треугольник $ABC$ по двум сторонам $a$ и $b$ и углу $A$, прилежащему к стороне $b$. Является ли решение однозначным?

1) $a$

$b$

$A$

2) $a$

$b$

$A$

383 Построй треугольник $ABC$ по двум сторонам $a$ и $c$ и углу $B$, заключённому между ними. Однозначно ли определяется треугольник этими элементами?

1) $a$, $c$, $B$

2) $a$, $c$, $B$

Построение треугольника $ABC$ по двум сторонам $a$, $c$ и углу $B$ между ними выполняется по следующему алгоритму: сначала строится угол, равный данному углу $B$ с вершиной в точке B. Затем на одной стороне угла от вершины откладывается отрезок $BA$ длиной $c$, а на другой стороне – отрезок $BC$ длиной $a$. Наконец, точки A и C соединяются отрезком. Полученный треугольник $ABC$ является искомым.

1)

В случае, когда данный угол $B$ является острым, построение выполняется согласно приведенному выше алгоритму. На сторонах острого угла $B$ откладываются отрезки $BA=c$ и $BC=a$, после чего их концы A и C соединяются. Полученный треугольник будет искомым. Вопрос об однозначности решается на основе первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Так как стороны $a$, $c$ и угол $B$ между ними заданы, любой треугольник, построенный по этим элементам, будет равен любому другому, построенному по тем же элементам. Это означает, что треугольник определяется однозначно.

Ответ: Треугольник строится по указанному алгоритму и определяется данными элементами однозначно.

2)

В случае, когда данный угол $B$ является тупым, построение выполняется абсолютно аналогично. На сторонах тупого угла $B$ откладываются отрезки $BA=c$ и $BC=a$, и точки A и C соединяются. Как и в предыдущем пункте, первый признак равенства треугольников гарантирует, что треугольник, заданный двумя сторонами и углом между ними, единственен (с точностью до равенства). Следовательно, и в этом случае треугольник определяется однозначно.

Ответ: Треугольник строится по указанному алгоритму и определяется данными элементами однозначно.

383 Построй треугольник $ABC$ по двум сторонам $a$ и $c$ и углу $B$, заключенному между ними. Однозначно ли определяется треугольник этими элементами?

1) 2)

384 Проанализируй решение задач № 378–383 и сформулируй гипотезу: из равенства каких элементов двух треугольников следует равенство самих треугольников? Как можно назвать эти свойства равенства треугольников? Можно ли считать твою гипотезу верной для любых треугольников? Почему?

Из равенства каких элементов двух треугольников следует равенство самих треугольников?

Проанализировав решение задач, можно сформулировать следующую гипотезу: равенство (конгруэнтность) двух треугольников следует из равенства трех определенных элементов одного треугольника соответствующим трем элементам другого. Равенство треугольников следует, если выполняется одно из трех условий:
1) Две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.
2) Сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.
3) Три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника.

Например, для треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ они будут равны ($\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$), если выполняется одно из условий:
- По двум сторонам и углу между ними: $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$.
- По стороне и двум прилежащим углам: $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$ и $\angle C = \angle C_1$.
- По трем сторонам: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$ и $AC = A_1C_1$.
Ответ: Равенство треугольников следует из равенства: 1) двух сторон и угла между ними; 2) стороны и двух прилежащих к ней углов; 3) трех сторон.

Как можно назвать эти свойства равенства треугольников?

Эти свойства называются признаками равенства треугольников. Каждый из них представляет собой теорему, которая позволяет сделать вывод о равенстве треугольников на основе равенства лишь трех их соответствующих элементов. В геометрии их принято называть:
- Первый признак равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, или СУС).
- Второй признак равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам, или УСУ).
- Третий признак равенства треугольников (по трем сторонам, или ССС).
Ответ: Эти свойства можно назвать признаками равенства треугольников.

Можно ли считать твою гипотезу верной для любых треугольников? Почему?

Да, сформулированную гипотезу, которая объединяет три признака равенства треугольников, можно считать верной для любых треугольников в рамках евклидовой геометрии (геометрии на плоскости).

Причина в том, что эти признаки являются фундаментальными теоремами планиметрии. Они строго доказываются на основе аксиом геометрии, например, с помощью метода наложения. Доказательство показывает, что при соблюдении любого из этих трех условий треугольники можно совместить так, что они полностью совпадут. Это означает, что все их соответствующие элементы (остальные стороны и углы) также будут равны. Таким образом, эти три признака являются достаточными условиями для установления равенства любых двух треугольников на плоскости и служат основой для доказательства множества других теорем и решения геометрических задач.

Ответ: Да, можно, потому что эти признаки являются доказанными теоремами в евклидовой геометрии и применяются ко всем без исключения треугольникам на плоскости.

384 Проанализируй решение задач № 378–383 и сформулируй гипотезу: из равенства каких элементов двух треугольников следует равенство самих треугольников? Как можно назвать эти свойства равенства треугольников? Можно ли считать твою гипотезу верной для любых треугольников? Почему?