Номер 435, страница 100, часть 1 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

3. Простой процентный рост. Параграф 2. Проценты. Глава 2. Арифметика. Часть 1 - номер 435, страница 100.

Условие 2023.

435 На диаграмме показано изменение величины S. На сколько процентов в месяц изменяется S? (Считать, что в месяце 4 недели.)

Изменение величины S

Проценты

250

200

150

100

50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Недели

Решение 2 (2023).

Для ответа на вопрос необходимо определить, как изменяется величина S с течением времени. Проанализируем данные, представленные на диаграмме.

На диаграмме показаны значения величины S в процентах в конце каждой из 8 недель. Обозначим значение на диаграмме в конце недели $n$ как $S_n$.

Считаем значения с диаграммы, предполагая, что они соответствуют "красивым" числам, так как столбцы часто попадают на определённые уровни или середины интервалов:

• Конец 1-й недели: $S_1 = 100\%$
• Конец 2-й недели: $S_2 = 120\%$
• Конец 3-й недели: $S_3 = 140\%$
• Конец 4-й недели: $S_4 = 160\%$
• Конец 5-й недели: $S_5 = 180\%$
• Конец 6-й недели: $S_6 = 200\%$
• Конец 7-й недели: $S_7 = 220\%$
• Конец 8-й недели: $S_8 = 240\%$

Мы видим, что значения $S_n$ образуют арифметическую прогрессию. Каждый следующий член на 20 больше предыдущего. Найдём формулу для $n$-го члена этой прогрессии. Пусть $a_n$ — значение в процентах в конце недели $n$. Тогда $a_1 = 100$ и разность прогрессии $d = 20$.

Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставив наши значения, получим: $a_n = 100 + (n-1) \cdot 20 = 100 + 20n - 20 = 80 + 20n$.

Эта формула описывает значение величины S в процентах в конце недели $n$. Проценты обычно считаются от некоторого начального значения. Логично предположить, что это начальное значение в момент времени $t=0$ (начало 1-й недели). Мы можем найти это значение, подставив $n=0$ в нашу формулу:

$S_0 = 80 + 20 \cdot 0 = 80\%$.

Таким образом, начальное значение величины S составляет 80% (от некоторой базовой величины, которую можно принять за 100 условных единиц). Значение в конце 1-й недели равно 100%, в конце 2-й — 120%, и так далее.

Вопрос задачи — на сколько процентов в месяц изменяется S. В месяце 4 недели. Нам нужно найти процентное изменение за первые 4 недели, то есть с начального момента ($t=0$) до конца 4-й недели ($t=4$).

Начальное значение (в начале месяца): $S_0 = 80\%$.

Конечное значение (в конце месяца): $S_4 = 80 + 20 \cdot 4 = 80 + 80 = 160\%$.

Процентное изменение вычисляется по формуле:

$\text{Изменение} = \frac{\text{Конечное значение} - \text{Начальное значение}}{\text{Начальное значение}} \times 100\%$

Подставим наши значения:

$\text{Изменение} = \frac{S_4 - S_0}{S_0} \times 100\% = \frac{160 - 80}{80} \times 100\% = \frac{80}{80} \times 100\% = 1 \times 100\% = 100\%$

Таким образом, за первый месяц величина S увеличилась на 100%.

Стоит отметить, что процентное изменение за второй месяц (с конца 4-й по конец 8-й недели) будет другим: начальное значение $S_4=160\%$, конечное $S_8=240\%$. Изменение составит $\frac{240-160}{160} \times 100\% = 50\%$. Так как в вопросе не уточняется, какой именно месяц имеется в виду, стандартной практикой является расчёт для первого полного периода.

Ответ: 100%

Условие 2010-2022.

435 На диаграмме показано изменение величины S. На сколько процентов в месяц изменяется S? (Считать, что в месяце 4 недели.)

Изменение величины S

Проценты

250

200

150

100

50

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Недели

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).