Номер 432, страница 100, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 4. Замечательные точки в треугольнике - номер 432, страница 100.

Условие 2023.

432 От станции А в 12 ч отправился товарный поезд. В 14 ч с той же станции вышел пассажирский поезд, который догнал товарный в 20 ч. Чему равны скорости обоих поездов, если сумма их скоростей равна 140 км/ч?

Решение 2 (2023).

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $v_т$ — скорость товарного поезда, а $v_п$ — скорость пассажирского поезда.

1. Найдем время, которое каждый поезд был в пути до момента встречи.
Товарный поезд отправился в 12 ч, а встреча произошла в 20 ч. Значит, он был в пути:
$t_т = 20 - 12 = 8$ часов.
Пассажирский поезд отправился в 14 ч, а встреча произошла в 20 ч. Значит, он был в пути:
$t_п = 20 - 14 = 6$ часов.

2. Составим уравнения.
По условию, сумма скоростей поездов равна 140 км/ч. Это наше первое уравнение:
$v_т + v_п = 140$
К моменту встречи оба поезда прошли одинаковое расстояние от станции А. Расстояние ($S$) равно произведению скорости ($v$) на время ($t$): $S = v \cdot t$.
Расстояние, пройденное товарным поездом: $S_т = v_т \cdot t_т = 8v_т$.
Расстояние, пройденное пассажирским поездом: $S_п = v_п \cdot t_п = 6v_п$.
Поскольку расстояния равны ($S_т = S_п$), получаем второе уравнение:
$8v_т = 6v_п$

3. Решим систему уравнений.
Получили систему:
$\begin{cases} v_т + v_п = 140 \\ 8v_т = 6v_п \end{cases}$
Из первого уравнения выразим $v_п$ через $v_т$:
$v_п = 140 - v_т$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$8v_т = 6(140 - v_т)$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение:
$8v_т = 840 - 6v_т$
$8v_т + 6v_т = 840$
$14v_т = 840$
$v_т = \frac{840}{14}$
$v_т = 60$ (км/ч) — это скорость товарного поезда.

4. Найдем скорость пассажирского поезда.
Подставим найденное значение $v_т$ в выражение для $v_п$:
$v_п = 140 - 60 = 80$ (км/ч) — это скорость пассажирского поезда.

Проверка:
Сумма скоростей: $60 + 80 = 140$ км/ч.
Расстояние товарного поезда: $60 \text{ км/ч} \cdot 8 \text{ ч} = 480$ км.
Расстояние пассажирского поезда: $80 \text{ км/ч} \cdot 6 \text{ ч} = 480$ км.
Условия задачи выполняются.

Ответ: скорость товарного поезда равна 60 км/ч, а скорость пассажирского поезда — 80 км/ч.

Условие 2010-2022.

432 От станции А в 12 ч отправился товарный поезд. В 14 ч с той же станции вышел пассажирский поезд, который догнал товарный в 20 ч. Чему равна скорость обоих поездов, если сумма их скоростей равна 140 км/ч?

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).