Номер 439, страница 101, часть 3 - гдз по математике 6 класс учебник Дорофеев, Петерсон

Часть 3. Глава 4. Геометрия. Параграф 1. Геометрические фигуры на плоскости. 4. Замечательные точки в треугольнике - номер 439, страница 101.

Условие 2023.

439 Построй треугольник $ABC$ по двум сторонам $a$ и $b$ и углу $C$, заключённому между ними, и впиши в него окружность.

$a$

$b$

$C$

Решение 2 (2023).

Задача состоит из двух частей: сначала нужно построить треугольник по заданным элементам, а затем вписать в него окружность. Выполним эти построения последовательно с помощью циркуля и линейки.

1. Построение треугольника $ABC$ по двум сторонам $a$, $b$ и углу $C$ между ними

1. Начертим произвольный луч с началом в точке $C$.
2. От этого луча отложим угол, равный данному углу $C$. Для этого:
   • На данном угле $C$ проведём дугу произвольного радиуса с центром в вершине $C$, которая пересечёт стороны угла в двух точках.
   • На нашем луче с центром в точке $C$ проведём дугу того же радиуса.
   • Измерим циркулем расстояние между точками пересечения на данном угле $C$ и отложим это расстояние на построенной дуге от точки её пересечения с лучом.
   • Проведём второй луч из точки $C$ через полученную точку. Угол между лучами будет равен данному углу $C$.
3. На одном из построенных лучей отложим от вершины $C$ отрезок, равный по длине стороне $b$. Обозначим конец этого отрезка точкой $A$. Таким образом, $AC = b$.
4. На втором луче отложим от вершины $C$ отрезок, равный по длине стороне $a$. Обозначим конец этого отрезка точкой $B$. Таким образом, $BC = a$.
5. Соединим точки $A$ и $B$ отрезком.

Треугольник $ABC$ построен по двум сторонам и углу между ними.

2. Вписание окружности в построенный треугольник $ABC$

Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения его биссектрис.

1. Построим биссектрису любого угла треугольника, например, угла $A$. Для этого:
   • Из вершины $A$ проведём дугу окружности произвольного радиуса, пересекающую стороны $AB$ и $AC$.
   • Из точек пересечения дуги со сторонами проведём две новые дуги одинакового радиуса так, чтобы они пересеклись внутри угла.
   • Проведём луч из вершины $A$ через точку пересечения этих дуг. Этот луч является биссектрисой угла $A$.
2. Аналогичным образом построим биссектрису другого угла, например, угла $B$.
3. Точку пересечения двух биссектрис обозначим $O$. Эта точка — центр вписанной окружности.
4. Для определения радиуса вписанной окружности нужно опустить перпендикуляр из центра $O$ на любую из сторон треугольника, например, на сторону $AC$. Для этого:
   • Из точки $O$ проведём дугу окружности, пересекающую сторону $AC$ в двух точках.
   • Из этих двух точек, как из центров, проведём две пересекающиеся дуги одинакового радиуса по другую сторону от точки $O$.
   • Проведём прямую через точку $O$ и точку пересечения этих дуг. Отрезок этой прямой от точки $O$ до стороны $AC$ является перпендикуляром. Обозначим его основание точкой $H$.
5. Отрезок $OH$ — это радиус $r$ вписанной окружности.
6. Установим ножку циркуля в центр $O$, а грифель — в точку $H$ (радиус $r=OH$). Проведём окружность.

Построенная окружность касается всех трёх сторон треугольника $ABC$ и является вписанной в него.

Ответ: Выполнены построения треугольника $ABC$ по заданным сторонам $a$, $b$ и углу $C$ между ними, а также вписана окружность с центром в точке пересечения биссектрис $O$ и радиусом, равным длине перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на любую из сторон треугольника.

Условие 2010-2022.

439 Построй треугольник $ABC$ по двум сторонам $a$ и $b$ и углу $C$, заключенному между ними, и впиши в него окружность.

Решение 1 (2010-2022).

Решение 2 (2010-2022).

Решение 3 (2010-2022).